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1、第 1頁(yè) q6-2 定 積 分 的 性 質(zhì) 中 值 定 理 第 2頁(yè)對(duì) 定 積 分 的 補(bǔ) 充 規(guī) 定 :（ 1） 當(dāng) ba 時(shí) ， 0)( ba dxxf ；（ 2） 當(dāng) ba 時(shí) ， abba dxxfdxxf )()( .說(shuō) 明 在 下 面 的 性 質(zhì) 中 ， 假 定 定 積 分 都 存在 ， 且 不 考 慮 積 分 上 下 限 的 大 小 q一 、 基 本 內(nèi) 容 第 3頁(yè)證 ba dxxgxf )()( iiini xgf )()(lim 10 iini xf )(lim 10 iini xg )(lim 10 ba dxxf )( .)( ba dxxg ba dxxgxf )()
2、( ba dxxf )( ba dxxg )( .（ 此 性 質(zhì) 可 以 推 廣 到 有 限 多 個(gè) 函 數(shù) 作 和 的 情 況 ）性 質(zhì) 1 第 4頁(yè) baba dxxfkdxxkf )()( (k為 常 數(shù) ).證 ba dxxkf )( iini xkf )(lim 10 iini xfk )(lim 10 iini xfk )(lim 10 .)( ba dxxfk性 質(zhì) 2 第 5頁(yè) ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()( .補(bǔ) 充 ： 不 論 的 相 對(duì) 位 置 如 何 , 上 式 總 成 立 .cba ,例 若 ,cba ca dxxf )( cbba dxx
3、fdxxf )()(ba dxxf )( cbca dxxfdxxf )()( .)()( bcca dxxfdxxf（ 定 積 分 對(duì) 于 積 分 區(qū) 間 具 有 可 加 性 ）則 假 設(shè) bca 性 質(zhì) 3 第 6頁(yè) dxba 1 dxba ab . 則 0)( dxxfba . )( ba 證 ,0)( xf ,0)( if ),2,1( ni ,0 ix ,0)(1 iini xf ,max 21 nxxx iini xf )(lim 10 .0)( ba dxxf 性 質(zhì) 4性 質(zhì) 5 如 果 在 區(qū) 間 , ba 上 0)( xf ， 第 7頁(yè) 例 1 比 較 積 分 值 dxex
4、20 和 dxx20 的 大 小 .解 令 ,)( xexf x 0,2x,0)( xf ,0)(02 dxxexdxex 02 ,02 dxx于 是 dxex20 .20 dxx 第 8頁(yè) 性 質(zhì) 5的 推 論 ：證 ),()( xgxf ,0)()( xfxg ,0)()( dxxfxgba ,0)()( baba dxxfdxxg 于 是 dxxfba )( dxxgba )( . 則 dxxfba )( dxxgba )( . )( ba 如 果 在 區(qū) 間 , ba 上 )()( xgxf ，（ 1） 第 9頁(yè)dxxf ba )( dxxfba )( . )( ba 證 ,)()()
5、( xfxfxf ,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa 即 dxxfba )( dxxfba )( .說(shuō) 明 ： 可 積 性 是 顯 然 的 . | )(xf |在 區(qū) 間 , ba 上 的 性 質(zhì) 5的 推 論 ：（ 2） 第 10頁(yè) 設(shè) M 及 m分 別 是 函 數(shù)證 ,)( Mxfm ,)( bababa Mdxdxxfdxm ).()()( abMdxxfabm ba （ 此 性 質(zhì) 可 用 于 估 計(jì) 積 分 值 的 大 致 范 圍 ） 則 )()()( abMdxxfabm ba .)(xf 在 區(qū) 間 , ba 上 的 最 大 值 及 最 小 值 ， 性 質(zhì) 6
6、 第 11頁(yè) 例 2 估 計(jì) 積 分 dxx 0 3sin3 1 的 值 .解 ,sin3 1)( 3 xxf ,0 x,1sin0 3 x ,31sin3 141 3 x,31sin3 141 00 30 dxdxxdx .3sin3 14 0 3 dxx 第 12頁(yè) 例 3 估 計(jì) 積 分 dxxx24 sin 的 值 .解 ,sin)( xxxf 2 sincos)( x xxxxf 2 )tan(cos x xxx 2,4 x ,0)(xf 在 2,4 上 單 調(diào) 下 降 , 故 4x 為 極 大 點(diǎn) ， 2x 為 極 小 點(diǎn) , 第 13頁(yè) ,22)4( fM ,2)2( fm,44
7、2 ab ,422sin42 24 dxxx .22sin21 24 dxxx 第 14頁(yè) 如 果 函 數(shù) )(xf 在 閉 區(qū) 間 , ba 上 連 續(xù) ，證 Mdxxfabm ba )(1 )()()( abMdxxfabm ba 由 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 介 值 定 理 知?jiǎng)t 在 積 分 區(qū) 間 , ba 上 至 少 存 在 一 個(gè) 點(diǎn) ， 使 dxxfba )( )( abf . )( ba 性 質(zhì) 7（ 定 積 分 中 值 定 理 ） 積 分 中 值 公 式 第 15頁(yè) 在 區(qū) 間 , ba 上 至 少 存 在 一 個(gè) 點(diǎn) ，使 ,)(1)( ba dxxfabf dx
8、xfba )( )( abf . )( ba 在 區(qū) 間 , ba 上 至 少 存 在 一個(gè) 點(diǎn) ， 即積 分 中 值 公 式 的 幾 何 解 釋 ：xyo a b)(f 使 得 以 區(qū) 間 , ba 為以 曲 線 )(xfy 底 邊 ， 為 曲 邊 的 曲 邊 梯 形 的 面 積等 于 同 一 底 邊 而 高 為 )(f 的 一 個(gè) 矩 形 的 面 積 。 第 16頁(yè) 例 4 設(shè) )(xf 可 導(dǎo) ， 且 1)(lim xfx ， 求 dttfttxxx 2 )(3sinlim .解 由 積 分 中 值 定 理 知 有 ,2, xx使 dttfttxx 2 )(3sin ),2)(3sin
9、xxf dttfttxxx 2 )(3sinlim )(3sinlim2 f)(3lim2 f .6 第 17頁(yè) 定 積 分 的 性 質(zhì)（ 注 意 估 值 性 質(zhì) 、 積 分 中 值 定 理 的 應(yīng) 用 ） 典 型 問(wèn) 題（ ） 估 計(jì) 積 分 值 ；（ ） 不 計(jì) 算 定 積 分 比 較 積 分 大 小 q二 、 小 結(jié) 第 18頁(yè)思 考 題 定 積 分 性 質(zhì) 中 指 出 ， 若 )(),( xgxf 在 , ba上 都 可 積 ， 則 )()( xgxf 或 )()( xgxf 在 , ba上 也 可 積 。 這 一 性 質(zhì) 之 逆 成 立 嗎 ？ 為 什 么 ？ 第 19頁(yè) 思 考 題
10、 解 答 由 )()( xgxf 或 )()( xgxf 在 , ba 上 可 積 ， 不 能 斷 言 )(),( xgxf 在 , ba 上 都 可 積 。 為 無(wú) 理 數(shù)， 為 有 理 數(shù)xxxf 0,1)( 為 無(wú) 理 數(shù)， 為 有 理 數(shù)xxxg 1,0)( 顯 然 )()( xgxf 和 )()( xgxf 在 1,0 上 可 積 ， 但)(),( xgxf 在 1,0 上 都 不 可 積 。 例 第 20頁(yè) 一 、 填 空 題 ：1、 如 果 積 分 區(qū) 間 ba , 被 點(diǎn) c分 成 bcca , 與 ， 則 定 積 分 的 可 加 性 為 ba dxxf )( _；2、 如 果
11、 baxf ,)( 在 上 的 最 大 值 與 最 小 值 分 別 為M m與 ， 則 ab dxxf )( 有 如 下 估 計(jì) 式 ： _ _； 3、 時(shí)當(dāng) ba ， 我 們 規(guī) 定 ba dxxf )( 與 ab dxxf )( 的 關(guān)系 是 _； 4、 積 分 中 值 公 式 ba dxxf )( )(,)( baabf 的 幾 何 意 義 是 _； 練 習(xí) 題 第 21頁(yè) 5、 下 列 兩 積 分 的 大 小 關(guān) 系 是 ：（ 1） 10 2dxx _10 3dxx （ 2） 21 ln xdx_21 2)(ln dxx（ 3） dxe x10 _ 10 )1( dxx 二 、 證 明
12、 ： ba ba dxxfkdxxkf )()( （ 是 常 數(shù)k ） .三 、 估 計(jì) 下 列 積 分 333 cot xdxxarc 的 值 . 四 、 證 明 不 等 式 ： 21 21dxx . 第 22頁(yè) 六 、 用 定 積 分 定 義 和 性 質(zhì) 求 極 限 :1、 )21.2111(lim nnnn ; 2.、 40 sinlim xdxnn .七 、 設(shè) )(xf 及 baxg ,)( 在 上 連 續(xù) ， 證 明 ： 1、 若 在 ba , 上 0)( xf , 且 ba dxxf 0)( ， 則 在 ba , 上 0)( xf ； 2、 若 在 ba , 上 ， 0)( xf
13、 ,且 )(xf 不 0恒 等 于 ， 則 ba dxxf 0)( ； 3、 若 在 ba , 上 )()( xgxf ,且 ba ba dxxgdxxf )()( ， 則 在 )()(, xgxfba 上 . 第 23頁(yè) 一 、 1、 bcca dxxfdxxf )()( ； 2、 baabMdxxfabm ba ,)()()( ； 3、 ba dxxf )( ab dxxf )( ；4、 曲 邊 梯 形 各 部 分 面 積 的 代 數(shù) 和 等 于 為 鄰與 abf )( 邊 的 矩 形 面 積 ； 5、 (1)； (2)； (3). 三 、 1、 32arctan9 331 xdxx ； 2、 53arcsin2421 3210 xxxdx . 練 習(xí) 題 答 案
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