高中數(shù)學(xué) 1.2充分條件與必要條件課件 北師大版選修2-1.ppt

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成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 選修2-1,常用邏輯用語(yǔ),第一章,1.2 充分條件與必要條件,第一章,1．當(dāng)命題“如果p，則q”經(jīng)過(guò)推理證明斷定是真命題時(shí)，我們就說(shuō)由p成立可推出q成立，記作________，讀作________. 2．如果p?q，則p叫作q的________條件． 3．如果q?p，則p叫作q的________條件． 4．如果既有p?q成立，又有q?p成立，記作________，則p叫作q的________條件．,p?q,p推出q,充分,必要,p?q,充要,1．對(duì)充分條件的理解 (1)“p是q的充分條件”的等價(jià)說(shuō)法有： ①“若p，則q”為真； ②p?q； ③q是p的必要條件． (2)充分條件是某一個(gè)結(jié)論成立應(yīng)具備的條件，當(dāng)命題具備此條件時(shí)，就可以得出此結(jié)論；或要使此結(jié)論成立，只要具備此條件就足夠了，當(dāng)命題不具備此條件時(shí)，結(jié)論也有可能成立．例如x＝6?x2＝36，但是當(dāng)x≠6時(shí)，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分條件．,2．對(duì)必要條件的理解 (1)必要條件是在充分條件的基上得出的，真命題“若p，則q”的條件p是結(jié)論q的充分條件，同時(shí)，結(jié)論q是條件p的必要條件，所以“p是q的必要條件”的等價(jià)說(shuō)法：①“若q，則p”為真；②q?p；③q是p的充分條件．,,(2)借助于電路圖理解必要條件：如圖，當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合時(shí)，燈泡B不一定亮，但是當(dāng)開(kāi)關(guān)A不閉合時(shí)，燈泡B一定不亮；當(dāng)燈泡B亮?xí)r，可以知道開(kāi)關(guān)A一定是閉合的；所以要使燈泡B亮，開(kāi)關(guān)A必須是閉合的，我們稱開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要條件．,3．從集合的觀點(diǎn)上，關(guān)于充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件的判定： 首先建立與p、q相應(yīng)的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.,4.判斷充分條件與必要條件的基本思路： (1)首先分清楚條件是什么，結(jié)論是什么； (2)然后嘗試用條件推結(jié)論，或用結(jié)論推條件(舉反例說(shuō)明其不成立是常用的推理方法)； (3)最后再指出條件是結(jié)論的什么條件． 事實(shí)上，p是q的充分條件，就是條件p足以能保證結(jié)論q成立．這種情況下，也可以理解為：條件p成立，必有q成立，說(shuō)明對(duì)p來(lái)說(shuō)，q是必要的，所以q是p的必要條件．由此可見(jiàn)，判斷充分條件或者必要條件實(shí)質(zhì)上就是要判斷命題“若p，則q”(或者其逆命題)的真假，即判斷條件A能否推出B(或者條件B能否推出A)．,5．一般地，關(guān)于充要條件的判斷主要有以下幾種方法： (1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷． (2)等價(jià)法：“p?q”表示p等價(jià)于q，等價(jià)命題可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們要證明p成立時(shí)，就可以去證明q成立．這里要注意“原命題?逆否命題”、“否命題?逆命題”只是等價(jià)形式之一，對(duì)于條件或結(jié)論是不等式關(guān)系(否定式)的命題一般應(yīng)用等價(jià)法． (3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件p和結(jié)論q都是集合，那么若p?q，則p是q的充分條件；若p?q，則p是q的必要條件；若p＝q，則p是q的充要條件．,1．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案] A [解析] x2＞2 013的條件下可以推出x2＞2 012，但x2＞2 012不能推出x2＞2 013，所以x2＞2 013是x2＞2 012的充分不必要條件．,2．設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1＜a2＜a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案] C [解析] 等比數(shù)列中“a1＜a2＜a3”可以推出公比q＞1，故{an}為遞增數(shù)列；反之，{an}為遞增的等比數(shù)列，一定會(huì)有a1＜a2＜a3，所以是充分必要條件．,3．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是( ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 [答案] A,[答案] D [解析] a⊥b，則需2(x－1)＋2＝0，解得x＝0，反之，x＝0時(shí)，－12＋2＝0，a⊥b．,判斷下列各命題中，p是q的什么條件？ (1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：t≠2，q：t2≠4. (3)p：0x3；q：|x－1|2； (4)p：△ABC為直角三角形；q：△ABC為等腰三角形； (5)p：AB?S，q：?SB?SA． [分析] 先判定“若p則q”、“若q則p”的真假，再得兩者之間關(guān)系即可，也可從集合的角度入手．,充分條件、必要條件、充要條件的判定,[總結(jié)反思] 1.判斷p是q的什么條件其實(shí)質(zhì)是判斷“若p則q”及其逆命題“若q則p”是真是假，原命題為真而逆命題為假，則p是q的充分不必要條件；原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要不充分條件；原命題、逆命題均為假，則p是q的既不充分也不必要條件． 2．判斷p是q的什么條件，應(yīng)掌握幾種常用的判斷方法． (1)定義法；(2)集合法；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法；(4)傳遞法．有時(shí)借助數(shù)軸、韋恩圖、集合等知識(shí)形象、直觀的特點(diǎn)或舉反例，賦特殊值對(duì)判斷各條件之間的推斷關(guān)系常常起到事半功倍的效果．,(1)“x0”的( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件,(2)(2014浙江文)設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC、BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件,(3)設(shè)集合A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案] (1)A (2)A (3)C,[解析] (1)本題主要考查充要條件的判定． 由“x0”，但“x2－10”時(shí)，x1或x0”的充分而不必要條件，選A． (2)該題考查充要條件的判斷與菱形的幾何性質(zhì)．菱形的對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．,(3)本題考查了集合的運(yùn)算與邏輯語(yǔ)言的充分必要條件的運(yùn)用． ∵A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x2}， C＝{x|x(x－2)0} ＝{x|x2}， ∴A∪B＝C， ∴x∈A∪B是x∈C的充要條件．,求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0. [分析] 第一步，審題，分清條件與結(jié)論： “p是q的充要條件”中p是條件，q是結(jié)論；“p的充要條件是q”中，p是結(jié)論，q是條件．本題中條件是“a＋b＋c＝0”，結(jié)論是“關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1”． 第二步，建聯(lián)系確定解題步驟． 分別證明“充分性”與“必要性”，先證充分性：“條件?結(jié)論”；再證必要性：“結(jié)論?條件”． 第三步，規(guī)范解答．,充要條件的證明,[證明] 必要性： ∵關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1， ∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0. ∴a12＋b1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 充分性： ∵a＋b＋c＝0， ∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 因此，方程有一個(gè)根為x＝1. 故關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.,[總結(jié)反思] 一般地，證明“p成立的充要條件為q”時(shí)，在證充分性時(shí)應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即q?p；證明必要性時(shí)則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結(jié)論”，即p?q.,證明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.,所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根． 綜上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.,用集合法判斷充分條件與必要條件,[分析] 對(duì)p、q所對(duì)應(yīng)的集合A、B．若A?B，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的充分不必要條件；若B?A，則p是q的必要條件；若BA，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p、q互為充要條件．,已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的值． [解析] p：x∈{x|x2＋x－6＝0}．即p：x∈{2，－3} q：x∈{x|mx＋1＝0} ∵p是q的必要不充分條件 ∴{x|mx＋1＝0}{2，－3} ∴當(dāng){x|mx＋1＝0}＝?時(shí)成立，即m＝0.,利用充要條件求解參數(shù),已知條件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，條件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，當(dāng)a為何值時(shí)， (1)p是q的充分不必要條件； (2)p是q的必要不充分條件； (3)p是q的充要條件． [分析] 用條件的充分性、必要性確定范圍，一般轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系．,[解析] 由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}， 由q：B＝[1,2]． (1)∵p是q的充分不必要條件，∴A?B且A≠B， 當(dāng)A＝{1}時(shí)，a＝1； 當(dāng)A＝[1，a]時(shí)，12?a2. (3)∵p是q的充要條件，∴A＝B?a＝2. [總結(jié)反思] 當(dāng)命題的形式是集合時(shí)，其充分條件和必要條件的判定，就是集合包含關(guān)系的判定．,使不等式x－3＞0成立的一個(gè)充分不必要條件是( ) A．x＞3 B．x＞4 C．x＞2 D．x∈{1,2,3},,,如果a、b、c∈R，那么“b2＞4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [誤解] 判別式Δ＝b2－4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根；若方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，則判別式Δ＝b2－4ac＞0，即b2＞4aC．綜上可知“b2＞4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根”的充要條件，選C． [正解] B,,,[迷津點(diǎn)撥] 判別式Δ＝b2－4ac只適用于一元二次方程的實(shí)數(shù)根存在情況的判斷，對(duì)于方程ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，原方程為一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判別式，所以當(dāng)b2＞4ac時(shí)不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根；若方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，則它的判別式Δ＝b2－4ac＞0，即b2＞4aC．由上可知，“b2＞4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根”的必要不充分條件．,