離散數(shù)學 課后習題答案

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1、 離散數(shù)學課后習題答案 (左孝凌版) 不得不放棄、 1-1，1-2 （1） 解： a) 是命題，真值為T。 b) 不是命題。 c) 是命題，真值要根據(jù)具體情況確定。 d) 不是命題。 e) 是命題，真值為T。 f) 是命題，真值為T。 g) 是命題，真值為F。 h) 不是命題。 i) 不是命題。 （2） 解： 原子命題：我愛北京天安門。 復(fù)合命題：如果不是練健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解： a) (P R)Q b) QR c) P d) PQ （4） 解： a)設(shè)Q:我將去參加舞會。R:我有時間。P:天下雨。 Q (RP):我將去參加舞會當且僅當我有時間和天不下雨。 b)設(shè)R:我在看電視

2、。Q:我在吃蘋果。 RQ:我在看電視邊吃蘋果。 c) 設(shè)Q:一個數(shù)是奇數(shù)。R:一個數(shù)不能被2除。 （QR）(RQ):一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除并且一個數(shù)不能被2整除，則它是奇數(shù)。 (5) 解： a) 設(shè)P：王強身體很好。Q：王強成績很好。PQ b) 設(shè)P：小李看書。Q：小李聽音樂。PQ c) 設(shè)P：氣候很好。Q：氣候很熱。PQ d) 設(shè)P： a和b是偶數(shù)。Q：a+b是偶數(shù)。PQ e) 設(shè)P：四邊形ABCD是平行四邊形。Q ：四邊形ABCD的對邊平行。P Q f) 設(shè)P：語法錯誤。Q：程序錯誤。R：停機。 （P Q） R (6) 解： a) P:天氣炎熱。Q:正在下雨。 PQ b) P:天氣

3、炎熱。R:濕度較低。 PR c) R:天正在下雨。S:濕度很高。 RS d) A:劉英上山。B:李進上山。 AB e) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 MN f) L:你看電影。M:我看電影。 LM g) P:我不看電視。Q:我不外出。 R:我在睡覺。 PQR h) P:控制臺打字機作輸入設(shè)備。Q:控制臺打字機作輸出設(shè)備。PQ 1-3 （1）解： a) 不是合式公式，沒有規(guī)定運算符次序（若規(guī)定運算符次序后亦可作為合式公式） b) 是合式公式 c) 不是合式公式（括弧不配對） d) 不是合式公式（ R和S之間缺少聯(lián)結(jié)詞） e) 是合式公式。 （2）解： a） A是合式公式，(AB)是合式公

4、式，(A(AB) 是合式公式。這個過程可以簡記為： A；(AB)；(A(AB) 同理可記 b） A；A ；(AB) ；(AB)A) c） A；A ；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA) d） A；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA) （3）解： a） (AC)(BC)A)(BC)A)(AC) b） (BA)(AB)。 （4）解： a) 是由 c) 式進行代換得到，在c) 中用Q代換P, (PP)代換Q. d) 是由a) 式進行代換得到，在a) 中用 P(QP)代換Q. e) 是由b) 式進行代換得到，用R代換P, S代換Q, Q代換R, P代換S. （5）解： a) P: 你沒

5、有給我寫信。 R: 信在途中丟失了。 P Q b) P: 張三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)R c) P: 我們能劃船。 Q: 我們能跑步。 (PQ) d) P: 你來了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P(Q R) （6）解： P:它占據(jù)空間。 Q:它有質(zhì)量。 R:它不斷變化。 S:它是物質(zhì)。 這個人起初主張：(PQR) S 后來主張：(PQ S)(SR) 這個人開頭主張與后來主張的不同點在于： 后來認為有PQ必同時有R， 開頭時沒有這樣的主張。 （7）解： a) P: 上午下雨。 Q:我去看電影。 R:我在家里讀書。 S:我在家里看報。(PQ)(P(RS) b) P: 我今天

6、進城。Q:天下雨。QP c) P: 你走了。 Q:我留下。QP 1-4 （4）解：a) P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F T F F F T F F F T F F F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F 所以，P(QR) (PQ)R b) P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F 所以，P(QR) (PQ)R ） （ ） （）（ ） 所以，

7、P(QR) (PQ)(PR) ） P Q P Q PQ (PQ) PQ (PQ) T T T F F F F T F T F T F F F F F T F F T T F T T T T T F T F T 所以，(PQ) PQ, (PQ) PQ （5）解：如表，對問好所填的地方，可得公式F 1 F 6 ，可表達為 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F F T F F F T F T T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T

8、F T T T F F F F F T F T T T F1:(QP)R F2:(PQR)(PQR) F3:(PQ)(QR) F4:(PQR)(PQR) F5:(PQR)(PQR) F6:(PQR) (6) P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 解：由上表可得有關(guān)

9、公式為 1.F 2.(PQ) 3.(QP) 4.P 5.(PQ) 6.Q 7.(P Q) 8.(PQ) 9.PQ 10.PQ 11.Q 12.PQ 13.P 14.QP 15.PQ 16.T (7) 證明： a) A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB) b) (A B) (AB)(AB) (AB)(AB) (AB)(AB) 或 (A B) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AA)(BB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) (AB)(AB) c) (AB) (AB) AB d) (A B)(AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) e) (AB

10、C)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(A B)D) f) A(BC) A(BC) (AB)C (AB)C (AB)C g) (AD)(BD) (AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)D h) (AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C (AB) (DB)C (AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C （8）解： a) (AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)C TC C b) A(A(BB) (AA)(B

11、B) TF T c) (ABC)(ABC) (AA) (BC) T(BC) BC （9）解：1） 設(shè)C為T，A為T，B為F，則滿足AC BC，但A B不成立。 2）設(shè)C為F，A為T，B為F，則滿足AC BC，但A B不成立。 3）由題意知A和B的真值相同，所 以A和B 的真值也相同。 習題 1-5 （1） 證明： a) (P(PQ)Q (P(PQ)Q (PP)(PQ)Q (PQ)Q (PQ)Q PQQ PT T b) P(PQ) P(PQ) (PP)Q TQ T c) (PQ)(QR)(PR) 因為(PQ)(QR) (PR) 所以 (PQ)(QR)為重言式。 d) (ab)(bc) (ca)

12、(ab)(bc)(ca) 因為(ab)(bc)(ca) (ac)b)(ca) (ac)(ca)(b(ca) (ac)(bc)(ba) 所以(ab)(bc) (ca) (ab)(bc)(ca) 為重言式。 （2） 證明： a)(PQ) P(PQ) 解法1： 設(shè)PQ為T （1）若P為T，則Q為T，所以PQ為T，故P(PQ)為T （2）若P為F，則Q為F，所以PQ為F，P(PQ)為T 命題得證 解法2： 設(shè)P(PQ)為F ， 則P為T，(PQ)為F ，故必 有P為T，Q為F ，所以PQ為F。 解法3： (PQ) (P(PQ) (PQ)(P(PQ) (PQ)(PP)(PQ) T 所以(PQ) P(PQ

13、) b)(PQ)Q PQ 設(shè)PQ為F，則P為F，且Q為F， 故PQ為T，(PQ)Q為F， 所以(PQ)Q PQ。 c)(Q(PP)(R(R(PP) RQ 設(shè)RQ為F，則R為T，且Q為F，又PP為F 所以Q(PP)為T，R(PP)為F 所以R(R(PP)為F，所以(Q(PP)(R(R(PP)為F 即(Q(PP)(R(R(PP) RQ成立。 （ 3） 解： a) PQ表示命題“如果8是偶數(shù)，那么糖果是甜的” 。 b) a)的逆換式QP表示命題“如果糖果是甜的，那么8是偶數(shù)” 。 c) a)的反換式PQ表示命題“如果8不是偶數(shù)，那么糖果不是甜的” 。 d) a)的逆反式QP表示命題“如果糖果不是甜的

14、，那么8不是偶數(shù)” 。 （ 4） 解： a) 如果天下雨，我不去。 設(shè)P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆換式QP表示命題:如果我不去，則天下雨。 逆反式QP表示命題:如果我去，則天不下雨 b) 僅當你走我將留下。 設(shè)S：你走了。R：我將留下。RS 逆換式SR表示命題：如果你走了則我將留下。 逆反式SR表示命題：如果你不走，則我不留下。 c) 如果我不能獲得更多幫助，我不能完成個任務(wù)。 設(shè)E：我不能獲得更多幫助。H：我不能完成這個任務(wù)。EH 逆換式HE表示命題：我不能完成這個任務(wù)，則我不能獲得更多幫助。 逆反式HE表示命題：我完成這個任務(wù)，則我能獲得更多幫助 （ 5） 試證明 PQ， Q邏輯蘊含

15、P。 證明：解法 1： 本題要求證明 (PQ) QP, 設(shè) (PQ) Q為 T，則 (PQ)為 T， Q為 T，故由 的定義，必有 P為 T。 所以 (PQ) QP 解法 2： 由體題可知，即證 (P Q) Q)P 是永真式。 (P Q) Q)P (P Q) (P Q) Q)P (P Q) (P Q) Q) P (P Q) (P Q) Q) P (Q P Q) (Q P Q) P (Q P) T) P Q P P Q T T （ 6） 解： P：我學習 Q：我數(shù)學不及格 R：我熱衷于玩撲克。 如果我學習，那么我數(shù)學不會不及格： PQ 如果我不熱衷于玩撲克，那么我將學習: RP 但我數(shù)學不及格:

16、 Q 因此我熱衷于玩撲克。 R 即本題符號化為：(PQ)(RP)Q R 證： 證法1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T 所以，論證有效。 證法2：設(shè)(PQ)(RP)Q為T， 則因Q為T，(PQ) 為T，可 得P為F， 由(RP)為T，得 到R為T。 故本題論證有效。 （ 7） 解： P：6是偶數(shù) Q：7被2除盡 R：5是素數(shù) 如果6是偶數(shù)， 則7被2 除不盡 PQ 或5不是素數(shù)， 或7被2除盡 RQ 5是素數(shù) R 所以6是奇數(shù) P 即本題符號化為： （PQ）（RQ）R P 證： 證法1：(PQ)(RQ)R)P

17、 (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ) T 所以，論證有效，但實際上他不符合實際意義。 證法2：(PQ)(RQ)R為T， 則有R為T，且RQ 為T， 故Q為T， 再由PQ為T，得到P為T。 （ 8） 證明： a) P(PQ) 設(shè)P為T，則P為F，故PQ為T b) ABC C 假定ABC為T， 則C為T。 c) CABB 因為ABB為永真，所以C ABB成立。 d) (AB) AB 設(shè)(AB)為T，則AB為F。 若A為T，B為F，則A為F，B為T，故AB為T。 若A為F，B為T，則A為T，B為F，故AB為T。 若A

18、為F，B為F，則A為T，B為T，故AB為T。 命題得證。 e) A(BC)，DE，(DE)A BC 設(shè)A(BC)，DE，(DE)A為T， 則DE為T，(DE)A為T，所以A為T 又A(BC)為T，所以BC為T。命題得證。 f) (AB)C，D，CD AB 設(shè)(AB)C，D，CD為T，則D為T，CD為T，所 以C為F 又(AB)C為T，所以AB為F，所以AB為T。命題得證。 （9）解： a) 如果他有勇氣，他將得勝。 P：他有勇氣 Q：他將得勝 原命題：PQ 逆反式：QP 表示：如果他失敗了，說明他沒勇氣。 b) 僅當他不累他將得勝。 P：他不累 Q：他得勝 原命題：QP 逆反式：PQ 表示：如

19、果他累，他將失敗。 習題 1-6 (1)解： a) (PQ)P (PP)Q (TQ) b) (P(QR) PQ (P(QR)PQ (PPQ)(QPQ)(RPQ) (PQ)(PQ)(PRQ) PQ (PQ) c) PQ(RP) PQ(RP) (PQR)(PQP) (PQR)F PQR (PQR) (2) 解： a)P PP b)PQ (PQ) (PQ)(PQ) c)PQ PQ (PP)(QQ) (3)解： P(PQ) P(PQ) T PP (PP)(PP) P(PP) P(PQ) P(PQ) T PP (PP) (PP)P) (PP)P)(PP)P) (4)解： PQ (PQ) (PP)(QQ)

20、 (PP)(QQ)(PP)(QQ) (5)證明： (BC) (BC) BC (BC) (BC) BC (6)解：聯(lián)結(jié)詞“”和“”不滿足結(jié)合律。舉例如下： a)給出一組指派：P為T，Q為F，R為F，則(PQ)R為T，P(QR)為F 故 (PQ)R P(QR). b)給出一組指派：P為T，Q為F，R為F，則(PQ) R為T，P(QR)為F 故(PQ)R P(QR). (7)證明： 設(shè)變元P，Q，用連結(jié)詞 ,作用于P，Q得到：P，Q，P，Q，P Q，P P，Q Q，Q P。 但P QQP，P PQQ，故實際有： P，Q，P，Q，P Q，P P（T） （A） 用作用于（A）類，得到擴大的公式類（包括原

21、公式類） ： P，Q，P，Q，（P Q） ， T，F(xiàn)， P Q （B） 用 作用于（A）類，得到： PQ，P P F，P Q （P Q） ，P （P Q） Q，P （P P） P， QP （P Q） ，Q Q F，Q （P Q） P，Q TQ, P Q PQ，P （P Q） Q，P TP, Q （P Q） P，Q TQ, （P Q） （P Q） PQ. 因此， （A）類使用運算后，仍在（B）類中。 對（B）類使用運算得： P，Q，P，Q， P Q， F，T， （P Q） ， 仍在（B）類中。 對（B）類使用 運算得： PQ，P P F，P Q （P Q） ，P （P Q） Q，P TP，P F

22、P，P （P Q） Q， QP （P Q） ，Q Q F，Q （P Q） P，Q TQ, QFQ， Q （P Q） P， P Q PQ，P （P Q） Q，P TP, P FP,P （P Q） Q， Q （P Q） P，Q TQ, Q TQ,Q （P Q） P， （P Q） T（P Q） ，（P Q） FPQ，（P Q） （P Q） F TFF，T （P Q） PQ F（P Q） （P Q） （P Q） （P Q） PQ. 故由（B）類使用 運算后，結(jié)果仍在（B）中。 由上證明：用 ,兩個連結(jié)詞，反復(fù)作用在兩個變元的公式中，結(jié)果只能產(chǎn)生（B）類中的公式，總 共僅八個不同的公式，故 ,不是功能完

23、備的，更不能是最小聯(lián)結(jié)詞組。 已證 ,不是最小聯(lián)結(jié)詞組，又因為 P Q （P Q） ，故任何命題公式中的聯(lián)結(jié)詞，如僅 用 , 表達，則必可用 ,表達，其逆亦真。故 , 也必不是最小聯(lián)結(jié)詞組。 (8)證明，和不是最小聯(lián)結(jié)詞組。 證明：若，和是最小聯(lián)結(jié)詞，則 P （PP） P （PP） P P(P(P) 對所有命題變元指派T，則等價式左邊為F，右邊為T，與等價表達式矛盾。 所以，和不是最小聯(lián)結(jié)詞。 (9)證明,和, 是最小聯(lián)結(jié)詞組。 證明：因為,為最小聯(lián)結(jié)詞組，且PQ PQ 所以,是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又,都不是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組。 所以,是最小聯(lián)結(jié)詞組。 又因為PQ (P Q)，所以, 是功能完

24、備的聯(lián)結(jié)詞組，又, 不是功能完備的聯(lián)結(jié) 詞組， 所以, 是最小聯(lián)結(jié)詞組。 習題 1-7 (1) 解： P(PQ) P(PQ) (PP)(PQ) P(PQ) (P(QQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ) (2) 解： a) (PQ)R (PQ)R PQR (PQ)(PQ) (QR)(QR)(RP)(RP) b) P(QR)S) P(QR)S) PQRS (PQ)(PQ) (QR)(QR)(RS)(RS)(SP)(S P) c) (PQ)(ST) (PQ)(ST) (PQS)(PQT) d) (PQ)R (PQ)R (PQ)R (PR)(QR) e) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PP)

25、(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP) (3) 解： a) P(PQR) (PP)(PQ)(PR) c c c c c (PQ)(PR) b) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PPQ)(QPQ) c) (PQ) (PQ) PQ (PQ)(PQ)(QP) d) (PQ)R (PQ)R (PQ)R (PR)(QR) e) (PQ)(PQ) (PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP) (4) 解： a) (PQ)(P Q) (PQ) (P Q) (PQ) (PQ)(PQ) 1，2，3 PQ= 0 b) Q(PQ) (PQ)(QQ) PQ = 3 0，1，2 (PQ

26、)(PQ) (PQ) c) P(P(Q(QR) P(P(Q(QR) PQR= 0 1，2，3,4,5,6,7 =(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) d) (P(QR) )(P(QR) (P(QR) (P(QR) (PP) (P(QR) (QR) P) (QR) (QR) (PQR) (PQR) = 0,7 1，2，3,4,5,6 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) e) P(P(QP) P(P(QP) (PP)(PQP) T(TQ) T 0,1,2,3 = (PQ) (PQ) (PQ) (PQ) f) (QP)

27、 (PQ) (QP) PQ (QP) (PQ) F 0,1，2，3 = (PQ) (PQ) (PQ) (PQ) (5) 證明： a) (AB) (AC) (AB) (AC) A(BC) A(BC) (AB) (AC) b) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) A(BB) AT A (AB) (BA) (AB) (BA) A(BB) AF A c) AB(AB) (AA)(AB)B ABB F AB(AB) (AA)(AB)B ABB F d) A(A(AB) AA(AB) T AB(AB) (AB) (AB) T (6)解：A R(Q(RP),則A* R(Q(RP) A

28、R(Q(RP) (R(Q(RP) RQ(RP) (RQ) (RP) A*R(Q(RP) (R(Q(RP) RQ(RP) (RQ) (RP) (7) 解：設(shè)A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。 若A去則C和D 中要去一個。 A(C VD) B和C不能都去。 (BC) C去則D要留下。 CD 按題意應(yīng)有：A(C VD)，(BC)，CD必須同時成立。 因為C VD (CD) (DC) 故(A(C VD)(BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A( CD ) ( DC ) (BC) (BD) (CD) C) (A

29、 BC ) (A BD ) (A CD ) (A C ) ( BC D) (CDBD) (CD CD ) (CD C ) (DC BC ) (DC BD ) (DC CD ) (DC C ) 在上述的析取范式中，有些（畫線的）不符合題意，舍棄，得 (AC) (BCD) （CD）(DCB) 故分派的方法為：BD ,或 DA,或 CA。 (8) 解：設(shè) P：A 是第一。Q：B 是第二。R：C 是第二。S：D 是第四。E：A 是第二。 由題意得 (P VQ) (R VS) (E VS) (PQ) (PQ) (RS) (RS) (ES) (ES) (PQRS) (PQRS) (PQRS) (PQRS)

30、(ES)(ES) 因為 (PQRS)與(PQRS)不合題意，所以原式可化為 (PQRS) (PQRS)(ES) (ES) (PQRSES) (PQRSES) (PQRSES)(PQRSES) (PQRSE) (PQRSE) 因R與E 矛盾，故PQRSE為真， 即A不是第一，B是第二，C不是第二，D為第四，A不是第二。 于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。 習題 1-8 (1)證明： a)(PQ)，QR，R P (1) R P (2) QR P (3) Q (1)(2)T,I (4) (PQ) P (5) PQ (4)T,E (6) P (3)(5)T,I b)J(MN)，(HG)

31、J，HG MN (1) (HG) J P (2) (HG) P (3) J (1)(2)T,I (4) J(MN) P (5) MN (3)(4)T,I c)BC，(B C)(HG) GH (1) BC P (2) B (1)T,I (3) C (1)T,I (4) BC (2)T,I (5) CB (3)T,I (6) CB (4)T,E (7) BC (5)T,E (8) BC (6)(7)T,E (9) (BC) (HG) P (10) HG (8)(9)T,I d)PQ，(QR)R，(PS) S (1) (QR) R (2) QR (1)T,I (3) R (1)T,I (4) Q (

32、2)(3)T,I (5) PQ P (6) P (4)(5)T,I (7) (PS) P (8) PS (7)T,E (9) S (6)(8)T,I (2) 證明： a)AB，CB AC (1) (A C) P (2) A (1)T,I (3) C (1)T,I (4) AB P (5) B (2)(4)T,I (6) CB P (7) B (3)(6)T,I (8) BB 矛盾。(5),(7) b)A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF) (1) (A(BF) P (2) A (1)T,I (3) (BF) (1)T,I (4) B (3)T,I (5) F (3)T, (6) A(B

33、C) P (7) BC (2)(6)T,I (8) C (4)(7)T,I (9) F(DE) P (10) DE (5)(9)T,I (11) D (10)T,I (12) CD (8)(11)T,I (13) (CD) E P (14) E (12)(13)T,I (15) E (10)T,I (16) EE 矛盾。(14),(15) c)ABCD，DEF AF (1) (AF) P (2) A (1)T,I (3) F (1)T,I (4) AB (2)T,I (5) (AB) CD P (6) CD (4)(5)T,I (7) C (6)T,I (8) D (6)T,I (9) DE

34、(8)T,I (10) DEF P (11) F (9)(10)T,I (12) FF 矛盾。(3),(11) d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) BE (1) (BE) P (2) B (1)T,I (3) E (1)T,I (4) BD P (5) D (2)(4)T,I (6) (EF) D P (7) (EF) (5)(6)T,I (8) E (7)T,I (9) EE 矛盾 e)(AB)(CD)，(BE)(DF)，(EF)，AC A (1) (AB) (CD) P (2) AB (1)T,I (3) (BE) (DF) P (4) BE (3)T,I (5) AE (2)(

35、4)T,I (6) (EF) P (7) EF (6)T,E (8) EF (7)T,E (9) AF (5)(8)T,I (10) CD (1)T,I (11) DF (3)T,I (12) CF (10)(10)T,I (13) AC P (14) AF (13)(12)T,I (15) FA (14)T,E (16) AA (9)(15)T,I (17) AA (16)T,E (18) A (17) T,E (3) 證明： a)AB，CB AC (1) A P (2) AB P (3) B (1)(2)T,I (4) CB P (5) C (3)(4)T,I (6) AC CP b)A(

36、BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF) (1) A P (2) A(BC) P (3) BC (1)(2)T,I (4) B P (5) C (3)(4)T,I (6) (CD) E P (7) C(DE) (6)T,E (8) DE (5)(7)T,I (9) DE (8)T,E (10) (DE) (9)T,E (11) F(DE) P (12) F (10)(11)T,I (13) BF CP (14) A(BF) CP c)ABCD，DEF AF (1) A P (2) AB (1)T,I (3) ABCD P (4) CD (2)(3)T,I (5) D (4)T,I (6) D

37、E (5)T,I (7) DEF P (8) F (6)(7)T,I (9) AF CP d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) BE (1) B P(附加前提) (2) BD P (3) D (1)(2)T,I (4) (EF)D P (5) (EF) (3)(4)T,I (6) E (5)T,I (7) BE CP (4)證明： a) RQ，RS，SQ，PQ P (1) RQ P (2) RS P (3) SQ P (4) Q (1)(2)(3)T,I (5) PQ P (6) P (4)(5)T,I b) SQ，SR，R，P QP 證法一： (1) SR P (2) R P (3)

38、 S (1)(2)T,I (4) SQ P (5) Q (3)(4)T,I (6) P Q P (7)(PQ)(QP) (6)T,E (8) PQ (7)T,I (9) P (5)(8)T,I 證法二： （反證法） (1) P P（附加前提） (2) P Q P (3)（PQ）（ QP） (2)T，E (4) PQ (3)T,I (5) Q (1)(4)T,I (6) SQ P (7) S (5)(6)T,I (8) SR P (9) R (7)(8)T,I (10) R P (11) RR 矛盾（9） （10）T，I c)(PQ)(RS)，(QP)R)，R PQ (1) R P (2) (Q

39、P) R P (3) QP (1)(2)T,I (4)(PQ) (RS) P (5) (RS) (PQ) (4)T,E (6) RS (1)T,I (7) PQ (5)(6) (8) (PQ) (QP) (3)(7)T,I (9) PQ (8)T,E (5) 解： a) 設(shè)P：我跑步。Q：我很疲勞。 前提為：PQ，Q (1) PQ P (2) Q P (3) P (1)(2)T,I 結(jié)論為：P，我沒有跑步。 b) 設(shè)S：他犯了錯誤。 R：他神色慌張。 前提為：SR，R 因為（SR）R （SR）R R。故本題沒有確定的結(jié)論。 實際上，若S R為真，R為真,則S可為真，S也可為假，故無有效結(jié)論。

40、c) 設(shè)P：我的程序通過。 Q：我很快樂。 R：陽光很好。 S：天很暖和。 （把晚上十一點理解為陽光不好） 前提為：PQ，QR，RS (1) PQ P (2) QR P (3) PR (1)(2)T,I (4) RS P (5) R (4)T,I (6) P (3)(5)T,I 結(jié)論為： P，我的程序沒有通過 習題 2-1,2-2 （1） 解： a) 設(shè)W（x） ：x是工人。c：小張。 則有 W（c） b) 設(shè)S（x） ：x是田徑運動員。B（x） ：x是球類運動員。h：他 則有 S（h） B（h） c) 設(shè)C（x） ：x是聰明的。B（x） ：x是美麗的。l：小莉。 則有 C（l） B（l） d

41、）設(shè)O（x） ：x是奇數(shù)。 則有 O（m） O（2m） 。 e)設(shè)R（x） ：x是實數(shù)。Q（x） ：x是有理數(shù)。 則有 （ x） （Q（x） R（x） ） f) 設(shè)R（x） ：x是實數(shù)。Q（x） ：x是有理數(shù)。 則有 （ x） （R（x） Q（x） ） g) 設(shè)R（x） ：x是實數(shù)。Q（x） ：x是有理數(shù)。 則有 （ x） （R（x） Q（x） ） h)設(shè)P（x，y） ：直線x平行于直線y G（x，y） ：直線x相交于直線y。 則有 P（A，B） G（A，B） （2） 解： a) 設(shè)J(x)：x是教練員。L(x)：x是運動員。 則有 （ x） （J（x） L（x） ） b) 設(shè)S(x)：x是大

42、學生。L(x)：x是運動員。 則有 （ x） （L（x） S（x） ） c) 設(shè)J(x)：x是教練員。O(x)：x是年老的。V（x） ：x是健壯的。 則有 （ x） （J（x） O（x） V（x） ） d) 設(shè)O(x)：x是年老的。V（x） ：x是健壯的。j：金教練 則有 O（j） V（j） e) 設(shè)L(x)：x是運動員。J(x)：x是教練員。 則 （ x） （L（x） J（x） ） 本題亦可理解為：某些運動員不是教練。 故 （ x） （L（x） J（x） ） f) 設(shè)S（x） ：x是大學生。L（x） ：x是運動員。C（x） ：x是國家選手。 則有 （ x） （S（x） L（x） C（x） ）

43、 g) 設(shè)C（x） ：x是國家選手。V（x） ：x是健壯的。 則有 （ x） （C（x） V（x） ）或 （ x） （C（x） V（x） ） h) 設(shè)C（x） ：x是國家選手。O（x） ：x是老的。L（x） ：x 是運動員。 則有 （ x） （O（x） C（x） L（x） ） i) 設(shè)W（x） ：x是女同志。H（x） ：x是家庭婦女。C（x） ：x是國家選手。 則有 （ x） （W（x） C（x） H（x） ） j）W（x） ：x是女同志。J（x） ：x是教練。C（x） ：x是國家選手。 則有（ x） （W（x） J（x） C（x） ） k）L（x） ：x 是運動員。J（y） ：y是教練。A(

44、x,y)：x欽佩y。 則有 （ x） （L（x） （ y） （J（y） A（x，y） ） ） l）設(shè)S（x） ：x是大學生。L（x） ：x 是運動員。A(x,y)：x欽佩y。 則（ x） （S（x） （ y） （L（y） A(x,y)） ） 習題 2-3 （ 1）解： a） 5是質(zhì)數(shù)。 b） 2是偶數(shù)且 2是質(zhì)數(shù)。 c）對所有的 x，若 x能被 2除盡，則 x是偶數(shù)。 d）存在 x， x是偶數(shù)，且 x能除盡 6。 （即某些偶數(shù)能除盡 6） e）對所有的 x，若 x不是偶數(shù)，則 x不能被 2除盡。 f）對所有的 x，若 x是偶數(shù)，則對所有的 y，若 x能除盡 y，則 y也是偶數(shù)。 g）對所有的

45、x，若 x 是質(zhì)數(shù)，則存在 y， y 是偶數(shù)且 x 能除盡 y（即所有質(zhì)數(shù)能除 盡某些偶數(shù)） 。 h）對所有的 x，若 x 是奇數(shù)，則對所有 y， y 是質(zhì)數(shù)，則 x 不能除盡 y（即任何奇 數(shù)不能除盡任何質(zhì)數(shù)） 。 （ 2）解： （ x） (y)(P(x) P(y) E(x,y) (!z)(L(z) R(x,y,z) 或 （ x） (y)(P(x) P(y) E(x,y) (z)(L(z) R(x,y,z) (u)( E(z,u) L(u) R(x,y,u) （ 3）解： a) 設(shè) N(x):x是有限個數(shù)的乘積。 z(y):y為 0。 P(x):x的乘積為零。 F(y):y是乘積中的一個因子

46、。 則有 (x)(N(x) P(x) (y)(F(y) z(y) b) 設(shè) R(x):x是實數(shù)。 Q(x,y):y大于 x。 故 (x)(R(x) (y)(Q(x,y) R(y) c) R(x):x是實數(shù)。 G(x,y):x大于 y。 則 (x)(y)(z)(R(x) R(y) R(z) G(x+y,xz) （ 4）解：設(shè) G(x,y):x大于 y。則有 (x)(y)(z)(G(y,x) G(0,z) G(xz,yz) （ 5）解：設(shè) N(x):x是一個數(shù)。 S(x,y):y是 x的后繼數(shù)。 E(x,y)： x=y.則 a) (x)(N(x) (!y)(N(y) S(x,y) 或 (x)(N(

47、x) (y)(N(y) S(x,y) (z)( E(y,z) N(z) S(x,z) b) (x)(N(x) S(x,1) c) (x)(N(x) S(x,2) (!y)(N(y) S(y,x) 或 (x)(N(x) S(x,2) (y)(N(y) S(y,x) (z)( E(y,z) N(z) S(z,x) （ 6）解：設(shè) S(x):x是大學生。 E(x):x是戴眼睛的。 F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看 y。 G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:這本。 b:那位。 則有 E(b) F(b) S(b) R(b,a) G(a) K(a) J(a)

48、（ 7）解：設(shè) P(x,y):x在 y連續(xù)。 Q(x,y):xy。則 P(f,a)()()(x)(Q(,0) (Q(,0) Q(,|x-a|) Q(,|f(x)-f(a)|) 習題 2-4 (1) 解： a) x是約束變元， y是自由變元。 b) x是約束變元， P(x) Q(x)中的 x受全稱量詞 的約束， S(x)中的 x受存在量詞 的 約束。 c) x， y都是約束變元 ,P(x)中的 x受 的約束， R(x)中的 x受 的約束。 d) x， y是約束變元， z是自由變元。 (2) 解： a) P(a) P(b) P(c) b) R(a) R(b) R(c) S(a) S(b) S(c)

49、 c) (P(a)Q(a) (P(b)Q(b) (P(c)Q(c) d) (P(a) P(b) P(c) (P( z) P(b) P(c) e) (R(a) R(b) R(c) (S(a) S(b) S(c) (3) 解： a) ( x)(P(x) Q(x) (P(1) Q(1) (P(2) Q(2)， 但 P(1)為 T， Q(1)為 F， P(2)為 F， Q(2)為 T,所以 ( x)(P(x) Q(x) (T F) (F T)T。 b) ( x)(PQ(x) R(a) (PQ( 2) (PQ(3) (PQ(6) R(a) 因為 P 為 T， Q(2)為 T， Q(3)為 T， Q(6)

50、為 F， R(5)為 F，所以 ( x)(PQ(x) R(a) (TT )(TT )(TF ) F F (4) 解： a) (u)(v)(P(u， z)Q(v) S(x， y) b) ( u)(P(u) (R(u) Q(u) ( v)R(v)( z)S(x,z) (5) 解： a) (y)A(u， y)( x)B(x， v) (x)(z)C(x， t， z) b) (y)P(u， y) (z)Q(u， z) (x)R(x， t) 習題 2-5 （ 1）解： a) P(a, f(a) P(b,f(b) P(1,f(1) P(2,f(2) P(1,2) P(2,1) TFF b) (x)(y)P(

51、y,x) (x) (P(1,x) P(2,x) (P(1,1) P(2,1) (P(1,2) P(2,2) (T F) (T F) T c) (x)( y)(P(x,y) P(f(x),f(y) ( x) (P(x,1)P(f(x),f(1) (P(x,2) P(f(x)f(2) (P(1,1)P(f(1),f(1 ) (P(1,2)P(f(1),f(2) (P(2,1)P(f(2),f(1) (P (2,2) P(f(2),f(2) (P(1,1)P(2,2) (P(1,2)P(2,1) (P(2,1)P(1,2) (P(2,2)P(1,1) (TF (TF) (FT) (FT) FFTTF

52、 （ 2）解： a) (x)(P(x) Q(f(x),a) (P(1)Q(f(1),1) (P(2)Q(f(2),1) (FQ(2,1) (TQ(1,1) (FF) (TT)T b) (x)(P(f(x) Q(x,f(a) (P(f(1) Q(1,f(1) (P(f(2) Q(2,f(1) (T T) (F F)T c) (x)(P(x) Q(x,a) (P(1) Q(1,a) (P(2) Q(2,a) (P(1) Q(1,1) (P(2) Q(2,1) (F T) (T F)F d) (x)( y)(P(x) Q(x,y) ( x) (P(x) (y)Q(x,y) ( x) (P(x) (Q

53、(x,1) Q(x,2) (P(1) (Q(1,1) Q(1,2) (P(2) (Q(2,1) Q(2,2) (F (T T) (T (F F)F (3) 舉例說明下列各蘊含式。 a) (x)(P(x) Q(a) (x)P(x)Q(a) b) (x) ( P(x) Q(x), (x) Q(x)P(a) c) (x) (P(x) Q(x), (x) (Q(x) R(x) (x) (P(x) R(x) d) (x) (P(x) Q(x), (x) P(x) (x)Q (x) e) (x) (P(x) Q(x), (x) P(x) (x)Q (x) 解： a）因為 (x)(P(x) Q(a) (x)

54、P(x) Q(a) 故原式為 (x)P(x) Q(a) (x)P(x)Q(a) 設(shè) P（ x） ： x是大學生。 Q（ x） ： x是運動員 前提 或者不存在 x， x是大學生，或者 a是運動員 結(jié)論 如果存在 x是大學生，則必有 a是運動員。 b)設(shè) P（ x） ： x是研究生。 Q（ x） ： x是大學生。 a：論域中的某人。 前提：對論域中所有 x，如果 x不是研究生則 x是大學生。 對論域中所有 x， x不是大學生。 結(jié)論：對論域中所有 x都是研究生。 故，對論域中某個 a，必有結(jié)論 a是研究生，即 P（ a）成立。 c）設(shè) P（ x） ： x是研究生。 Q（ x） ： x曾讀過大學。

55、 R（ x） ： x曾讀過中學。 前提 對所有 x，如果 x是研究生，則 x曾讀過大學。 對所有 x，如果 x曾讀過大學，則 x曾讀過中學。 結(jié)論：對所有 x，如果 x是研究生，則 x曾讀過中學。 d）設(shè) P（ x） ： x是研究生。 Q（ x） ： x是運動員。 前提 對所有 x，或者 x是研究生，或者 x是運動員。 對所有 x， x不是研究生 結(jié)論 必存在 x， x是運動員。 e）設(shè) P（ x） ： x是研究生。 Q（ x） ： x是運動員。 前提 對所有 x，或者 x是研究生，或者 x是運動員。 對所有 x， x不是研究生 結(jié)論 對所有 x， x是運動員。 （ 4）證明： (x)(A(x

56、) B(x) (x) ( A(x) B(x) (x) A(x) (x) B(x) (x)A(x) (x) B(x) (x)A(x)( x) B(x) （ 5） 設(shè)論域 D=a， b， c，求證 (x)A(x) (x)B(x)( x)(A(x) B(x) 證明：因為論域 D=a， b， c，所以 (x)A(x) (x)B(x) (A(a) A(b) A(c) (B(a) B(b) B(c) (A(a) B(a) (A(a) B(b) (A(a) B(c) (A(b) B(a) (A(b) B(b) (A(b) B(c) (A(c) B(a) (A(c) B(b) (A(c) B(c) (A(a)

57、 B(a) (A(b) B(b) (A(c) B(c) ( x)(A(x) B(x) 所以 (x)A(x) (x)B(x)( x)(A(x) B(x) （ 6）解：推證不正確，因為 (x)(A(x) B(x) (x)A(x) (x) B(x) （ 7）求證 (x)( y)(P(x) Q(y) ( x)P(x) (y)Q(y) 證明： (x)( y)(P(x) Q(y) (x)( y)( P(x) Q(y) (x) P(x) ( y)Q(y) (x)P(x) ( y)Q(y) ( x)P(x) (y)Q(y) 習題 2-6 （ 1）解： a) (x)(P(x) (y)Q(x,y) (x)( P(

58、x) (y)Q(x,y) (x) (y) ( P(x) Q(x,y) b) (x)( (y)P(x,y) (z)Q(z) R(x) (x)(y)P(x,y) (z)Q(z) R(x) (x)(y)P(x,y) ( (z)Q(z) R(x) (x)(y)P(x,y) (z) Q(z) R(x) (x) (y) (z) ( P(x,y) Q(z) R(x) c)(x)( y)(zP(x,y,z) (u)Q(x,u) (v)Q(y,v) (x)( y)( (z)P(x,y,z) (u)Q(x,u) (v)Q(y,v) (x)( y)( (z) P(x,y,z) (u) Q(x,u) (v)Q(y,v

59、) (x)( y)( (z) P(x,y,z) (u) Q(x,u) (v)Q(y,v) (x)( y) (z) (u) (v) ( P(x,y,z) Q(x,u) Q(y,v) （ 2） 解： a) (x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) Q(x) (x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) Q(x) (x) (P(x) Q(x) (x)(P(x) Q(x) T b) (x)(P(x) (y)(z)Q(x,y) (z)R(y,x) (x)( P(x) (y)( Q(x,y) R(y,x) (x) (y) ( P(x) Q(x,y) R(y,x) 前束合取范式 (x) (y)(

60、 (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) ( P(x) Q(x,y) R(y,x) ( P(x) Q(x,y) R(y,x) ( (P(x) Q(x,y) R(y,x) ( P(x) Q(x,y) R(y,x) 前束析取范式 c) (x)P(x) (x)(z)Q(x,z) (z)R(x,y,z) (x)P(x) (x)(z)Q(x,z) (z)R(x,y,z) (x) P(x) (x)(z)Q(x,z) (u)R(x,y,u) (x)( P(x) (z)Q(x,z) (u)R(x,y,u) (x) (z) (u)(

61、 P(x) Q(x,z) R(x,y,u) 前束合取范式 (x) (z) (u)( P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) ( P(x) Q(x,z) R(x,y,u) ( P(x) Q(x,z) R(x,y,u) ( P(x) Q(x,z) R(x,y,u) 前束析取范式 d)(x)(P(x) Q(x,y) (y)P(y) (z)Q(y,z) (x)( P(x) Q(x,y) (y)P(y) (z)Q(y,z) (x)( P(x) Q(x,y) (u)P(u)

62、 (z)Q(y,z) (x) (u) (z) ( P(x) Q(x,y) (P(u) Q(y,z) 前束析取范式 (x) (u) (z) ( P(x) P(u) (P(x) Q(y,z) ( Q(x,y) P(u) ( Q(x,y) Q(y,z) 前束合取范式 習題 2-7 (1) 證明： (2) a) (x)( A(x) B(x) P A(u) B(u) US ( x) B(x) P B(u) US A(u) B(u) TE A(u) TI ( x)A(x) EG b) ( x)(A(x) B(x) P（附加前提） ( x) (A(x) B(x) TE (A(c) B(c) ES A(c)

63、TI B(c) TI ( x)A(x) EG (x)A(x) (x)B(x) P (x)B(x) T I B(c) US B(c) B(c) T矛盾 c） (x)(A(x) B(x) P A(u) B(u) US ( x)(C(x) B(x) P C(u) B(u) US B(u) A(u) TE C(u) A(u) TI (x)(C(x) A(x) UG d) (x)(A(x) B(x),( x)(B(x) C(x),( x)C(x) (x)A(x) ( x)(B(x) C(x) P B(u) C(u) US ( x)C(x) P C(u) US B(u) TI (x)(A(x) B(x)

64、P A(u) B(u) US A(u) T I (x)A(x) UG (2) 證明： a) ( x)P(x) P（附加前提） P(u) US (x)(P(x) Q(x) P P(u) Q(u) US Q(u) TI (x)Q(x) UG ( x)P(x) (x)Q(x) CP b)因為 (x)P(x) (x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x) 故本題就是推證 (x)(P(x) Q(x) (x)P(x) (x)Q(x) (x)P(x) P（附加前提） ( x) P(x) TE P(c) ES (x)(P(x) Q(x) P P(c) Q(c) ES Q(c) TI ( x) Q(x) EG

65、 (x)P(x) (x)Q(x) CP (3) 解： a)設(shè) R（ x） ： x是實數(shù)。 Q（ x） ： x是 有理數(shù)。 I（ x） ： x是整數(shù)。 本題符號化為： (x)(Q(x) R(x) (x)(Q(x) I(x) (x)(R(x) I(x) (x)(Q(x) I(x) P Q(c) I(c) ES (x)(Q(x) R(x) P Q(c) R(c) US Q(c) TI R(c) TI I(c) TI R(c) I(c) T I (x)(R(x) I(x) EG b)設(shè) P（ x） ： x喜歡步行。 Q（ x） ： x喜歡乘汽車。 R（ x） ： x喜歡騎自行車 本題符號化為： (x)

66、(P(x) Q(x), (x)(Q(x) R(x) , (x) R(x) (x) P(x) (x) R(x) P R (c) ES (x)(Q(x) R(x) P Q(c) R(c) US Q(c) TI (x)(P(x) Q(x) P P(c) Q(c) US P (c) T I (x) P(x) EG c) 每個大學生不是文科學生就是理工科學生，有的大學生是優(yōu)等生，小張不是理工科學生，但他是優(yōu) 等生，因而如果小張是大學生，他就是文科學生。 設(shè) G（ x） ： x是大學生。 L（ x） ： x是文科學生。 P（ x） ： x是理工科學生。 S（ x） ： x是優(yōu)秀生。 c：小張。 本題符號化為： (x)(G(x) L(x) P(x), (x)(G(x) S(x), P (c) , S(c) G(c) L(c) G(c) P（附加前提） (x)(G(x) L(x) P(x) P G(c) L(c) P(c) US L(c) P(c) TI P (c) P L(c) TI G(c) L(c) CP 注意：本題推證過程中未用到前提 (x)(G(x) S(x)以及 S(c)。主要是 S（ x