高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件.ppt

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第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明,第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,,1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理． 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．,[要點(diǎn)梳理] 數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0∈N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，推出當(dāng)__________時(shí)命題也成立．,,,,,,n＝k＋1,只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 質(zhì)疑探究：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤． (1)第一步中， 驗(yàn)算n＝n0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2或3等． (2)第二步中，證明n＝k＋1時(shí)命題成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧．,[解析] 觀察等式左邊的特征易知選C. [答案] C,[解析] 從n到n2共有n2－n＋1個(gè)數(shù)， 所以f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng). [答案] D,4．凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和為f(k＋1)＝f(k)＋________. [解析] 易得f(k＋1)＝f(k)＋π. [答案] π,,[典例透析],所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 綜合(1)(2)知對(duì)一切n∈N* ，等式都成立． 拓展提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾； (2)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．,思路點(diǎn)撥 利用假設(shè)后，要注意不等式的放大和縮?。?拓展提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)成立得n＝k＋1時(shí)成立，主要方法有①放縮法；②利用均值不等式法；③作差比較法等．,考向三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數(shù)． 思路點(diǎn)撥 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配湊成42k＋1＋3k＋2的形式是解題的關(guān)鍵．,拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，P(k)?P(k＋1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k＋1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．”,活學(xué)活用3 已知n為正整數(shù)，a∈Z，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除． [證明] (1)當(dāng)n＝1時(shí)，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋2＋(a＋1)2k＋1 ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2,思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵是搞清n＝k到n＝k＋1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù)，看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解．,拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析；事實(shí)上，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧. 活學(xué)活用4 平面上有n個(gè)圓，每兩圓交于兩點(diǎn)，每三圓不過同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面為n2－n＋2個(gè)部分．,[審題視角] (1)將n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． (2)利用分析法，結(jié)合x＞0，y＞0，x＋y＝1，利用基本不等式可證．,【答題模板】 第1步：尋找特例a1，a2，a3等． 第2步：猜想an的公式． 第3步：轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an－1的關(guān)系． 第4步：用數(shù)學(xué)歸納法證明an. ①驗(yàn)證遞推公式中的第一個(gè)自然數(shù)n＝2. ②推證ak＋1的表達(dá)式為k＋1. ③補(bǔ)驗(yàn)n＝1，說明對(duì)于n∈N*成立． 第5步：分析法證明．,提醒：(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性． (2)為了正確地猜想an，首先準(zhǔn)確求出a1，a2，a3的值．,[思維升華] 【方法與技巧】,1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存，缺一不可 有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ)． 2．歸納假設(shè)的作用 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，對(duì)于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)：,(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證n＝k＋1時(shí)，必須用上歸納假設(shè)． 3．利用歸納假設(shè)的技巧 在推證n＝k＋1時(shí)，可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè)．此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系．在推證時(shí)，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用．,【失誤與防范】,1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1； 2．推證n＝k＋1時(shí)一定要用上n＝k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法．,