高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2.1 直接證明課件 蘇教版選修2-2.ppt

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2.2.1 直接證明,第 2章 2.2 直接證明與間接證明,1.了解直接證明的兩種基本方法：分析法與綜合法. 2.了解分析法和綜合法的思維過程和特點(diǎn). 3.會(huì)用分析法、綜合法證明實(shí)際問題.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 綜合法 1.定義 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止.這種證明方法常稱為綜合法. 2.基本模式 綜合法的證明過程如右：,即用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法用框圖可表示為：,,3.綜合法的證明格式 因?yàn)椤?，所以…，所以…，…，所以…成? 思考 綜合法的推理過程是合情推理還是演繹推理？ 答案 演繹推理.,答案,知識(shí)點(diǎn)二 分析法 1.定義 從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.這種證明方法常稱為分析法. 2.基本模式 分析法的證明過程如右： 用Q表示要證明的結(jié)論，P表示條件，則分析法可用框圖表示為：,3.分析法的證明格式 要證…，只需證…，只需證…，…，因?yàn)椤闪?，所以…成?,,答案,返回,思考 分析法與綜合法有哪些異同點(diǎn)？ 答案 相同點(diǎn)：兩者都是直接利用原命題的條件(或結(jié)論)，逐步推得命題成立的證明方法——直接證明法. 不同點(diǎn)：證法1，由因?qū)Ч?，使用綜合法； 證法2，執(zhí)果索因，使用分析法.,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 綜合法的應(yīng)用,反思與感悟,,證明 方法一 ∵a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取“＝”號(hào).,反思與感悟,,反思與感悟,利用綜合法證明問題的步驟： (1)分析條件選擇方向：仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法. (2)轉(zhuǎn)化條件組織過程：把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號(hào)、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化，組織過程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯，簡(jiǎn)潔的語言，清晰的思路. (3)適當(dāng)調(diào)整回顧反思：解題后回顧解題過程，可對(duì)部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對(duì)一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)優(yōu)化解法.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 已知a，b，c∈R，且它們互不相等，求證a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2. 證明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等. ∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.,,解析答案,題型二 分析法的應(yīng)用,只需證a2－5a＜a2－5a＋6， 因?yàn)?＜6恒成立，,只需證0＜6.,反思與感悟,,反思與感悟,分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為一個(gè)明顯成立的條件. 利用分析法證明時(shí)，要求一般格式要規(guī)范，其關(guān)鍵詞“要證”“只需證”等不能漏掉，這是用分析法證題易忽視的地方.,,解析答案,,解析答案,證明 方法一 (分析法),又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)， ∴(*)式等號(hào)不成立，∴原不等式成立.,方法二 (綜合法) ∵a，b，c∈R＋，,又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，,,解析答案,題型三 綜合法和分析法的綜合應(yīng)用 例3 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0x1.,反思與感悟,,反思與感悟,,反思與感悟,綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實(shí)際證明命題時(shí)，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)a，b，c為任意三角形的三邊長，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，試證明：3S≤I2＜4S.,,解析答案,證明 ∵I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca， ∴I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S. 于是，要證3S≤I2＜4S, 即證3S≤a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即證S≤a2＋b2＋c2＜2S. (1)要證S≤a2＋b2＋c2，即證a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0， 即證(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(a2＋c2－2ca)≥0， 即證(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0. ∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0， ∴S≤a2＋b2＋c2成立.,(2)要證a2＋b2＋c2＜2S， 即證a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ac＜0， 即證(a2－ab－ac)＋(b2－ab－bc)＋(c2－ac－bc)＜0， 即證a[a－(b＋c)]＋b[b－(a＋c)]＋c[c－(a＋b)]＜0. ∵a，b，c為任意三角形的三邊長， ∴a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a， ∴a[a－(b＋c)]＜0，b[b－(a＋c)]＜0，c[c－(a＋b)]＜0， ∴a[a－(b＋c)]＋b[b－(a＋c)]＋c[c－(a＋b)]＜0， ∴a2＋b2＋c2＜2S成立. 綜合(1)(2)可知，S≤a2＋b2＋c2＜2S成立，于是3S≤I2＜4S成立.,,易錯(cuò)易混,因誤用證明依據(jù)而出錯(cuò),解析答案,返回,防范措施,,防范措施,錯(cuò)因分析 由于對(duì)不等式的性質(zhì)把握不清而導(dǎo)致錯(cuò)誤.不等式的性質(zhì)：,正解 因?yàn)閍2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc， 把以上三式相加，并化簡(jiǎn)得a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c).,,在利用分析法或綜合法證明問題時(shí)，要嚴(yán)格依據(jù)有關(guān)定理、性質(zhì)、公理、法則進(jìn)行證明.,,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,1.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的_____條件.,充分,答案,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－a)＝－f(a)＝－b.,－b,,1,2,3,4,5,解析答案,a≥0，b≥0且a≠b,,解析答案,1,2,3,4,5,∴a＋b的最小值為16， ∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ， ∴0＜μ≤16.,(0,16],,解析答案,1,2,3,4,5,＝log195＋2log193＋3log192 ＝log195＋log1932＋log1923 ＝log19(53223) ＝log19360. 因?yàn)閘og19360log19361＝2，,,課堂小結(jié),1.綜合法：(1)用綜合法證明不等式，證明步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)，步步為營，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔，利于表達(dá)推理的思維軌跡.(2)綜合法證明問題的步驟：第一步，分析條件，選擇方向；第二步，轉(zhuǎn)化條件，組織過程；第三步，回顧反思，適當(dāng)調(diào)整. 2.分析法：所證結(jié)論較為復(fù)雜或不好直接從條件證明時(shí)，我們往往采用分析法證明問題，其關(guān)鍵是對(duì)結(jié)論進(jìn)行等價(jià)變形，不等價(jià)無意義，也找不到成立的條件.,,返回,3.分析綜合法：有時(shí)解題需要一邊分析，一邊綜合，稱之為分析綜合法，它表明分析與綜合相互聯(lián)系，分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又進(jìn)一步成為分析的起點(diǎn).運(yùn)用綜合法與分析法聯(lián)合解題時(shí)，一方面要特別注意“分析”那部分的敘述，不能與綜合混為一談，也就是說要注意它們之間的區(qū)別；另一方面，要習(xí)慣用分析法探求解題的途徑，再用綜合法完成命題的證明.,