高中數學 第2講 直線與圓的位置關系 第4節(jié) 弦切角的性質課件 新人教A版選修4-1

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1、第四節(jié)弦切角的性質 1掌握并會運用弦切角定理2理解數學的化歸思想(重點)課 標 定 位 1弦切角的性質定理的應用(重點)2與相似三角形、四邊形中的邊角聯系密切(難點) No.1 預習學案 1弦切角的定義_的角叫做弦切角，如圖所示，在圖中_就是一個弦切角頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切 CAB 2對弦切角的理解弦切角需具備的三個條件_在圓上(頂點為切線的切點)；一邊和圓_(一邊所在的直線為圓的切線)；一邊和圓_(一邊為圓的過切點的弦)對于上述三個條件缺一不可，一個圓的弦切角不止一個，可有無數多個，只要滿足上述三個條件就是弦切角頂點相切相交 3弦切角定理(1)文字語言敘述弦切角等于它_所對

2、的圓周角(2)圖形語言敘述如圖，AB與 O切于A點，則 BAC_所夾的弧 D 4與弦切角定理有關的結論(1)弦切角的度數等于它_(2)弦切角的度數等于它_ _(3)如果兩個弦切角所夾的_，那么這兩個_所夾的弧的度數的一半所夾的弧所對的圓心角度數的一半弧相等弦切角也相等 CEM ADM 1如圖，經過 O上的點A的切線和弦BC的延長線相交于點P，若 CAP40， ACP100，則 BAC所對的弧的度數為()A40B100C120 D30 解析：AP是O的切線，ABCCAP40，又ACP100，BACACPABC60，即BAC所對的弧為120.答案：C 2已知在 O的內接四邊形ABCD中，AB是 O

3、的直徑， BCD120，過D點的切線PD與BA的延長線交于P點，則 APD的度數是()A15 B30C45 D60解析：連結BD，則ADB90，又BADC180，BAD60，ABD30，PDAABD30，APDBADPDA30.答案：B 答案：451354590 解析：(1)證明：如圖，連接BC直線CD與O相切于點C，DCABAC平分DAB，DACCABADCACBAB為O的直徑，ACB90.ADC90，即ADCD No.2 課堂學案 如圖甲，在ABC中， B90，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，直線ED交BC的延長線于F.若AD AE2 1，求tan

4、 F.利 用 弦 切 角 解 決 與 角 有 關 的 問 題 思路點撥 規(guī)律方法(1)利用弦切角解決與角有關的問題的步驟根據圖形及弦切角的定義找出與題目有關的弦切角；利用弦切角定理找出與其相等的角；綜合運用相關的知識，進行角的求解(2)注意事項要注意觀察圖形，不要憑想當然圖形是最好的指導，要學會讓圖形“說話”，尋找解題的突破口，要特別重視數形結合思想的應用要注意圓周角定理、圓內接四邊形的性質定理、相似三角形、射影定理等知識的綜合應用 如圖甲，AB是 O的直徑，AC切 O于A，CB交 O于D，DE切 O于D，BE DE于E，BD10，DE、BE是方程x22(m2)x2m2m30的兩個根(DEBE

5、)求AC的長 利 用 弦 切 角 解 決 與 長 度 有 關 的 問 題 思路點撥利用韋達定理和勾股定理，求出DE、BE的長，然后兩次借助弦切角定理，判斷出三角形相似，利用對應的長度比值分別求出AD、AC的長度解題過程如圖乙所示，連接ADDE、BE是方程x22(m2)x2m2m30的兩個根，DEBE2(m2)，DEBE2m2m3.又DE2BE2102，2(m2)22(2m2m3)100，解得m5， 規(guī)律方法(1)弦切角是與圓相交的角其主要功能是協(xié)調與圓相關的各種角，如圓心角、圓周角等，是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關的各種直線位置關系的橋梁(2)弦切角定理經常作為工具，進行三角形相似

6、的證明，然后利用三角形相似進一步確定相應邊之間的關系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理(3)弦切角定理有時還與圓周角定理等知識綜合運用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，通常都作為輔助工具出現 2.如圖，ABD的邊AB為直徑，作 O交AD于C，過點C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E.證明：ABBD 運 用 弦 切 角 定 理 證 明 比 例 式 或 乘 積 式 規(guī)律方法證明乘積式成立，往往與相似三角形有關，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時需要添加輔助線創(chuàng)造條件 3.如圖，AD是ABC的角平分線，經過點A、D的 O和BC切于D，且A

7、B、AC與 O相交于點E、F，連接DF.(1)求證：EF BC；(2)求證：DF2AFBE.證明：(1)O切BC于D，CADCDF.AD是ABC的角平分線，BADCAD，又BADEFD，EFDCDF，EF BC 如下圖所示，CF是 O的直徑，CB是 O的弦，CB的延長線與過點F的 O的切線交于點P. 弦 切 角 的 綜 合 應 用 解題過程(1)PF是切線，PCF是直角三角形，P45，PFCF，2rPF10，r5，O的半徑為5. 規(guī)律方法利用弦切角定理進行計算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時與圓的直徑所對的圓周角結合運用，同時要注意根據題目的需要可添加輔助線構成所需要的弦切角

8、4.如圖，已知ABC內接于 O，AE切 O于點A，BC AE，(1)求證：ABC是等腰三角形；(2)設AB10 cm，BC8 cm，點P是射線AE上的點，若以A、P、C為頂點的三角形與ABC相似，問這樣的點有幾個？并求AP的長 1圓心角、圓周角、弦切角三者之間的區(qū)別 2.如何從運動變化思想理解弦切角？弦切角可以理解為是移動圓周角的一條邊而產生的，過程為：保持一邊不動，移動圓周角的另一邊，當運動移至與圓相切位置時，停止移動，此時便形成了弦切角3弦切角定理的證明體現了哪些數學思想？分類討論、完全歸納法、從特殊到一般4運用弦切角定理解題時，一般怎樣添加輔助線？添加輔助線構成弦切角所夾的弧對應合適的圓周角，為解題提供條件.