高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第11章 第4節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件 理.ppt
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,第十一章 算法初步、推理證明、復(fù)數(shù),第四節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用,,[考情展望] 1.考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明步驟.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式、不等式或數(shù)列有關(guān)的命題.,固本源 練基礎(chǔ) 理清教材,[基礎(chǔ)梳理],1.判斷正誤,正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”. (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.( ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),歸納假設(shè)可以不用.( ) (4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).( ) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗(yàn)證n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.( ) (6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí),n0=3.( ),[基礎(chǔ)訓(xùn)練],答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√,解析:因?yàn)榧僭O(shè)n=k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題成立,故下一個(gè)偶數(shù)為k+2.,解析:從n到n2共有n2-n+1個(gè)數(shù),所以f(n)中共有n2-n+1項(xiàng).,4.凸k邊形內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和為f(k+1)=f(k)+________.,解析:易得f(k+1)=f(k)+π.,答案:π,,答案:2k,精研析 巧運(yùn)用 全面攻克,┃考點(diǎn)一┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式——自主練透型,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型,其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是幾; 2.由n=k到n=k+1時(shí),除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n=k時(shí)的式子,即充分利用假設(shè),正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明.,自我感悟解題規(guī)律,┃考點(diǎn)二┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式——自主練透型,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明;二是給出兩個(gè)式子,按要求比較它們的大小,對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論,常用數(shù)學(xué)歸納法證明. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時(shí)成立得n=k+1時(shí)成立,主要方法有①放縮法;②利用均值不等式法;③作差比較法等.,自我感悟解題規(guī)律,[調(diào)研3] 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除,其中n為正整數(shù). [思路點(diǎn)撥] 當(dāng)n=k+1時(shí),把42(k+1)+1+3k+3配湊成42k+1+3k+2的形式是解題的關(guān)鍵.,┃考點(diǎn)三┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 ——師生共研型,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,P(k)?P(k+1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn),找出它們之間的差異,然后將P(k+1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式,也可運(yùn)用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.”,名師歸納類題練熟,已知n為正整數(shù),a∈Z,用數(shù)學(xué)歸納法證明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.,[好題研習(xí)],證明:①當(dāng)n=1時(shí),an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除. ②假設(shè)n=k時(shí),ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí), ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除. 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 根據(jù)①②可知,對(duì)于任意n∈N+,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.,[思路點(diǎn)撥] 關(guān)鍵是搞清n=k到n=k+1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù),看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解.,┃考點(diǎn)四┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題——自主練透型,(2)平面上有n個(gè)圓,每?jī)蓤A交于兩點(diǎn),每三圓不過(guò)同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓分平面為n2-n+2個(gè)部分. [證明] ①當(dāng)n=1時(shí),n2-n+2=1-1+2=2,而一個(gè)圓把平面分成兩部分,所以n=1命題成立. ②設(shè)n=k時(shí),k個(gè)圓分平面為k2-k+2個(gè)部分,則n=k+1時(shí),第k+1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)交點(diǎn)分第k+1個(gè)圓為2k段,每一段都將原來(lái)所在的平面一分為二,故增加了2k個(gè)平面塊,共有(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2個(gè)部分. ∴對(duì)n=k+1也成立. 由①②可知,這n個(gè)圓分割平面為n2-n+2個(gè)部分.,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”,即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí),所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析;事實(shí)上,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧.,自我感悟解題規(guī)律,學(xué)方法 提能力 啟智培優(yōu),[審題視角] (1)將n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,從而可猜想an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. (2)利用分析法,結(jié)合x0,y0,x+y=1,利用基本不等式可證.,[規(guī)范答題] 歸納、猜想、證明,[答題模板] 第一步:尋找特例a1,a2,a3等. 第二步:猜想an的公式. 第三步:轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an-1的關(guān)系. 第四步:用數(shù)學(xué)歸納法證明an. ①驗(yàn)證遞推公式中的第一個(gè)自然數(shù)n=2. ②推證ak+1的表達(dá)式為k+1. ③補(bǔ)驗(yàn)n=1,說(shuō)明對(duì)于n∈N*成立. 第五步:分析法證明.,[名師指導(dǎo)],- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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