隱函數組隱函數組的存在性連續(xù)性與可微性是函數方

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1、 2 隱 函 數 組 隱 函 數 組 的 存 在 性 、 連 續(xù) 性 與 可 微 性 , 是 函 數 方 程 組 求 解 問 題 的 理 論 基 礎 . 利 用 隱函 數 組 的 思 想 , 又 可 進 而 討 論 反 函 數 組 與 坐標 變 換 等 特 殊 問 題 . 一 、 隱 函 數 組 概 念 二 、 隱 函 數 組 定 理 三 、 反 函 數 組 與 坐 標 變 換 一 、 隱 函 數 組 概 念 設 有 一 組 方 程 ( , , , ) 0, (1)( , , , ) 0,F x y u vG x y u v 2( )RD,E D E V , 使 得 對 于 任 給 的 ( ,

2、 ) ,x y D足 方 程 組 (1) , 則 稱 由 (1) 確 定 了 隱 函 數 組 有 惟 一 的 與 之 對 應 , 且 使( )u,v E ),( vuyx 滿.R4V其 中 函 數 定 義 在 區(qū) 域 若 存 在 區(qū) 域 F G與 ( , ), ( , ) ,( , ) ,( , ),u u x y x y D u v Ev v x y 并 有 ( , , ( , ), ( , ) 0, ( , ) .( , , ( , ), ( , ) 0,F x y u x y v x y x y DG x y u x y v x y 關 于 隱 函 數 組 的 一 般 情 形 ( 含 有

3、 m + n 個 變 量 的 m 個 方 程 所 確 定 的 n 個 隱 函 數 )， 將 在 第 二 十 三章 采 用 向 量 函 數 的 形 式 作 進 一 步 討 論 首 先 來 看 看 , 若 由 方 程 組 (1) 能 確 定 兩 個 可 微 的 隱 函 數 , 則 函 數 ( , ) ( , )u u x y v v x y 與 GF、 應 滿 足 何 種 條 件 呢 ? 不 妨 先 設 都 可 微 , 由 復 合 求 導 法 , 通 過 對 (1)GF、分 別 求 關 于 x 與 y 的 偏 導 數 , 得 到 0, (2)0;x u x v xx u x v xF F u F

4、vG G u G v 0, (3)0.y u y v yy u y v yF F u F vG G u G v 能 由 (2) 與 (3) 惟 一 解 出 的 充 要 ),(),( yyxx vuvu 與條 件 是 雅 可 比 ( Jacobi ) 行 列 式 不 等 于 零 ， 即 def 0. (4, )( )( , ) u vu vF FF GJ G Gu v 由 此 可 見 ， 只 要 具 有 連 續(xù) 的 一 階 偏 導 數 ， 且 GF、其 中 是 滿 足 (1) 的 某 一 ,00 PJ 0 0 0 0 0( , , , )P x y u v初 始 點 , 則 由 保 號 性 定

5、理 ， 使 得 在 此 鄰 域 ,)( 0PU內 (4)式 成 立 根 據 以 上 分 析 , 便 有 下 述 隱 函 數 組 定 理 . 雅 可 比 （ Jacobi, C.G .J. 1804-1851, 德 國 ） 定 理 18.4 ( 隱 函 數 組 定 理 ) 設 方 程 組 (1) 中 的 函 數 F 與 G 滿 足 下 列 條 件 ： (i) 在 以 點 為 內 點 的 某 區(qū) 域 ),( 00000 vuyxP 4RV 上 連 續(xù) ； (ii) (初 始 條 件 ); 0)()( 00 PGPF(iii) 在 V 內 存 在 連 續(xù) 的 一 階 偏 導 數 ； (iv) .0)

6、,( ),( 00 PP vu GFJ 二 、 隱 函 數 組 定 理 ,)(),(!,)(),( 00 WUvuQUyx 即 有 ;)(),(,)(),(,),( ,),( 00 WUvuQUyxyxvv yxuu( , , ( , ), ( , ) 0,( , , ( , ), ( , ) 0,F x y u x y v x yG x y u x y v x y .)(),( 0QUyx 則 有 如 下 結 論 成 立 ： 且 滿 足 0 0 0 0 0 0( , ), ( , ),u u x y v v x y 以 及1 必 定 存 在 鄰 域 ,)()()( 000 VWUQUPU 其

7、 中 0 0 0 0 0 0( , ), ( , ),Q x y W u v 使 得 2o ( , ), ( , )u x y v x y 在 上 連 續(xù) . 0( )U Q3o ( , ), ( , )u x y v x y 在 上 存 在 一 階 連 續(xù) 偏 導 0( )U Q數 , 且 有 1 ( , ) ,( , )1 ( , ) .( , )v F Gx J u xv F Gy J u y 1 ( , ) ,( , )1 ( , ) ;( , )u F Gx J x vu F Gy J y v 本 定 理 的 詳 細 證 明 從 略 ( 第 二 十 三 章 有 一 般 隱 函 數 定

8、 理 及 其 證 明 ), 下 面 只 作 一 粗 略 的 解 釋 : 由 方 程 組 (1) 的 第 一 式 確 定 隱 ( , , , ) 0F x y u v 函 數 ( , , ),u x y v 且 有, , .x x u y y u v v uF F F F F F ( , , ) ( , , ( , , ), ) 0.H x y v G x y x y v v ( , , ( , ) ( , ).u x y v x y u x y ( , , )u x y v 將 代 入 方 程 組 (1) 的 第 二 式 , 得 ( , ),v v x y 再 由 此 方 程 確 定 隱 函

9、數 并 代 回 至 這 樣 就 得 到 了 一 組 隱 函 數 ( , ), ( , ).u u x y v v x y 通 過 詳 細 計 算 , 又 可 得 出 如 下 一 些 結 果 : , ;x x u x v u v vH G G u H G G 1 ( , ) ,( , )x v xx v x u u vx v x uu u u v vF F Hu vx F F HF F G G F GF F G G J x v L1 ( , ) ;( , )y v yu F Gvy J y v L1 ( , ) 1 ( , ), .( , ) ( , )v F G v F Gx J u x y

10、J u y同 理 又 有 例 1 設 有 方 程 組 22 24 0, (5)5 0.xy yzx y yz z 22 24,( , , ) 5( , , ) ,xy yzF x y z x y yz zG x y z 0(1, 2,1)P 試 討 論 在 點 的 近 旁 能 確 定 怎 樣 的 隱 函 0P數 組 ？ 并 計 算 各 隱 函 數 在 點 處 的 導 數 . 0P解 易 知 點 滿 足 方 程 組 (5) . 設 它 們 在 上 有 連 續(xù) 的 各 階 偏 導 數 . 再 考 察 3R ,F G00 22 22 2x y z PPx y zF F F y x z yzG G G

11、 xy x z y z 2 2 4 .4 2 4 0P在 點 關 于 所 有 變 量 的 雅 可 比 矩 陣 0 2 2( , ) 4 0,( , ) 4 2PF Gx y 由 于 0 4 2( , ) 8 0,( , ) 4 4PF Gz x 0 2 4( , ) 0,( , ) 2 4PF Gy z ( ), ( ),( ); ( );x x z z z yy y z x x y與 0P因 此 由 隱 函 數 組 定 理 可 知 , 在 點 近 旁 可 以 惟 一 地 確 定 隱 函 數 組 : 但 不 能 肯 定 y , z 可 否 作 為 x 的 兩 個 隱 函 數 . 0 0d 0(

12、 , ) ( , ) 0,( , )d 4( , )P Px F G F Gz yz x y 0 0d ( 8)( , ) ( , ) 2;( , )d 4( , )P Py F G F Gx zz x y 0 0d 4 1( , ) ( , ) ,( , )d 8 2( , )P Pz F G F Gy xy z x 0 0d 0( , ) ( , ) 0.( , )d 8( , )P Px F G F Gz yy z x 3o 0P運 用 定 理 18.4 的 結 論 , 可 求 得 隱 函 數 在 點 處 的 導 數 值 : 022d 1 0.4d Pxy *注 通 過 詳 細 計 算

13、, 還 能 求 得 ( ) 2x x y y 在這 說 明 處 取 極 大 值 , 從 而 知 道 0P在 點 的 任 意 小 鄰 域 內 , 對 每 一 個 x 的 值 , 會 有 多 個 y 的 值 與 之 對 應 . 類 似 地 , 對 每 一 個 x 的 值 , 也 會 有 多 個 z 的 值 與 之 對 應 . 所 以 方 程 組 (5) 在 點 0P 近 旁 不 能 惟 一 確 定 以 x 作 為 自 變 量 的 隱 函 數 組 . 例 2 設 函 數 具 有 連 續(xù) 的 偏 導 數 , ( , ), ( , )f x y g x y 2( , ), ( , ) 0u f ux v

14、 y g u x v y 1 2 1 221 2 1 21 .2x y u vx y u vF F F F uf f x f fG G G G g v g g vyg ( , ) ( , )u u x y v v x y 與 是 由 方 程 組 , .u vx y 所 確 定 的 隱 函 數 組 . 試 求 2( , ), ( , ),F u f ux v y G g u x v y 解 設 則 有 由 此 計 算 所 需 之 雅 可 比 行 列 式 : 1 2 2 1 2 2 11 21 2 2 ,2uv xf fJ vyg xyvf g f gg vyg 1 2 1 2 2 11 2 2

15、,2xv uf fJ yuvf g f gg vyg 1 2 2 22 1 2 2 121 21 .uy xf fJ v g xv f g f gg v g 于 是 求 得 1 2 2 12 1 2 2 12 ,2 2xvuvJ yuvf g f gux J yvg xyvf g f g 2 21 2 2 1 22 1 2 2 1 .2 2uyuvJ xv f g f g v gvy J yvg xyvf g f g 注 計 算 隱 函 數 組 的 偏 導 數 ( 或 導 數 ) 比 較 繁 瑣 , 要 學 懂 前 兩 例 所 演 示 的 方 法 ( 利 用 雅 可 比 矩 陣 和 雅 可 比

16、 行 列 式 ), 掌 握 其 中 的 規(guī) 律 . 這 里 特 別 需 要 “ 精 心 細 心 耐 心 ” . 三 、 反 函 數 組 與 坐 標 變 換 設 有 一 函 數 組 2( , ), ( , ), ( , ) ( R ), (6)u u x y v v x y x y B 它 確 定 了 一 個 映 射 ( 或 變 換 ) : ( ), ;Q T P P B B寫 成 點 函 數 形 式 , 即 為 并 記 的 ( ).B T B象 集 為 現 在 的 問 題 是 : 函 數 組 (6) 滿 足 T 1?T何 種 條 件 時 , 存 在 逆 變 換 即 存 在 ( , ) ( ,

17、) .P x y Q u va 2: R ,T B ( , ) ( , )Q u v P x ya1( ( ), ),P T Q Q B 或 1: ,T B B 亦 即 存 在 一 個 函 數 組 ( , ), ( , ), ( , ) , (7)x x u v y y u v u v B ( ( , ), ( , ), ( ( , ), ( , ).u u x u v y u v v v x u v y u v 使 得 滿 足 這 樣 的 函 數 組 (7) 稱 為 函 數 組 (6) 的 反 函 數 組 . 它 的 存 在 性 問 題 可 化 為 隱 函 數 組 的 相 應 問 題 來 處

18、 理 . 為 此 , 首 先 把 方 程 組 (6) 改 寫 為 ( , , , ) ( , ) 0, (8)( , , , ) ( , ) 0.F x y u v u u x yG x y u v v v x y 然 后 將 定 理 18. 4 應 用 于 (8) , 即 得 下 述 定 理 . 定 理 18. 5 (反 函 數 組 定 理 ) 設 (6) 中 函 數 在 某 區(qū) 域 00 0 0 0 0 0 ( , )( , ), ( , ), 0.( , ) Pu vu u x y v v x y x y 2RD 0 0 0( , )P x y D上 具 有 連 續(xù) 的 一 階 偏 導

19、數 , 是 的 內 點 , 且 則 在 點 的 某 鄰 域 內 , 存 在 惟 一 0 0 0( , )P u v 0( )U P 0 0 0 0 0 0( , ), ( , );x x u v y y u v ( ( , ), ( , ), ( ( , ), ( , ).u u x u v y u v v v x u v y u v 此 外 , 反 函 數 組 (7) 在 內 存 在 連 續(xù) 的 一 階 0( )U P ( , ) ( , ) ,( , ) ( , )xy F G u vJ x y x y 的 一 組 反 函 數 (7) , 使 得 0( ( , ), ( , ) ( );x

20、 u v y u v U P偏 導 數 ; 若 記 則 有 ( , ) ( , )( , ) ( , )11 ,0 y yxy xyyx F G F Gu y x yu u vJ Jv 同 理 又 有 ,yxyuxv J , .x xxy xyv uy yu J v J (9) 由 (9) 式 進 一 步 看 到 : 2( , ) 1( , ) y yx xxy v ux yu v v uJ 此 式 表 示 : 互 為 反 函 數 組 的 (6) 與 (7) , 它 們 的 雅 可 比 行 列 式 互 為 倒 數 . 這 和 以 前 熟 知 的 反 函 數 求 導 公 式 相 類 似 , 亦

21、即 一 元 函 數 的 導 數 和 函 數 組 (6) 的 雅 可 比 行 列 式 互 為 對 應 物 . 2 2 ( , )1 .( , )x y y x xyxy xyu v u v J u vx yJ J : cos , sin .T x r y r 例 3 平 面 上 點 的 直 角 坐 標 與 極 坐 標 之 ( , )r ( , )x y間 的 坐 標 變 換 為 試 討 論 它 的 逆 變 換 . cos sin( , ) ,( , ) sin cosrx y rr r 解 由 于因 此 除 原 點 (r = 0) 外 , 在 其 余 一 切 點 處 , T 存 在 1:T 逆

22、變 換 arctan , 0,arctan , 0,y xx y xx arccot , 0,arccot , 0.x yyx yy 或 2 2 ,r x y 例 4 空 間 直 角 坐 標 與 球 坐 標 之 間 ( , , )x y z ( , , ) sin cos ,: sin sin ,cos .xT yz sin cos cos cos sin sin( , , ) sin sin cos sin sin cos( , , ) cos sin 0 x y z ( , , )x y zx yzO的 坐 標 變 換 為 ( 見 右 圖 ) 由 于 2sin , 2 2 2, arcco

23、s , arctan .z yx y z x 2 22 2 2 ( 0), (10)a ax t 2sin 0 因 此 在 ( 即 除 去 Oz 軸 上 的 一 切 點 ) 時 , T 1:T 存 在 逆 變 換 例 5 設 有 一 微 分 方 程 (弦 振 動 方 程 ) : ( , )x t其 中 具 有 二 階 連 續(xù) 偏 導 數 . 試 問 此 方 程 在 : ,T u x at v x at 坐 標 變 換 之 下 , 將 變 成 何 種 形 式 ? ( , )1, , 2 0,( , )x x t t u vu v u v a ax t d d d d d , d d d .x t

24、u u x u t x a t v x a t d = d + d =( )d ( )d ,u v u v u vu v x+a t 解 據 題 意 , 是 要 把 方 程 (10) 變 換 成 以 u, v 作 為 自 變 量 的 形 式 . 現 在 按 此 目 標 計 算 如 下 : 首 先 有 故 T 的 逆 變 換 存 在 , 而 且 又 有 依 據 一 階 微 分 形 式 不 變 性 , 得 到 并 由 此 推 知 , ( ).x u v t u va ( ) ( )xx u v x u v xu vu v ( ) ( )tt u v t u v ta u a vu v xx tt繼

25、 續(xù) 求 以 u, v 為 自 變 量 的 與 的 表 達 式 : 最 后 得 到 以 u, v 為 自 變 量 的 微 分 方 程 為 22 24 0, 0.xx tt uva a u v 即2( 2 ).uu uv vva 2 ,uu vu uv vv uu uv vv 復 習 思 考 題 1. 驗 證 : 定 理 18.4 的 結 論 可 以 寫 成 3o 1 .x y x yu vu vx y x yu u F FF FG Gv v G G 2. 驗 證 : 由 定 理 18.5 的 (9) 式 (課 本 中 為 (13) 式 ) 1, 1.x u x v y u y vu x v x u y v y 可 以 推 得