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1、開(kāi)放性問(wèn)題數(shù) 學(xué) 開(kāi) 放 題 是 指 那 些 條 件 不 完 整 ， 結(jié) 論不 確 定 ， 解 法 不 限 制 的 數(shù) 學(xué) 問(wèn) 題 。它 的 顯 著 特 點(diǎn) ： 正 確 答 案 不 唯 一 。題 型 ： 一、條件開(kāi)放型 條 件 開(kāi) 放 型 是 指 結(jié) 論 給 定 ， 條 件 未 知 或 不 全 ，需 要 探 求 與 結(jié) 論 相 對(duì) 應(yīng) 的 條 件 的 一 類 試 題 。 解 這 種 類 型 的 開(kāi) 放 性 問(wèn) 題 的 一 般 思 路 是 ： 由已 知 的 結(jié) 論 反 思 題 目 應(yīng) 具 備 怎 樣 的 條 件 ， 即從 題 目 的 結(jié) 論 出 發(fā) ， 結(jié) 合 圖 形 挖 掘 條 件 ， 逆向
2、追 索 ， 逐 步 探 尋 ， 是 一 種 分 析 型 思 維 方 式 ，這 類 開(kāi) 放 題 在 中 考 試 卷 中 較 多 出 現(xiàn) 在 填 空 題 。 例 1 請(qǐng) 你 先 化 簡(jiǎn) 下 式 ， 再 選 取 一 個(gè) 你 喜 愛(ài) 的數(shù) 代 入 求 值 。 11 22 23 x xxx xx例 2 如 圖 ， AB=DB, 1= 2， 請(qǐng) 添 加 一 個(gè)條 件 ： ， 使 得 ABC DBE，并 證 明 你 的 結(jié) 論 。 AD CB E12 12 xBC=BE 或 A= D或 C= E能 添 加 條 件 ： DE=AC嗎 ？ 0,1,1x給 出 問(wèn) 題 的 結(jié) 論 ， 讓 解 題 者 分 析 探
3、索 使結(jié) 論 成 立 應(yīng) 具 備 的 條 件 ， 而 滿 足 結(jié) 論 的條 件 往 往 不 是 唯 一 的 ， 這 樣 的 問(wèn) 題 是 條件 開(kāi) 放 性 問(wèn) 題 。 例 3:如 圖 , ABC中 ,D,E分 別 是 AC,AB上的 點(diǎn) ,BD與 CE交 于 點(diǎn) O ,給 出 下 列 四 個(gè) 條件 : EBO= DCO; BEO= CDO; BE=CD; OB=OC.(1)上 述 四 個(gè) 條 件 中 ,哪 兩 個(gè) 條 件 可 判 定 ABC是 等 腰 三 角 形 (用 序 號(hào) 寫 出 所 有 情形 );(2)選 擇 第 (1)小 題 中 的 一 種 情 形 ,證 明 ABC是 等 腰 三 角 形
4、 . AB CDOE , , , 3、 如 圖 ， DAB= CAB， 請(qǐng) 添加 一 個(gè) 條 件 ： ， 使 得DAB CAB . A DC B4、 如 圖 4， 在 ABC中 ， AB=AC， D為 AC邊 上 的 一 點(diǎn) ， 要 使 得 ABC BCD，還 需 要 添 加 一 個(gè) 條 件 ， 這 個(gè) 條 件 可 以是 .1、 寫 出 和 為 2006的 兩 個(gè) 無(wú) 理 數(shù) 。（ 只 需 寫 出 一 對(duì) ）2、 對(duì) 代 數(shù) 式 4a2作 合 理 的 解 釋是 . 例 4:如 圖 ， 在 梯 形 ABCD中 ， AB CD， E，F(xiàn)， G， H分 別 是 梯 形 ABCD各 邊 AB， BC，
5、CD， DA的 中 點(diǎn) ， 當(dāng) 梯 形 ABCD滿 足 條 件 時(shí) ， 四 邊 形 EFGH是 菱 形 。 （ 填 上 你 認(rèn) 為正 確 的 一 個(gè) 條 件 即 可 ） AD=BC BD=AC A= B A BCD E FGH 、 例 7: 一 個(gè) 方 程 組 的 解 為 和 ,試 寫 出 符 合 要 求 的 方 程 組_. 42yx 42yx、 給 出 問(wèn) 題 的 條 件 ， 讓 解 題 者 根 據(jù) 條 件 探 索相 應(yīng) 的 結(jié) 論 ， 而 符 合 條 件 的 結(jié) 論 往 往 呈 現(xiàn) 多 樣性 ， 這 樣 的 問(wèn) 題 是 結(jié) 論 開(kāi) 放 性 問(wèn) 題 。例 8:對(duì) 反 比 例 函 數(shù) 與 二
6、次 函 數(shù) ， 請(qǐng) 說(shuō) 出 它 們 的 兩 個(gè) 共 同點(diǎn) 和 兩 個(gè) 不 同 點(diǎn) 。 xy 242 2 xy 例 9、 有 這 樣 的 一 個(gè) 函 數(shù) ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁四 位 同 學(xué) 各 指 出 這 個(gè) 函 數(shù) 的 一 個(gè) 性 質(zhì) ：甲 ： 函 數(shù) 圖 象 不 經(jīng) 過(guò) 第 三 象 限 ；乙 ： 函 數(shù) 圖 像 經(jīng) 過(guò) 第 一 象 限 ；丙 ： 當(dāng) x2時(shí) ， y隨 x的 增 大 而 減 小 ；丁 ： 當(dāng) x0 已 知 這 四 位 同 學(xué) 敘 述 都 正 確 ， 請(qǐng) 你 構(gòu) 造 出滿 足 上 述 所 有 性 質(zhì) 的 一 個(gè) 函 數(shù) ； 例 10： 函 數(shù) 的 圖 象 如 圖所 示
7、， 為 該 圖 象 的 對(duì) 稱 軸 ， 根 據(jù) 這 個(gè)函 數(shù) 圖 象 ， 你 能 得 到 關(guān) 于 該 函 數(shù) 的 那 些 性 質(zhì) 和結(jié) 論 ？ （ 寫 出 四 個(gè) 即 可 ） cbxaxy 2 31x XY 113-1(1) 頂 點(diǎn) 在 第 四 象 限 31x(6) 拋 物 線 的 開(kāi) 口 向 上(7) 當(dāng) 時(shí) y隨 X 的 增 大 而 減 小 ；解 : (2) 與 X 軸 有 兩 個(gè) 交 點(diǎn) (3) a 0(4) 與 Y軸 交 于 負(fù) 半 軸 (5) -1 c 0 -1 31x(10) a0,b0,c0 (8) 當(dāng) 時(shí) y隨 X 的 增 大 而 增 大 ；(9)由 得 2a=-3b a0 b
8、 0 即 a + b + C 0(12) 當(dāng) x=-1時(shí) ， y0 即 a b + C0(13) 當(dāng) x=2時(shí) ， y0 即 4a + 2b + C0 例 11 如 圖 ， O是 等 腰 三 角 形 ABC的 外 接圓 ， AD、 AE分 別 是 BAC的 鄰 補(bǔ) 角 的 平分 線 ， AD交 O于 點(diǎn) D， 交 BC于 F， 由 這些 條 件 直 接 寫 出 六 個(gè) 正 確 的 結(jié) 論 ： （ 不 再 連 結(jié) 其 他 線 段 ） B= C , BF=CF, AB=AC, BD=CD, AD BC, AD AE, AE BC,AD是 O的 直 徑 ，AE是 O的 切 線 例 12:如 圖 ,A
9、B是 O的 直 徑 , O過(guò) AC的 中 點(diǎn)D,DE BC,垂 足 為 E.(1)由 這 些 條 件 ,你 能 推 出 哪 些 正 確 結(jié) 論 ?(要 求 :不 再 標(biāo) 注 其 他 字 母 ,找 結(jié) 論 的 過(guò) 程 中 所 連 輔 助 線不 能 出 現(xiàn) 在 結(jié) 論 中 ， 不 寫 推 理 過(guò) 程 ， 寫 出 三 個(gè)結(jié) 論 即 可 ）(2)若 ABC是 直 角 ,其 他 條 件 不 變 ,除 上 述 結(jié) 論外 ,你 還 能 推 出 哪 些 新 的 正 確 結(jié) 論 ?并 畫 出 圖形 .(要 求 同 (1)A BCD EO A BCD EO 例 13:如 圖 ,直 線 MN與 O相 切 于 點(diǎn) C
10、， AB是 O的 直 徑 ， 連 結(jié) AC、 OC、 BC， AE MN于 E， BF MN于 F， BF與 O交 于 點(diǎn) D。 根據(jù) 圖 中 所 給 出 的 已 知 條 件 及 線 段 ， 請(qǐng) 寫 出 一個(gè) 正 確 結(jié) 論 ， 并 加 以 證 明 。 AEC CFB, EC=FC,AE=DF,AE+BF=AB,EC2=AE*BF,FC2=FD*FB,AC 2/BC2=AE/BF 例 14、 如 圖 ， 平 行 四 邊 形 ABCD內(nèi)一 點(diǎn) E滿 足 ED AD于 D， 且 EBC= EDC， ECB=45 ， 找 出圖 中 一 條 與 EB相 等 的 線 段 ， 并 證 明 。 E D CB
11、 A 一 般 思 路 ： 依 據(jù) 題 設(shè) 條 件 從 簡(jiǎn) 單 情況 或 特 殊 情 況 入 手 進(jìn) 行 歸 納 ， 大 膽 的猜 想 得 出 結(jié) 論 ， 然 后 進(jìn) 行 論 證 。 例 15: 用 三 種 不 同 方 法 把 平 行 四 邊 形 面 積 四 等分 （ 在 所 給 的 圖 形 中 畫 出 你 的 設(shè) 計(jì) 方 案 ， 畫圖 工 具 不 限 ）三 、 策 略 開(kāi) 放 型策 略 開(kāi) 放 題 ， 一 般 是 指 解 題 方 法 不 唯 一 或 解題 路 徑 不 明 確 的 問(wèn) 題 。 例 16:認(rèn) 真 觀 察 圖 40-2前 4個(gè) 圖 中 陰 影 部 分 構(gòu)成 的 圖 案 ,回 答 下
12、列 問(wèn) 題 :(2)請(qǐng) 在 上 面 空 網(wǎng) 格 圖 中 設(shè) 計(jì) 出 你 心 中 最 美 麗的 圖 案 ,使 它 也 具 備 你 所 寫 出 的 上 述 特 征 .(1)請(qǐng) 寫 出 這 四 個(gè) 圖 案 都 具 有 的 兩 個(gè) 共 同 特 征 .特 征 1:_;特 征 2:_. 各 班 級(jí) 分 數(shù) 段 人 數(shù) 分 布 情 況例 17: 有 一 塊 方 角 形 鋼 板 如 下 圖 所 示 ， 請(qǐng)你 用 一 條 直 線 將 其 分 為 面 積 相 等 的 兩 部 分（ 不 寫 作 法 ， 保 留 作 圖 痕 跡 ， 在 圖 中 直 接畫 出 ） 。 一 個(gè) 圓 形 街 心 花 園 ， 有 三 個(gè) 出
13、口 A、 B、 C，每 兩 個(gè) 出 口 之 間 有 一 條 60米 長(zhǎng) 的 道 路 ， 組 成正 三 角 形 ABC， 在 中 心 點(diǎn) O處 有 一 個(gè) 亭 子 。 為使 亭 子 與 原 有 的 道 路 相 通 ， 需 再 修 三 條 小 路OD、 OE、 OF， 使 另 一 出 口 D、 E、 F分 別 落在 ABC的 三 邊 上 ， 且 這 三 條 小 路 把 ABC分 成 三 個(gè) 全 等 的 多 邊 形 ， 以 備 種 不 同 品 種 的 花草 。請(qǐng) 你 按 以 上 要 求 設(shè) 計(jì) 兩 種 不 同 的 方 案 ， 將 你 的設(shè) 計(jì) 分 別 畫 在 圖 中 ； 任 選 一 種 你 的 設(shè)
14、計(jì) 方 案 ，計(jì) 算 三 條 小 路 的 總 長(zhǎng) 。三 、 策 略 開(kāi) 放 型 四、綜合開(kāi)發(fā)型 綜 合 開(kāi) 發(fā) 型 是 指 條 件 、 結(jié) 論 、 解 題 方法 都 不 全 或 未 知 ， 而 僅 提 供 一 種 問(wèn) 題情 境 ， 需 要 我 們 補(bǔ) 充 條 件 ， 設(shè) 計(jì) 結(jié) 論 ，并 尋 求 解 法 的 一 類 問(wèn) 題 ； 它 更 具 有 開(kāi)發(fā) 性 ， 能 為 我 們 提 供 寬 松 的 思 維 環(huán) 境 ，解 這 類 題 時(shí) ， 要 求 我 們 對(duì) 課 本 知 識(shí) 特別 熟 悉 并 能 靈 活 運(yùn) 用 。 條 件 結(jié) 論 均 開(kāi) 放 的 問(wèn) 題 ：例 18: 如 圖 在 ABD與 ACE中
15、 ， 有 下 列 四個(gè) 論 斷 AB= AC AD =AE B= C BD=CE， 請(qǐng) 以 其 中 三 個(gè) 診 斷 作 為 條 件 ， 余下 一 個(gè) 論 斷 作 為 結(jié) 論 ， 寫 出 一 個(gè) 真 命 題 是 _ _(序 號(hào)和 的 形 式 寫 出 ） AB DC E 例 19: 如 圖 ， ABC中 ， C=90， D為 AB上 一 動(dòng) 點(diǎn) ， DE AC，DF BC， 垂 足 分 別 為 點(diǎn) E、 F， 請(qǐng) 問(wèn) 當(dāng) D運(yùn) 動(dòng) 到 什 么 位 置 時(shí) ， AED DFB嗎 ？為 什 么 ？ A BC DE F（ 題 2） 例 20:如 圖 ， 四 邊 形 ABCD中 ， 點(diǎn) E在 邊 CD上 ，連 接 AE、 BE。 給 出 下 列 五 個(gè) 關(guān) 系 式 ： AD BC； DE=CE； 1= 2； 3= 4； AD+BC=AB。 將 其 中 的 三 個(gè) 關(guān)系 式 作 為 題 設(shè) ， 另 外 兩 個(gè) 作 為 結(jié) 論 ， 構(gòu) 成 一 個(gè)命 題 。 用 序 號(hào) 寫 出 一 個(gè) 真 命 題（ 書 寫 格 式 如 ： 如 果 那 么 ）并 給 出 證 明 用 序 號(hào) 再 寫 出 三 個(gè) 真 命 題（ 不 要 求 證 明 ） 4A32 1 EB CD
新課標(biāo)人教版初中數(shù)學(xué)《開(kāi)放性問(wèn)題》
