矢性函數(shù)的微分與積分

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1、 矢 量 分 析 與 場(chǎng) 論 第 3講 矢 性 函 數(shù) 的 微 分 與 積 分張?jiān)兄袊?guó)石油大學(xué)（北京）地球物理與信息工程學(xué)院 主 要 內(nèi) 容l1. 矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用l2. 導(dǎo) 矢 的 幾 何 應(yīng) 用l3. 導(dǎo) 矢 的 物 理 應(yīng) 用l4. 矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分l5. 矢 性 函 數(shù) 的 定 積 分教 材 ： 第 1章 ， 第 2節(jié) ， 第 3節(jié) l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用解 ：例 6： 設(shè) ,cossin ktjtitA ,3sincos kjtitB ,32 kjiC 求 處 的 。)( CBAdtd 0t )()()( CBd

2、tAdCBdtdACBAdtd )()( CBdtAdCdtBddtCdBA )()()( CBdtAdCdtBdAdtCdBA l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用解 ： ,sincos kjtitdtAd ,cossin jtitdtBd 0dtCd 在 處 ：0t ,jA ,3kiB ,32 kjiC ,kidtAd ,jdtBd 0dtCd 例 6： 設(shè) ,cossin ktjtitA ,3sincos kjtitB ,32 kjiC 求 處 的 。)( CBAdtd 0t l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用解 ： cbabcacba )()( CBdtAdB

3、CdtAdCdtBdAdtBdCA )()()()(0 )()()()( CBdtAdCdtBdAdtCdBACBAdtd kji 667 例 6： 設(shè) ,cossin ktjtitA ,3sincos kjtitB ,32 kjiC 求 處 的 。)( CBAdtd 0t l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用證 ：例 7： 矢 性 函 數(shù) 的 模 不 變 的 充 要 條 件 是 ：)(tA 0 dtAdA 設(shè) ， 則 ：CA CCAAA 22對(duì) 上 式 兩 邊 求 導(dǎo) ， 得 到 ： 02 dtAdA l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用證 ： 0 dtAdA 反 之

4、 ， 設(shè) ：則 有 ： 0 dtAdA 0)( AA dtd 即 ： CAAA 2例 7： 矢 性 函 數(shù) 的 模 不 變 的 充 要 條 件 是 ：)(tA l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用0 dtAdA dtd l定 長(zhǎng) 矢 量 與 其 導(dǎo) 矢 相 互 垂 直 。)(tA對(duì) 于 單 位 矢 量 ， 有 ：對(duì) 于 圓 函 數(shù) ， 有 ， )()( 1 ee )()( 1 ee 例 7： 矢 性 函 數(shù) 的 模 不 變 的 充 要 條 件 是 ：)(tA l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用l證 明 圓 柱 螺 旋 線 的 切 線 與 軸成 定 角 （ 習(xí) 題 1第

5、 8題 ） 。 kbear )( z證 ： kddbdedadrd )( kbea )( 1 ababkkbeak cos)( 221 22cos ba ba l2.導(dǎo) 矢 的 幾 何 應(yīng) 用l曲 線 的 切 線 和 法 平 面 kzjyixtrr )( o 0M M V)(tp)(0 tr lkdtdzjdtdyidtdxdtrdV 表 示 曲 線 的 切 線 方 向 。 在 點(diǎn) 處 ，V 0Mkzjyixr 0000 引 入 切 線 的 動(dòng) 點(diǎn) ， 對(duì) 應(yīng) 的 矢 量 為 ：M kZjYiXtpp )( l2.導(dǎo) 矢 的 幾 何 應(yīng) 用須 滿 足 ： o 0M M V)(tp)(0 tr

6、l,X 0 dtdxx 式 中 為 常 數(shù) ， 可 以 寫 出 切 線 方 程 ： Vrp 0 ,0 dtdyyY dtdzzZ 0或 寫 為 ： dtdz zZdtdyyYdtdxx 000-X l2.導(dǎo) 矢 的 幾 何 應(yīng) 用l曲 線 的 法 平 面 是 指 與 切線 相 垂 直 的 平 面 。 0M 0 01 VMM 而 ： o 0M M V)(tp)(0 tr l1M設(shè) 是 法 平 面 上 的 任 一 個(gè) 動(dòng) 點(diǎn) ， 可 以 得 到 ：),1 ZYXM（ kzZjyYixXMM )()()( 00001 法 平 面 方 程 ： 0)()()( 000 zZdtdzyYdtdyxXdtd

7、x l2.導(dǎo) 矢 的 幾 何 應(yīng) 用l曲 面 的 法 線 和 切 平 面設(shè) 曲 面 的 方 程 為 ： 0),( zyxF 0M 1Mpl兩 邊 取 導(dǎo) 數(shù) ， 得 到 ： 是 經(jīng) 過 的 任 意 一 條 曲 線 ， 有 ： l 0M：l ，)(0 txx ，)(0 tyy )(0 tzz 0 dtdzzFdtdyyFdtdxxF （ 1） l2.導(dǎo) 矢 的 幾 何 應(yīng) 用l曲 面 的 法 線 和 切 平 面方 程 （ 1） 可 以 表 示 為 ： 0M 1MplkzFjyFixFPM 0 0 0 VPM 的 方 向 為 法 線 方 向 。 0PM l2.導(dǎo) 矢 的 幾 何 應(yīng) 用l曲 面 的

8、 法 線 和 切 平 面 0M 1MplzFzZyFyYxFxX 000切 平 面 方 程 ：對(duì) 于 和 ， 法線 方 程 是 ： ),( 0000 zyxM ),( ZYXP 0)()()( 000 zZzFyYyFxXxF l3.導(dǎo) 矢 的 物 理 應(yīng) 用 dtdsdsrddtrd l牛 頓 力 學(xué) 主 要 討 論 矢 量函 數(shù) ， 為 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡 。)(tr l zo yx )(tr M l0M n sl 為 路 程 ， 為 的 函 數(shù) 。s s)(tr 為 一 切 向 單 位 矢 量 ， 指 向 增 大 的 一 方 。 dsrd s 為 速 率 ， 則 ：dtds vdtrd l3

9、.導(dǎo) 矢 的 物 理 應(yīng) 用l運(yùn) 動(dòng) 速 度 為 切 線 方 向 。dtrdV 切 向 單 位 矢 ： ,VV 速 度 矢 量 ： VV 加 速 度 矢 量 ： 22)( dt rddtrddtddtVda zo yx )(tr M l0M n s dtdVdtVddtVda 法 向 單 位 矢 ： ,/)( dtddtdn )( dtd l3.導(dǎo) 矢 的 物 理 應(yīng) 用證 ：例 9： 一 質(zhì) 點(diǎn) 以 常 角 速 度 在 圓 周 上 運(yùn) 動(dòng) ，證 明 其 加 速 度 為 ： ravw 22其 中 為 速 度 的 模 。 )(ear v v dtdeadtrdv )( 1 其 中 為 角 速 度

10、 的 模 ， 為 常 數(shù) ， 從 而 加 速 度dtd rdtddtdeadtvdw 22 )()( 由 于 ， 所 以 ：dtdavv ravw 22 l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分 dttA )(若 已 知 是 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 則 有 ： )(tB )(tA CtBdttA )()( （ 是 任 意 常 矢 量 ）Cl定 義 ： 若 在 的 某 個(gè) 區(qū) 間 上 ， 有 ， 則稱 為 在 此 區(qū) 間 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) 。 在 此 區(qū)間 上 ， 的 原 函 數(shù) 的 全 體 ， 叫 做 在 上 的不 定 積 分 ， 記 作 ： It )()( tAtB )(tB )(

11、tA)(tA )(tA II l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分l性 質(zhì) ： 為 非 零 常 數(shù) ， 為 非 零 常 矢 。k adttAkdttAk )()( dttBdttAdttBtA )()()()( dttuadttua )()( dttAadttAa )()( dttAadttAa )()( l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分證 ： dttAadttAa )()( dtktAjtAitAkajaiadttAa zyxzyx )()()()()( dtktAjtAitAiadttAia zyxxx )()()()( dtjtAaktAa zxyx )()( dttAiaj

12、dttAkdttAa xzyx )()()( 同 理 有 分 量 ， 相 加 得 ：kj , dttAadttAa )()( l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分l若 ， 則 有 ：ktAjtAitAtA zyx )()()()( dttAkdttAjdttAidttA zyx )()()()( 一 個(gè) 矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分 ， 歸 結(jié) 為 三 個(gè) 數(shù) 性 函 數(shù)的 不 定 積 分 。l換 元 法 和 分 部 積 分 法 也 適 用 于 矢 性 函 數(shù) 。 tdABBAdtBA )( ABBA 由 于 ： l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分例 1： 計(jì) 算 de )1(

13、2 2 duuede )()1(2 2 解 ： 利 用 換 元 積 分 法 ， 令 ， 則 ：12 u Cue )(1 Ce )1( 21 l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分例 2： 計(jì) 算解 ： 利 用 分 部 積 分 法 ， 有 ： dttAtA )()( )()()()( 22 dttAddtdtAdtdt tAdtA dtdttAddttAddttAdtA )()()()( CdttAdtA )()( CtAtA )()( l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分解 ： dtABBAdtBA 例 3： 設(shè) dtBA ,2 ktjtA ,sin ktjtieB t 計(jì) 算 ktej

14、teitttBA tt 2sin2 2 ）（由 于 kjA 2 為 常 矢 ， 故 AdtBdtAB )2()2cos( 2 kjktjtie t l4.矢 性 函 數(shù) 的 不 定 積 分解 ： dtABBAdtBA ktejteitttBA tt 2sin2 2 ）（ AdtBdtAB Ckejeitt tt 2cos( 2） CketjetittttdtBA tt )1(2)1(cossin2 ）（例 3： 設(shè) dtBA ,2 ktjtA ,sin ktjtieB t 計(jì) 算 l5.矢 性 函 數(shù) 的 定 積 分 ini iTT tAdttA 10 )(lim)(21 l定 義 ： 設(shè) 矢

15、 性 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 連 續(xù) ，則 在 上 定 積 分 是 指 下 面 形 式 的 極 限 ：, 21 TT)(tA)(tA , 21 TT其 中 ； 為 區(qū) 間 上 的 一 點(diǎn) ； .,2,1,max; 1 nitttt iiii 22101 TttttT n i , 21 TT l5.矢 性 函 數(shù) 的 定 積 分l不 定 積 分 的 性 質(zhì) 同 樣 適 用 于 定 積 分 )()()( 1221 TBTBdttATT l若 是 連 續(xù) 矢 性 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 的一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 則 有 ： , 21 TT)(tA)(tB dttAkdttAjdttAidttA TT

16、 zTT yTT xTT 21212121 )()()()( l5.矢 性 函 數(shù) 的 定 積 分例 4： 已 知求 ktjtittA 22)31()( 32 dttA20 )(解 ： dttkdttjdttitA 2020 320 220 22)31()( 204204203 )4()2()( tktjtti kji 810 l5.矢 性 函 數(shù) 的 定 積 分例 ： 求 的 圓 柱 螺 旋 線 長(zhǎng) 度 。 2,0 t l解 ： 已 知 圓 柱 螺 旋 線 的 矢 徑 方 程 為 ： khtjtaitakzjyixtr sincos)(弧 長(zhǎng) 的 微 分 ： dt dtdzdtdydtdxdzdydxds 222222 )()()()()()( 2220 222 2)()()( hadtdtdzdtdydtdxl l5.矢 性 函 數(shù) 的 定 積 分解 ：例 ： 設(shè) ， 求 。 kbear )(1 20 )(21 drrs )()( 1 eaear kbear )(1 20 120 )()(21)(21 deakbeadrrs 20 12 )(21 deabka ka 2 H omework 2 作 業(yè)P19 習(xí) 題 1： 6， 7， 9， 10