高中數(shù)學 1.1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 新人教A版選修2-3 .ppt

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第一章 計 數(shù) 原 理 1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法 計數(shù)原理 第1課時 分類加法計數(shù)原理與分步乘 法計數(shù)原理及其簡單應用,1.分類加法計數(shù)原理,m+n,2.分步乘法計數(shù)原理,mn,3.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別 (1)聯(lián)系：都是涉及做一件事的_________的種數(shù)問題. (2)區(qū)別：分類加法計數(shù)原理針對的是“_____”問題，其中各 種方法_________，用其中任何一種方法都可以做完這件事； 分步乘法計數(shù)原理針對的是“_____”問題，各個步驟中的方 法_________，只有各個步驟都完成才算做完這件事.,不同方法,分類,相互獨立,分步,互相依存,1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.( ),(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成.( ),【解析】(1)錯誤.在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法互不相同，即第1類方案中的m種方法和第2類方案中的n種方法沒有相同的. (2)正確.在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的每一種方法都能完成這件事，否則就是分步了.,(3)正確.在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法如果相同，則可認為是相同的步驟. (4)正確.在分步乘法計數(shù)原理中，如果事情是分兩步完成的，則它的任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，否則就是分類了. 答案：(1) (2)√ (3)√ (4)√,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)從10名任課教師，54名同學中，選1人參加元旦文藝演出，共有___________種不同的選法. (2)一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有_____________種不同的取法. (3)從3名女同學和2名男同學中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法有_____________種.,【解析】(1)分類完成此事，一類是選教師，有10種選法，另一類是選學生，有54種選法，由分類加法計數(shù)原理可知，共有10+54=64種選法. 答案：64 (2)由分步乘法計數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為68＝48. 答案：48,(3)分類完成此事，如果選女生，有3種選法；如果選男生，有2種選法.由分類加法計數(shù)原理可知，共有3+2=5種選法. 答案：5,【要點探究】 知識點1 分類加法計數(shù)原理 對分類加法計數(shù)原理的三點說明 (1)核心：原理的核心是“分類”，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相互獨立，并且用任何一類中任何一種方法都可以單獨完成這件事，因此在應用原理時一定要根據(jù)問題的特點確定一個分類的標準，然后在確定的標準下進行分類，其次還要注意分類不能重復，不能遺漏.,(2)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法數(shù)”，因此在應用原理解題時要有問題意識，明確并努力思考兩個問題，即問題要求我們完成一件什么事，如何完成這件事. (3)推廣：原理可以推廣到n類不同的方案,【微思考】 (1)分類加法計數(shù)原理的最主要的特點是什么？ 提示：最主要的特點是各類中的各種方法都可以單獨完成一件事. (2)使用分類加法計數(shù)原理需遵循的原則是什么？ 提示：有時分類的劃分標準有多個，但不論是以哪一個為標準，都應遵循“標準明確，不重不漏”的原則.,【即時練】 從甲地到乙地一天之中有三次航班、兩趟火車，某人利用這兩種交通工具在當天從甲地趕往乙地的方法有( ) A.2種 B.3種 C.5種 D.6種 【解析】選C.從甲地到乙地有2類辦法(坐飛機和坐火車)，坐飛機有3種方法(三次航班)，坐火車有2種方法(兩趟火車)，所以結(jié)合分類加法計數(shù)原理，從甲地趕往乙地的方法有5種.,知識點2 分步乘法計數(shù)原理 1.使用分步乘法計數(shù)原理的三個關(guān)注點 (1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的. (2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵.從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù).,(3)推廣：,2.兩個計數(shù)原理的區(qū)別,【微思考】 (1)選用分步乘法計數(shù)原理的依據(jù)是什么？ 提示：當解決一個問題要分成若干步，每一步只能完成這件事的一部分，且只有當所有步都完成后，這件事才完成，這時就采用分步乘法計數(shù)原理. (2)區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步的關(guān)鍵是什么？ 提示：區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步，關(guān)鍵是看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，就是分步.,【即時練】 (2014鄭州高二檢測)某乒乓球隊里有男隊員6人，女隊員5人，從中選取男、女隊員各一人組成混合雙打隊，不同的組隊方法有( ) A.11種 B.30種 C.56種 D.65種 【解析】選B.先選1男有6種方法，再選1女有5種方法，故共有65=30種不同的組隊方法.,【題型示范】 類型一 應用分類加法計數(shù)原理計數(shù) 【典例1】 (1)若x，y∈N*,且x+y≤6,則有序自然數(shù)對(x,y)共有______個. (2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為__________.,【解題探究】1.題(1)中滿足x，y∈N*,且x+y≤6的x，y各可以取哪幾個數(shù)？ 2.題(2)中要求個位數(shù)字大于十位數(shù)字，應用分類加法計數(shù)原理時應以哪個為主討論？ 【探究提示】1.滿足x，y∈N*,且x+y≤6的x，y各可以從1,2,3,4,5中取數(shù). 2.應用分類加法計數(shù)原理時可以以個位數(shù)為主討論，也可以以十位數(shù)為主討論.,【自主解答】(1)將滿足條件x，y∈N*,且x+y≤6的x的值進行分類： 當x=1時，y可取的值為5，4，3，2，1，共5個； 當x=2時，y可取的值為4，3，2，1，共4個； 當x=3時，y可取的值為3，2，1，共3個； 當x=4時，y可取的值為2，1，共2個； 當x=5時，y可取的值為1，共1個. 即當x=1,2,3,4,5時，y的值依次有5，4，3，2，1個， 由分類加法計數(shù)原理得，不同的數(shù)對(x,y)共有5+4+3+2+1=15(個).,(2)方法一：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).故共有36個. 方法二：分析個位數(shù)字，可分以下幾類： 個位是9，則十位可以是1，2，3，…，8中的一個，故共有8個；,個位是8，則十位可以是1，2，3，…，7中的一個，故共有7個； 同理個位是7的有6個； …… 個位是2的有1個. 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).故共有36個. 答案：(1)15 (2)36,【延伸探究】本例(2)中條件不變，求個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)的兩位數(shù)的個數(shù). 【解析】當個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個. 當個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個. 當個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個. 同理可知，當個位數(shù)字是2時，共7個， 當個位數(shù)字是0時，共9個. 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的數(shù)共有1+3+5+7+9=25(個).,【方法技巧】 1.使用分類加法計數(shù)原理計數(shù)的兩個條件 (1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類. (2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理.,2.利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程,【變式訓練】（2014安徽高考）從正方體六個面的對角線中 任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有（ ） A.24對 B.30對 C.48對 D.60對 【解析】選C.與正方體的一個面上的一條對角線成60角的對 角線有8條，故共有8對，正方體的12條面對角線共有96對，且 每對均重復計算一次，故共有 =48對.,【補償訓練】有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，現(xiàn)在要從三名工人中選2名分別去操作以上車床，不同的選派方法有( ) A.6種 B.5種 C.4種 D.3種,【解析】選C.若選甲、乙二人，包括甲操作A車床，乙操作B車床，或甲操作B車床，乙操作A車床，共有2種選派方法； 若選甲、丙二人，則只有甲操作B車床，丙操作A車床這一種選派方法； 若選乙、丙二人，則只有乙操作B車床，丙操作A車床這一種選派方法，故共有2+1+1＝4(種)不同的選派方法.,類型二 應用分步乘法計數(shù)原理計數(shù) 【典例2】 (1)(2014淄博高二檢測) 設集合A中有3個元素，集合B中有2個元素，可建立A→B的映射的個數(shù)為______________. (2)已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P(a,b)表示平面上的點(a,b∈M)，問: ①P可表示平面上多少個不同的點? ②P可表示平面上多少個第二象限的點? ③P可表示多少個不在直線y=x上的點?,【解題探究】1.題(1)中能建立A→B的映射的關(guān)鍵是什么？ 2.題(2)②中平面上第二象限的點有什么特點？ 【探究提示】1.關(guān)鍵是A中的每個元素在B中都有元素與之對應. 2.平面上第二象限的點的橫坐標小于0，縱坐標大于0.,【自主解答】(1) 建立映射，即對于A中的每一個元素，在B中都有一個元素與之對應，故由分步乘法計數(shù)原理得映射有222=8個. 答案：8 (2)①確定平面上的點P(a,b)可分兩步完成: 第一步確定a的值，共有6種確定方法; 第二步確定b的值，也有6種確定方法. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得知P可表示平面上的點數(shù)是66=36.,②確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a＜0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b＞0，所以有2種確定方法. 由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是32=6. ③點P(a,b)在直線y=x上的充要條件是a=b. 因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法,即在直線y=x上的點有6個. 結(jié)合①得，不在直線y=x上的點共有36-6=30(個).,【方法技巧】 1.使用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)的兩個注意點 一是要按照事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的； 二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成才算完成這件事.,2.利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程,【變式訓練】設集合A={-1,0,1}，集合B={0,1,2,3},定義A*B={(x,y)|x∈A∩B，y∈A∪B},則A*B中元素個數(shù)是( ) A.7 B.10 C.25 D.52 【解題指南】先計算A∩B，A∪B，再分兩步,第一步從A∩B中選取元素x,第二步從A∪B中選取元素y,再由分步乘法計數(shù)原理計數(shù). 【解析】選B.A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},x有2種取法，y有5種取法.由分步乘法計數(shù)原理得25=10,故選B.,【補償訓練】如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有_____________種.,【解析】每個焊接點都有脫落與不脫落兩種狀態(tài)，電路不通可能是1個或多個焊接點脫落，問題比較復雜.但電路通的情況卻只有3種，即2或3脫落，其他不脫落或全不脫落.因為每個焊接點有脫落與不脫落兩種情況，故共有2(2+2)2－3＝13種情況. 答案：13,類型三 兩個計數(shù)原理的綜合應用 【典例3】 (1)高艷有4件不同顏色的襯衣、3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙.“五一”勞動節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則高艷不同的穿衣服的方式有( ) A.24種 B.14種 C.10種 D.9種,(2)(2014蘭州高二檢測)現(xiàn)有高一四個班的學生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組. ①選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？ ②每班選一名組長，有多少種不同的選法？ ③推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？ 【解題探究】1.題(1)中穿衣服的種類有哪些？ 2.題(2)的①②③中各需要利用什么計數(shù)原理？,【探究提示】1.兩類，一類是穿連衣裙，另一類是穿襯衣與裙子. 2.①中利用分類加法計數(shù)原理，②中利用分步乘法計數(shù)原理，③中既利用分類加法計數(shù)原理，又利用分步乘法計數(shù)原理.,【自主解答】(1)選B.其穿衣方式分兩類， 第一類，不選連衣裙有43=12種方法， 第二類，選連衣裙有2種方法， 由分類加法計數(shù)原理知，共有12+2=14種方法. (2)①分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法. 所以，共有不同的選法N=7+8+9+10=34(種).,②分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長. 所以，共有不同的選法N=78910=5 040(種).,③分六類，每類又分兩步：從一、二班學生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有910種不同的選法. 所以，共有不同的選法N=78+79+710+89+810+910=431(種).,【方法技巧】利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點 (1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法. (2)分類時標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律. (3)混合問題一般是先分類再分步.,【變式訓練】(1)(2013青島高二檢測)已知一個科技小組中有4名女同學，5名男同學， ①若從中任選一名同學參加學科競賽，則共有不同的選派方法多少種？ ②若從中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽，則共有不同的選派方法多少種？,【解析】①由分類加法計數(shù)原理得，從4名女同學，5名男同學中任選一名同學參加學科競賽共5+4=9(種)方法.②由分步乘法計數(shù)原理得從4名女同學，5名男同學中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽共45=20(種)方法.,(2)某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種？ 【解析】分兩類：第一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另2個發(fā)言人來自其余4家企業(yè)，有6種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有26=12(種)情況；另一類是3人全來自其余4家企業(yè)，共有4種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有12+4=16(種)情況.,【補償訓練】某小組有10人，每人至少會英語和法語中的一門，其中8人會英語，5人會法語，(1)從中任選一個會外語的人，有多少種選法？(2)從中選出會英語與會法語的各1人，有多少種不同的選法？,【解析】由于8+5=13＞10，所以10人中必有3人既會英語又會法語，5人只會英語，2人只會法語. (1)可分類完成此事：一類是只會英語，一類是既會英語也會法語，一類是只會法語，共有5+3+2=10(種). (2)分4類，共有N=52+53+23+32=37(種)方法.,【易錯誤區(qū)】分不清是分類還是分步而導致錯誤 【典例】體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某人到該體育場晨練，則他進、出門的方案有( ) A.12種 B.7種 C.14種 D.49種,【解析】選D.要完成 進、出門這件事，需要分兩步①， 第一步進體育場，第二步出體育場， 第一步進門有4+3=7種方法， 第二步出門也有4+3=7種方法， 由分步乘法計數(shù)原理知 進、出門的方案有77=49種.②,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 明確“分類”與“分步” “分類”是其中任何一類中的任何一種方法均可獨立完成所給事情，而“分步”必須是把各個步驟均完成才能完成所給事情.在解題過程中要能高效地得到正確結(jié)論必須將要計的數(shù)準確進行“分類”或是“分步”，如本例是“分步”，而非“分類”問題.,【類題試解】(2014臺州高二檢測)給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復)，則不同編號的書共有( ) A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 【解析】選D.需分三步完成，第一步首字符有2種編法，第二步，第二個字符有3種編法，第三步，第三個字符有3種編法，故由分步乘法計數(shù)原理知不同編號共有233=18種.,