高中數(shù)學(xué) 3.1.1 角的概念的推廣課件 湘教版必修2.ppt
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,高中數(shù)學(xué)必修2湘教版,,,第3章 三角函數(shù) 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣,[學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.掌握正角、負(fù)角和零角的概念,理解任意角的意義. 2. 熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念,會(huì)用集合符號(hào)表示這些角.,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),[知識(shí)鏈接] 1.手表慢了5分鐘,如何校準(zhǔn)?手表快了1.5小時(shí),又如何校準(zhǔn)? 答 可將分針順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30;可將時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45.,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),2.在初中角是如何定義的? 答 定義1:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的幾何圖形叫做角. 定義2:平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角. 3.初中所學(xué)角的范圍是什么? 答 角的范圍是[0,360].,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),[預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.角的概念 (1)角的定義:角可以看成平面內(nèi) 繞著端點(diǎn)從一個(gè)位 置 到另一個(gè)位置所成的圖形. (2)角的表示方法:①常用大寫字母 等表示; ②也可以用希臘字母 , , 等表示; ③特別是當(dāng)角作為變量時(shí),常用字母 表示.,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),一條射線,旋轉(zhuǎn),A,B,C,α,β,γ,x,(3)角的分類: 一條射線繞著端點(diǎn)以 的旋轉(zhuǎn)為正向,所成的角稱 為 ,用 來(lái)表示; 旋轉(zhuǎn)所成的角稱 為 ,用負(fù)的角度來(lái)表示;不旋轉(zhuǎn)所成的角稱為 , 用 表示.,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),逆時(shí)針?lè)较?正角,正的角度,順時(shí)針?lè)较?負(fù)角,零角,0,2.象限角 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重 合,那么,角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角 是 .如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角 不屬于任何一個(gè)象限. 3.終邊相同的角 設(shè)α=∠AOB,則所有以O(shè)A為始邊,OB為終邊的角都是α 與 的和,組成集合S={β|β=α+k360, k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α 與 的和.,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),第幾象限角,整數(shù)個(gè)周角,整數(shù)個(gè)周角,課堂講義,要點(diǎn)一 任意角概念的辨析 例1 在下列說(shuō)法中: ①0~90的角是第一象限角; ②第二象限角大于第一象限角; ③鈍角都是第二象限角; ④小于90的角都是銳角. 其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______ 答案 ①②④,課堂講義,解析 ①0~90的角α是指[0≤α<90),0角不屬于任何象限,所以①不正確. ②120是第二象限角,390是第一象限角,顯然390120,所以②不正確. ③鈍角α的范圍是90<α<180,顯然是第二象限角,所以③正確. ④銳角α的范圍是0<α<90,小于90的角也可以是零角或負(fù)角,所以④不正確.,課堂講義,規(guī)律方法 判斷說(shuō)法錯(cuò)誤,只需舉一個(gè)反例即可.解決本題關(guān)鍵在于正確理解各種角的定義.隨著角的概念的推廣,對(duì)角的認(rèn)識(shí)不能再停留在初中階段,否則判斷容易錯(cuò)誤.,課堂講義,跟蹤演練1 A={小于90的角},B={第一象限角},則A∩B= ( ) A.{銳角} B.{小于90的角} C.{第一象限角} D.以上都不對(duì) 答案 D 解析 小于90的角由銳角、零角、負(fù)角組成,而第一象限的角包含有銳角及其他終邊在第一象限的角,所以A∩B是由銳角和終邊在第一象限的負(fù)角組成的集合,故選D.,課堂講義,要點(diǎn)二 象限角的判定 例2 在0~360范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角. (1)-150;(2)650;(3)-95015′. 解 (1)因?yàn)椋?50=-360+210,所以在0~360范圍內(nèi),與-150角終邊相同的角是210角,它是第三象限角.,課堂講義,(2)因?yàn)?50=360+290,所以在0~360范圍內(nèi),與650角終邊相同的角是290角,它是第四象限角. (3)因?yàn)椋?5015′=-3360+12945′,所以在0~360范圍內(nèi),與-95015′角終邊相同的角是12945′角,它是第二象限角. 規(guī)律方法 本題要求在0~360范圍內(nèi),找出與已知角終邊相同的角,并判斷其為第幾象限角,這是為以后證明恒等式、化簡(jiǎn)及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值打基礎(chǔ).,課堂講義,跟蹤演練2 給出下列四個(gè)命題:①-75角是第四象限角;②225角是第三象限角;③475角是第二象限角;④-315是第一象限角,其中真命題有 ( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 答案 D,課堂講義,解析 對(duì)于①:如圖1所示,-75角是第四象限角; 對(duì)于②:如圖2所示,225角是第三象限角; 對(duì)于③:如圖3所示,475角是第二象限角; 對(duì)于④:如圖4所示,-315角是第一象限角.,課堂講義,要點(diǎn)三 終邊相同的角的應(yīng)用 例3 在與角10 030終邊相同的角中,求滿足下列條件的角. (1)最大的負(fù)角;(2)最小的正角;(3)360~720的角. 解 (1)與10 030終邊相同的角的一般形式為β=k360+10 030(k∈Z),由-360k360+10 0300,得-10 390k360-10 030,解得k=-28,故所求的最大負(fù)角為β=-50.,課堂講義,(2)由0k360+10 030360,得-10 030k360-9 670,解得k=-27,故所求的最小正角為β=310. (3)由360≤k360+10 030720,得-9 670≤k360-9 310,解得k=-26,故所求的角為β=670. 規(guī)律方法 求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.,課堂講義,跟蹤演練3 寫出與α=-1 910終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式-720≤β360的元素β寫出來(lái).,課堂講義,k=4時(shí),β=4360-1 910=-470; k=5時(shí),β=5360-1 910=-110; k=6時(shí),β=6360-1 910=250.,課堂講義,要點(diǎn)四 區(qū)域角的表示 例4 寫出終邊落在陰影部分的角的集合. 解 設(shè)終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成. ①{α|k360+30≤αk360+105,k∈Z}.,課堂講義,②{α|k360+210≤αk360+285,k∈Z}. ∴角α的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集: {α|k360+30≤αk360+105,k∈Z} ∪{α|k360+210≤αk360+285,k∈Z} ={α|2k180+30≤α2k180+105,k∈Z} ∪{α|(2k+1)180+30≤α(2k+1)180+105,k∈Z} ={α|2k180+30≤α2k180+105,或(2k+1)180+30≤α(2k+1)180+105,k∈Z} ={α|n180+30≤αn180+105,n∈Z}.,課堂講義,規(guī)律方法 解答此類題目應(yīng)先在0~360上寫出角的集合,再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合,如果集合能化簡(jiǎn)的還要化成最簡(jiǎn).本題還要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異.,課堂講義,跟蹤演練4 如圖,若角α的終邊落在函數(shù)y=x(x≥0)與y=-x(x≤0)的圖象所夾的區(qū)域(即圖中陰影部分,不包括邊界)內(nèi),求角α的集合.,課堂講義,解 終邊落在函數(shù)y=x(x≥0)的圖象上的角的集合是{α|α=45+k360,k∈Z}, 終邊落在函數(shù)y=-x(x≤0)的圖象上的角的集合是{α|α=135+k360,k∈Z}. 所以所求角的集合是{α|45+k360α135+k360,k∈Z}.,當(dāng)堂檢測(cè),1.-361的終邊落在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D,當(dāng)堂檢測(cè),2.集合A={α|α=k90-36,k∈Z},B={β|-180<β<180},則A∩B等于 ( ) A.{-36,54} B.{-126,144} C.{-126,-36,54,144} D.{-126,54} 答案 C 解析 令-180<k90-36<180,則-144<k90<216,當(dāng)k=-1,0,1,2時(shí),不等式均成立,所對(duì)應(yīng)的角分別為-126,-36,54,144,故選C.,當(dāng)堂檢測(cè),3.若角α滿足180α360,角5α與α有相同的始邊,且又有相同的終邊,那么角α=________. 答案 270 解析 由于5α與α的始邊和終邊相同,所以這兩角的差應(yīng)是360的整數(shù)倍,即5α-α=4α=k360. 又180α360,令k=3,得α=270.,當(dāng)堂檢測(cè),4.寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S. 解 終邊落在x軸上的角的集合: S1={β|β=k180,k∈Z}; 終邊落在y軸上的角的集合: S2={β|β=k180+90,k∈Z}; ∴終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合: S=S1∪S2={β|β=k180,k∈Z}∪{β|β=k180+90,k∈Z}={β|β=2k90,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)90,k∈Z}={β|β=n90,n∈Z}.,1.對(duì)角的理解,初中階段是以“靜止”的眼光看,高中階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下定義,理解這一概念時(shí),要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”,“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”.,當(dāng)堂檢測(cè),2.關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識(shí) 一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k360,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和. 注意:(1)α為任意角. (2)k360與α之間是“+”號(hào),k360-α可理解為k360+(-α). (3)相等的角終邊一定相同;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè),它們相差360的整數(shù)倍. (4)k∈Z這一條件不能少.,當(dāng)堂檢測(cè),- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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