（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過關(guān)練 第38練 “排列、組合”的?？紗栴} 理

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1、第38練　“排列、組合”的?？紗栴} 題型一　排列問題 例1　即將畢業(yè)的6名同學(xué)排成一排照相留念，個(gè)子較高的明明同學(xué)既不能站最左邊，也不能站最右邊，則不同的站法種數(shù)為________． 破題切入點(diǎn)　最左邊和最右邊是特殊位置，可采用位置分析法；由于明明同學(xué)是特殊元素，也可以采用元素分析法，也可以從反面考慮． 答案　480 解析　方法一　(位置分析法) 先從其他5人中安排2人分別站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除明明外的5人中選2人分別站在最左邊和最右邊，有A種站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4個(gè)位置上，有A種站法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有A

2、A＝480(種)不同的站法． 方法二　(元素分析法) 先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將明明排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有A種站法；第2步，余下5人站在剩下5個(gè)位置上，有A種站法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有AA＝480(種)不同的站法． 方法三　(反面求解法) 6人沒有限制的排隊(duì)有A種站法，明明站在最左邊或最右邊時(shí)6人排隊(duì)有2A種站法，因此符合條件的不同站法共有A－2A＝480(種)． 題型二　組合問題 例2　在一次國際抗震救災(zāi)中，從7名中方搜救隊(duì)隊(duì)員，4名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員中選5名組成一支特殊搜救隊(duì)到某地執(zhí)行任務(wù)，按下列要求，分別計(jì)算有多少種組隊(duì)方法

3、． (1)至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員； (2)至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員． 破題切入點(diǎn)　第(1)問中“至少有2名”應(yīng)包括2名、3名、4名，可以用直接法或間接法求解． 第(2)問中，“至多有3名”應(yīng)包括3名、2名、1名和沒有，四種情況，應(yīng)分類討論．可用間接法． 解　(1)方法一　(直接法) 由題意，知特殊搜救隊(duì)中“至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”可分為3類： ①只有2名外籍隊(duì)員，共有C·C種組隊(duì)方法； ②只有3名外籍隊(duì)員，共有C·C種組隊(duì)方法； ③只有4名外籍隊(duì)員，共有C·C種組隊(duì)方法． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，知至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有C·C＋C·C＋C·C＝301(種)不同的組隊(duì)

4、方法． 方法二　(間接法) 由題意，知特殊搜救隊(duì)中“至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”的對(duì)立事件為“至多有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”，可分為2類： ①只有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法； ②沒有外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法． 所以至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有C－C·C－C·C＝301(種)不同的組隊(duì)方法． (2)方法一　(直接法) 由題意，知“至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”可分為4類： ①只有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種方法； ②只有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種方法； ③只有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種方法； ④沒有外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有C種方法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理，

5、知至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有C·C＋C·C＋C·C＋C＝455(種)不同的組隊(duì)方法． 方法二　(間接法) 由題意，知“至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”的對(duì)立事件為“至少有4名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”．因?yàn)橹辽儆?名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有C×C種組隊(duì)方法，所以至少3名外籍隊(duì)員共有C－CC＝455(種)不同組隊(duì)方法． 題型三　排列與組合的綜合應(yīng)用問題 例3　4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)． (1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？ (2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？ (3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？ 破題切入點(diǎn)　把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空盒子．

6、 解　(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC·A＝144(種)． (2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法． (3)確定2個(gè)空盒有C種方法． 4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CC

7、A種方法；第二類有序均勻分組有·A種方法．故共有C(CCA＋·A)＝84(種)． 總結(jié)提高　(1)求解排列、組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)或題意要求進(jìn)行分類，對(duì)事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，才能保證不“重”不“漏”． (2)關(guān)于“至少”“至多”等計(jì)數(shù)問題，一般需要進(jìn)行分類，若分類比較復(fù)雜，可用間接法，找出其對(duì)立事件來求解． 1．設(shè)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，則滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個(gè)數(shù)是________． 答案　56 解析　滿足S?A時(shí)，S可以是{1,2,3,4,5,6}的一個(gè)子集，有26＝64個(gè)，滿足S∩B≠?時(shí)

8、，S不可以是集合{1,2,3}和它的子集，有23＝8個(gè)，所以同時(shí)滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個(gè)數(shù)是64－8＝56個(gè)． 2．(2013·四川)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的個(gè)數(shù)是________． 答案　18 解析　由于lg a－lg b＝lg(a>0，b>0)，從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為有A種，又與相同，與相同，∴l(xiāng)g a－lg b的不同值的個(gè)數(shù)有A－2＝20－2＝18. 3．一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為________． 答案　1 296 解析　把一家三口看

9、作一個(gè)排列，然后再排列這3家， 所以有(3！)4＝1 296種． 4．若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有________種． 答案　66 解析　滿足題設(shè)的取法可分為三類： 一是四個(gè)奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個(gè)，有C＝5(種)； 二是兩個(gè)奇數(shù)加兩個(gè)偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)中任取2個(gè)，再在4個(gè)偶數(shù)2,4,6,8中任取2個(gè)，有C·C＝60(種)； 三是四個(gè)偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的取法有1種， 所以滿足條件的取法共有5＋60＋1＝66(種)． 5．將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到

10、甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有________種． 答案　12 解析　分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(種)選派方法； 第二步，選派兩名學(xué)生到甲地，另外兩名到乙地，共有C＝6(種)選派方法． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選派方案共有2×6＝12(種)． 6．現(xiàn)有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件下層8件，現(xiàn)要從下層8件中取2件調(diào)整到上層，若其他商品的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是________． 答案　840 解析　從下層8件中取2件，有C種取法，放到上層時(shí)，若這兩件相鄰，有AA種放法，若這兩件

11、不相鄰，有A種放法，所以不同調(diào)整方法的種數(shù)是C(AA＋A)＝840. 7．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________． 答案　472 解析　分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法CC＝264(種)； 第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(種)． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知不同的取法有264＋208＝472(種)． 8．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為________． 答案　252 解析　無重復(fù)的三位

12、數(shù)有：A＋AA＝648個(gè)． 則有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有：900－648＝252個(gè)． 9．(2014·四川改編)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有________種． 答案　216 解析　第一類：甲在左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(種)方法； 第二類：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(種)方法． 所以共有120＋96＝216(種)方法． 10．方程ay＝b2x2＋c中a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有________條． 答案　62 解析　顯然

13、a≠0，b≠0，故該方程等價(jià)于y＝x2＋. ①當(dāng)c＝0時(shí)，從{－3，－2,1,2,3}中任取2個(gè)數(shù)作為a，b的值，有A＝20種不同的方法，當(dāng)a一定，b的值互為相反數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有4×3＝12條，所以此時(shí)不同的拋物線有A－6＝14條． ②當(dāng)c≠0時(shí)，從{－3，－2,1,2,3}中任取3個(gè)數(shù)作為a，b，c的值有A＝60種不同的方法．當(dāng)a，c值一定，而b的值互為相反數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有4A＝24條，所以此時(shí)不同的拋物線有A－12＝48條．綜上，不同的拋物線有14＋48＝62條． 11．用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共

14、有________個(gè)．(用數(shù)字作答) 答案　14 解析　若不考慮數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次的限制，對(duì)個(gè)位、十位、百位、千位，每個(gè)“位置”都有兩種選擇，所以共有16個(gè)4位數(shù)，然后再減去“2222,3333”這兩個(gè)數(shù)，故共有16－2＝14個(gè)滿足要求的四位數(shù)． 12．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．(以數(shù)字作答) 答案　48 解析?、僦挥?名老隊(duì)員的排法有C·C·A＝36種；②有2名老隊(duì)員的排法有C·C·C·A＝12種． 所以共48種．

15、13．(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 答案　36 解析　將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法．于是符合題意的排法共有AA－AA＝36(種)． 14．(2014·浙江)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答)． 答案　60 解析　把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(二

16、等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(無獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng)，一組只有一個(gè)獎(jiǎng)，另兩組無獎(jiǎng)，共有C種分法，再分給4人有CA種分法，所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為A＋CA＝24＋36＝60. 15．回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，…，191,202，…，999.則： (1)4位回文數(shù)有________個(gè)； (2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個(gè)． 答案　(1)90　(2)9×10n 解析　(1)4種回文

17、數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9(1～9)種情況，第二位有10(0～9)種情況，所以4位回文數(shù)有9×10＝90種． (2)由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n＋1位回文數(shù)和2n＋2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n＋2位回文數(shù).2n＋2位回文數(shù)只用看前n＋1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為9×10n. 16．用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，則所有涂色方法的種數(shù)為________． 答案　260 解析　方法一　如圖將4個(gè)方

18、格依次編號(hào)為1,2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種涂上，有5種不同涂法． ①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有2C種不同涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步計(jì)數(shù)原理，知此時(shí)有5×2C×3＝180(種)不同的涂法． ②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)有4種涂法，此時(shí)第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有5×4×4＝80(種)不同的涂法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，知共有180＋80＝260(種)不同涂法． 方法二　如圖將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4.如果使用2種顏色，則只能是第1,4個(gè)小方格涂一種，第2,3個(gè)小方格涂一種，方法種數(shù)是C·A＝20，如果使用3種顏色，若第1,2,3個(gè)小方格不同色，第4個(gè)小方格只能和第1個(gè)小方格相同，方法種數(shù)是C·A＝60，若第1,2,3個(gè)小方格只用2種顏色，則第4個(gè)小方格只能用第3種顏色，方法種數(shù)是C×3×2＝60；如果使用4種顏色，方法種數(shù)是C·A＝120，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知總的涂法有20＋60＋60＋120＝260種．