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1、專題六數(shù)學與生活 類型一 方程與不等式模型題型特點數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題.主要步驟:在實際情境中,從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果并改進模型,最終解決實際問題.從近幾年的中考試題來看,命題者借助PISA測試的理念倡導培養(yǎng)學生重應用、多實踐的科學素養(yǎng),構(gòu)建真實的情境,引導學生通過閱讀,聯(lián)研題型解易 系生活實際獲取信息,從而構(gòu)建正確的數(shù)學模型.這類試題一般在解答題中以應用題的形式呈現(xiàn).由于這部分知識比較簡單,中考命題時一般將方程(組)與不等式的應用結(jié)合在一起考查,可化為一元一次方程的分式方程模型有
2、時是單獨考查,但更多的時候是和其他數(shù)學模型結(jié)合在一起進行考查.一元二次方程模型應用廣泛,例如:增長(下降)率問題、市場營銷問題、邊框問題、道路問題、單循環(huán)問題、感冒傳染問題、互贈賀卡問題、黃金分割問題等,這部分內(nèi)容也常和其他數(shù)學模型結(jié)合在一起考查. 方法規(guī)律解決此類問題的首要任務是將生活與生產(chǎn)中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再用數(shù)學符號,通過方程、不等式轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,最后結(jié)合實際情況考慮數(shù)學結(jié)果的合理性,進行取舍.試題評閱過程中發(fā)現(xiàn)不少學生不能靈活選擇適當?shù)臄?shù)學模型解決問題. 1.構(gòu)建方程(組)或不等式解決實際問題,一般需要注意以下步驟:審題、設未知數(shù)、列方程(組)或不等式、解、檢驗、答.按照這
3、樣的步驟,可以避免出現(xiàn)失誤.列方程時,要注意單位的統(tǒng)一. 2.解決這類問題的關鍵是從問題情境中找出等量關系和不等關系,其中不等關系有非常明顯的標志語,如:大于,小于,不少于,不超過等. 3.對于運用不等式產(chǎn)生的方案問題,一般是取解集范圍內(nèi)的整數(shù)解,有幾個整數(shù)解,就有幾種可行方案. 解題策略典例1(2018寧波)某商場購進甲、乙兩種商品,甲種商品共用了2 000元,乙種商品共用了2 400元.已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元,且購進的甲、乙兩種商品件數(shù)相同.(1)求甲、乙兩種商品每件的進價;(2)該商場將購進的甲、乙兩種商品進行銷售,甲種商品的銷售單價為60元,乙種商品的銷售單價為8
4、8元,銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好,商場決定:甲種商品銷售一定數(shù)量后,將剩余的甲種商品按原銷售單價的七折銷售;乙種商品銷售單價保持不變.要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2 460元,則甲種商品按原銷售單價至少銷售多少件? 思路點撥(1)找到表示量與量之間關系的句子作為列代數(shù)式或方程的依據(jù):設甲種商品每件的進價為x元,根據(jù)“乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元”,可得乙種商品每件的進價為(x+8)元.根據(jù)“購進的甲、乙兩種商品件數(shù)相同”列出方程求解.(2)對于此類問題,隱含著一個等量關系:利潤=售價-進價.分別表示出甲、乙兩種商品的利潤是關鍵.設甲種商品按原銷售單價銷售a件,則由“兩種商
5、品全部售完后共獲利不少于2 460元”列出不等式. 開放解答解析(1)設甲種商品每件的進價為x元,則乙種商品每件的進價為(x+8)元.根據(jù)題意,得=,解得x=40.經(jīng)檢驗,x=40是原方程的解.答:甲種商品每件的進價為40元,乙種商品每件的進價為48元.(2)甲、乙兩種商品的銷售量均為=50件.設甲種商品按原銷售單價銷售a件,則(60-40)a+(600.7-40)(50-a)+(88-48)502 460,2 000 x 2 4008x 2 00040 解得a20.答:甲種商品按原銷售單價至少銷售20件. 高分秘籍1.找等量關系或不等關系是解決這類問題的關鍵.常見的表示兩個量之間等量關系的表
6、述有“是的幾倍(百分之幾)”“比多(少)”“比提高(降低)”,這些表述可以用來列代數(shù)式或方程.常見不等量關系的表述有“至少(多)”“不超過”“在之內(nèi)”,這些表述可以用來判斷未知數(shù)的取值范圍或列出不等式.2.找到等量關系或不等關系后,要將文字語言準確轉(zhuǎn)化成符號語言. 3.常用的列方程的思路是找到題目中的三個基本量,往往題目中會有一個基本量是已知的,另一個量是未知數(shù),則方程的等量關系就是由第三個量決定的. 4.此類問題來源于實際,所以涉及的數(shù)據(jù)往往不易計算,同種類型的數(shù)據(jù)單位也不統(tǒng)一,列方程或不等式時,要先將同類型量的數(shù)據(jù)單位統(tǒng)一,單位統(tǒng)一的目的是有利于計算,統(tǒng)一單位后數(shù)據(jù)不要有太多的零,若有可以
7、考慮用科學記數(shù)法表示;統(tǒng)一單位后數(shù)據(jù)盡量不要有小數(shù),可以考慮統(tǒng)一成較小的單位. 5.此類考題往往涉及兩個數(shù)學模型,比如上題先是方程模型,后是不等式模型,涉及多個未知數(shù),所以設未知數(shù)時,要注意不同的未知數(shù)用不同的字母表示. 6.列方程求解之后要檢驗,一是檢驗是否使方程兩邊相等,一是檢驗是否符合實際.分式方程檢驗的過程一定要寫在答題的過程里.不等式模型解得的解集,往往要根據(jù)實際問題,取解集中符合實際要求的數(shù)據(jù). 當堂鞏固1.(2018山西)在某市實施城中村改造的過程中,“旺鑫”拆遷工程隊承包了一項10 000 m2的拆遷工程.由于準備工作充分,實際拆遷效率比原計劃提高了25%,提前2天完成了任務.
8、請解答下列問題:(1)求“旺鑫”拆遷工程隊實際平均每天拆遷多少m2;(2)為了盡量減少拆遷給市民帶來的不便,在拆遷工作進行了2天后,“旺鑫”拆遷工程隊的領導決定加快拆遷工作,將余下的拆遷任務在5天內(nèi)完成.那么“旺鑫”拆遷工程隊平均每天至少需再多拆遷多少m 2? 解析(1)設“旺鑫”拆遷工程隊原計劃每天拆遷x m2.由題意,得-=2.解得x=1 000.經(jīng)檢驗,x=1 000是原分式方程的解.(1+25%)1 000=1 250(m2).答:“旺鑫”拆遷工程隊實際平均每天拆遷1 250 m 2.(2)設“旺鑫”拆遷工程隊平均每天再多拆遷y m2.由題意得5(1 250+y)10 000-21 2
9、50.10 000 x 10 000(1 25%)x 解得y250.答:“旺鑫”拆遷工程隊平均每天至少需再多拆遷250 m2. 類型二 函數(shù)模型題型特點數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一,近幾年山西中考加大了對模型思想即實際應用問題的考查.此類題型通常設計一個現(xiàn)實情境,學生需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,并借助函數(shù)模型與方程等其他模型綜合來解決.結(jié)合山西中考命題的六個維度之一,借鑒PISA測試理念,近幾年山西此類問題的現(xiàn)實性與綜合性越來越強,情境新穎且緊貼實際生活. 方法規(guī)律在解決此類問題時,先根據(jù)實際情境,抽象出相應的函數(shù)模型,選取題中有用的數(shù)據(jù)與模型結(jié)合,解決問題,同時應注意,函數(shù)模型中設計自變
10、量的取值范圍應與實際情境相結(jié)合. 解題策略典例2(2018泰安)文美書店決定用不多于20 000元購進甲、乙兩種圖書共1 200本進行銷售.甲、乙兩種圖書的進價分別為每本20元、14元,甲種圖書每本的售價是乙種圖書每本售價的1.4倍,若用1 680元在文美書店可購買甲種圖書的本數(shù)比用1 400元購買乙種圖書的本數(shù)少10本.則:(1)甲、乙兩種圖書的售價分別為每本多少元?(2)書店為了讓利讀者,決定將甲種圖書售價每本降低3元,乙種圖書售價每本降低2元,問:書店應如何進貨才能獲得最大利潤?(假設購進的兩種圖書全部銷售完) 思路點撥(1)根據(jù)題意,列出分式方程即可;(2)先用進貨量表示獲得的利潤,然
11、后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)最大值即可. 解析(1)設乙種圖書的售價為每本x元,則甲種圖書的售價為每本1.4x元,由題意,得-=10,解得x=20,經(jīng)檢驗,x=20是原方程的解,甲種圖書的售價為每本1.420=28元.答:甲種圖書的售價為每本28元,乙種圖書的售價為每本20元.(2)設甲種圖書進貨a本,總利潤為W元,則W=(28-20-3)a+(20-14-2)(1 200-a)=a+4 800,1 400 x 1 6801.4x開放解答 又20a+14(1 200-a)20 000,解得a, W隨a的增大而增大,當a最大時W最大,當a=533時,W最大.此時,乙種圖書進貨本數(shù)為1 200-533=6
12、67(本).答:甲種圖書進貨533本,乙種圖書進貨667本時利潤最大.1 6003 高分秘籍分析題意,建立相應的函數(shù)模型,結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解決問題. 當堂鞏固2.(2018曲靖)某公司計劃購買A,B兩種型號的電腦,已知購買一臺A型電腦需0.6萬元,購買一臺B型電腦需0.4萬元,該公司準備投入資金y萬元,全部用于購進35臺這兩種型號的電腦,設購進A型電腦x臺.(1)求y關于x的函數(shù)解析式;(2)若購進B型電腦的數(shù)量不超過A型電腦數(shù)量2倍,則該公司至少需要投入資金多少萬元? 解析(1)由題意得,y=0.6x+0.4(35-x),整理得,y=0.2x+14(0 x0, y隨x的增大而增大,當x=12時,
13、y有最小值,為16.4,353 答:該公司至少需要投入資金16.4萬元. 類型三 與相似有關的幾何模型題型特點這類問題常與實際問題相結(jié)合,題干語言表述較長,既有實際圖片,還有抽象出的幾何圖形.方法規(guī)律針對圖片在幾何圖形中把條件一一對應,抽象出常見的幾何圖形從而找到解題的突破口. 解題策略典例3劉徽(生于公元250年左右)是中國數(shù)學史上偉大的數(shù)學家,在世界數(shù)學史上,也占據(jù)著重要的地位,他的杰作九章算術注和海島算經(jīng)是我國寶貴的數(shù)學遺產(chǎn).(1)其中一卷書研究的對象全是有關高與距離的測量,所使用的工具也都是利用垂直關系所連接起來的測桿與橫棒,所有問題都是利用兩次或多次測量所得的數(shù)據(jù),來推算可望而不可及
14、的目標的高、深、廣、遠,此書收集于明成祖時編修的永樂大典中,現(xiàn)保存在英國劍橋大學圖書館,該卷書是 ;(2)在(1)中提到劉徽的杰作中,記載的第一個問題的大意是:在如圖所示的示 意圖中,要測量海島上一座山峰的高度AH,立兩根高3丈的標桿BC和DE,兩桿之間的距離BD=1 000步,點D、B、H成一線,從B處退行123步到點F處,人的眼睛貼著地面觀察點A,點A、C、F也成一線,從D處退行127步到點G處,人的眼睛貼著地面觀察點A,點A,E,G也成一線,求AH有多少丈,HB有多少步.(這里1步=6尺,1丈=10尺) 思路點撥(1)根據(jù)歷史常識可得到答案;(2)根據(jù)題意,得出FCBFAH,EDGAHG
15、,進而利用相似三角形的性質(zhì)求解即可. 解析(1)海島算經(jīng).(2)由題意,得,AH HG,CB HG, AHF=90, CBF=90, AHF= CBF, AFB= CFB,CBFAHF, =,同理得=, BF=123,BD=1 000,DG=127, HF=HB+123,HG=HB+1 000+127=HB+1 127, =,=,BCAH BFHF DEHA DGHG3HA 123123HB 3HA 1271 127HB開放解答 解得HB=30 750,HA=753.答:AH為753丈,HB為30 750步.高分秘籍此題主要考查了相似三角形的應用,找到圖中的相似三角形并利用對應邊成比例列出方程
16、是解題關鍵. 當堂鞏固3.如圖,在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD,它們都與地面垂直,為了測得電線桿的高度,一個小組的同學進行了如下測量:某一時刻,在太陽光照射下,旗桿落在圍墻上的影子EF的長為2米,落在地面上的影子BF的長為10米,而電線桿落在圍墻上的影子GH的長為3米,落在地面上的影子DH的長為5米,依據(jù)這些數(shù)據(jù),該小組的同學計算出了電線桿的高度.(1)該小組的同學在這里利用的是與平行投影相關的知識進行計算的;(2)試計算出電線桿的高度,并寫出計算的過程. 解析(2)過點E作EM AB于M,過點G作GN CD于N.則MB=EF=2,ND=GH=3
17、,ME=BF=10,NG=DH=5.所以AM=10-2=8,由平行投影可知,=,即=,解得CD=7,即電線桿的高度為7米. AMME CNNG 810 35CD 類型四 與三角函數(shù)有關的幾何模型題型特點這類問題常與實際問題相結(jié)合,題干語言表述較長,既有實際圖片,還有抽象出的幾何圖形.方法規(guī)律針對圖片在幾何圖形中把條件一一對應,抽象出常見的直角三角形,從而找到解題的突破口. 解題策略典例4如圖,山坡上有一棵樹AB,樹底部B點到山腳C點的距離BC為6米,山坡的坡角為30.小寧在山腳的平地F處測量這棵樹的高,點C到測角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測得樹頂部A的仰角為45,樹底部B的仰角為20,
18、求樹AB的高度.(參考數(shù)值:sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36) 3 思路點撥首先在直角三角形BDC中求得DC的長,然后求得DF的長,進而求得GE的長,然后在直角三角形BGE中即可求得BG的長,從而求得樹高. 解析底部B點到山腳C點的距離BC為6米,山坡的坡角為30,在RtBDC中DC=BCcos 30=6=9(米), CF=1米, DF=9+1=10(米), GE=10米, AEG=45,AGE為等腰直角三角形. AG=EG=10米,在直角三角形BGE中,BG=GEtan 20100.36=3.6(米), AB=AG-BG=10-3.6=6.4(米).答:樹高約
19、為6.4米. 33 32開放解答 高分秘籍本題考查了解直角三角形的應用,構(gòu)造直角三角形時盡量把已知的邊和角構(gòu)造為直角三角形的邊和角,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形. 當堂鞏固4.如圖,某翼裝飛行員從離水平地面高AC=500 m的A處出發(fā),沿著俯角為15的方向,直線滑行1 600 m到達D點,然后打開降落傘以75的俯角降落到地面上的B點.求他飛行的水平距離BC.(結(jié)果精確到1 m) 解析如圖,過點D作DE AC于點E,過點D作DF BC于點F,由題意,可得 ADE=15, BDF=15,AD=1 600 m,AC=500 m. cos ADE=cos 15=0.97, 0.97,解得DE1
20、552 m,又sin 15=0.26,即0.26,解得AE416 m,DEAD1 600DE AEAD 1 600AE DF=EC=AC-AE=500-416=84(m), tan BDF=tan 15=0.27, 0.27,解得BF22.68 m, BC=CF+BF=ED+BF=1 552+22.68=1 574.681 575(m).答:飛行員飛行的水平距離約為1 575 m.BFDF84BF 類型五 概率與統(tǒng)計模型題型特點概率與統(tǒng)計模型在山西中考題中常常出現(xiàn),它主要是培養(yǎng)學生利用所學知識對生活中的實際問題進行解答的能力,同時常涉及如何構(gòu)成三角形、怎樣形成軸對稱圖形等.山西省近幾年經(jīng)常考查
21、這方面的知識,可以預測該內(nèi)容仍為中考重要內(nèi)容.方法規(guī)律概率與統(tǒng)計和生活息息相關,因此試題接近生活.概率部分現(xiàn)階段學習的都是等可能事件的概率,首先要理解概率計算公式,其次結(jié)合相關知識,如當兩較 小邊之和大于第三邊時可以構(gòu)成三角形、如果沿著某一條直線折疊兩部分圖形可以完全重合則是軸對稱圖形等,認真審題,提煉有用信息,根據(jù)概率的相關知識進行解答;統(tǒng)計主要是從生活情境中學會分析、整理和描述數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)主要是分析一組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量,各個統(tǒng)計量對于描述一種數(shù)據(jù)的側(cè)重點不同,辨析清晰,正確選擇. 典例5(2018四川綿陽)現(xiàn)有長分別為1,2,3,4,5的木條各一根,從這5根木條中任取3根,能夠構(gòu)成三角形的概
22、率是.思路點撥首先要分析選擇三個數(shù)據(jù)為一組的結(jié)果有多少種,再根據(jù)三角形三邊之間的關系從中找出能組成三角形的結(jié)果,進而利用概率公式進行求解.310解題策略 高分秘籍本題主要考查列表法與畫樹狀圖法,列表法(畫樹狀圖法)求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果,但當一個事件涉及三個或更多元素時,為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用畫樹狀圖法. 當堂鞏固5.(2018貴州遵義)某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動,凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠,本次活動共有兩種方式,方式一:轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲,指針指向A區(qū)域時,所購買物品享受9折優(yōu)惠,指針指向其他區(qū)域無優(yōu)惠;方式二:同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙,若兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同,所購買物品享受8折優(yōu)惠,其他情況無優(yōu)惠.在每個轉(zhuǎn)盤中,指針指向每個區(qū)域的可能性相同(若指針指向分界線,則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤).(1)若顧客選擇方式一,則享受9折優(yōu)惠的概率為;14 (2)若顧客選擇方式二,請用畫樹狀圖法或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率. 解析(2)畫樹狀圖如下:由樹狀圖可知共有12種等可能結(jié)果,兩個指針指向同一個字母的只有兩種:(A,A)、(B,B). P(顧客享受8折優(yōu)惠)=. 212 16
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