（江蘇專用）高考數學大一輪復習 第八章 第48課 基本不等式及其應用（二）要點導學-人教版高三全冊數學試題

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1、【南方鳳凰臺】（江蘇專用）2016屆高考數學大一輪復習 第八章 第48課 基本不等式及其應用（二）要點導學 要點導學　各個擊破 基本不等式在方程與函數中的應用 　(2014·成都模擬)已知二次函數f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),那么+的最小值為　　　　. [答案]3 [解析]由題意得a>0,且Δ=16-4ac=0?ac=4,所以+≥2=3. 　(2014·湖北模擬)已知不等式xy≤ax2+2y2對于任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,那么實數a的取值范圍是　　　　. [答案][-1,+∞) [解析]由題意知a≥=-2,對x∈[1,2],

2、y∈[2,3]恒成立,令t=,則a≥t-2t2,易知t∈[1,3],所以t-2t2∈[-15,-1],故a≥-1. 基本不等式在數列、三角函數等問題中的應用 　已知正項等比數列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an,使得=4a1,則+的最小值為　　　　. [思維引導]首先根據條件找出m,n的關系式,再利用基本不等式求出+的最小值. [答案]　 [解析]設正項等比數列{an}的公比為q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2. 由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6. 故+=(m+n)=+（+）≥+=,當且僅當n=2m時等號成立. [精要點

3、評]將m+n=6表示為(m+n)=1,利用“1”的變換是解決問題的關鍵. 　(2014·江蘇卷)若△ABC的內角滿足sinA+sinB=2sinC,則cosC的最小值是　　　　. [答案] [解析]由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c,cosC===≥=,當且僅當3a2=2b2即=時等號成立. 基本不等式在解析幾何中的應用 　(2014·揚州中學模擬)如圖,已知橢圓C:+y2=1的上、下頂點分別為A,B,點P在橢圓上,且異于點A,B,直線AP,BP與直線l:y=-2分別交于點M,N. (例3) (1) 設直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,

4、求證:k1·k2為定值; (2) 求線段MN的長的最小值. [解答](1) 因為A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),則由題設可知x0≠0, 所以直線AP的斜率k1=,PB的斜率k2=. 又點P在橢圓上,所以+=1(x0≠0), 從而有k1k2=·==-,為定值. (2) 由題設可以得到直線AP的方程為y-1=k1(x-0), 直線BP的方程為y-(-1)=k2(x-0), 由T 由T 所以直線AP與直線l的交點N, 直線BP與直線l的交點M. 又k1k2=-, 所以MN===+4|k1| ≥2=4, 當且僅當=4|k1|,即k1=±時取等號,故線段M

5、N長的最小值是4. 基本不等式在實際問題中的應用 　(2014·湖北卷)某項研究表明,在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內測量點的車輛數,單位:輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:m)的值有關,其公式為 F=. (1) 如果不限定車型,l=6.05,那么最大車流量為　　　輛/小時; (2) 如果限定車型,l=5,那么最大車流量比(1)中的最大車流量增加　　　　輛/小時. [答案](1) 1900　(2) 100 [解析](1) 當l=6.05時,則F==≤=1 900,當且僅當v=,即v=11(米/秒)時取等號.

6、(2) 當l=5時,則F==≤=2 000,當且僅當v=,即v=10(米/秒)時取等號,此時最大車流量比(1)中的最大車流量增加100輛/小時. [精要點評]準確構建數學模型是解題的關鍵.本題根據所得函數的特征要結合基本不等式解決. 　(2014·如皋中學模擬)揚州某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設計其橫斷面要求面積為9 m2,且高度不低于m.記防洪堤橫斷面的腰長為x(m),外周長(梯形的上底BC與兩腰長的和)為y(m). (變式) (1) 求y關于x的函數關系式,并指出其定義域; (2) 要使防洪

7、堤橫斷面的外周長不超過10.5m,則其腰長x應在什么范圍內? (3) 當防洪堤的腰長x為多少米時,堤的上面與兩側面的水泥用料最省(即斷面的外周長最小)?求此時外周長的值. [解答](1) 由題意得9=(AD+BC)h, 其中AD=BC+2·=BC+x,h=x, 所以9=(2BC+x)×x,得BC=-. 由得2≤x<6. 所以y=+,x∈[2,6). (2) 由y=+≤10.5,得3≤x≤4, 因為[3,4]ì[2,6),所以腰長x的范圍是[3,4]. (3) y=+≥2=6,當且僅當=,即x=2時等號成立. 所以外周長的最小值為6 m,此時腰長為2 m. 某化工企

8、業(yè)2014年底投入100萬元購入一套污水處理設備.該設備每年的運轉費用是0.5萬元,此外每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元. (1) 求該企業(yè)使用該設備x年的年平均污水處理費用y(萬元); (2) 為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低,該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備? [規(guī)范答題](1) y=, 即y=x++1.5(x>0). (7分) (2) 由均值不等式得 y=x++1.5≥2+1.5=21.5(萬元). (11分) 當且僅當x=,即x=10時取等號. (13分) 答:該企業(yè)10年后需要重新更換新設

9、備.(14分) 1. 函數y=x+的值域是　　　　. [答案](-∞,-4 ]∪[4 ,+∞) [解析]當x>0時,x+≥4 (當且僅當x=2 時取等號);當x<0時,-x>0,而(-x)+-≥4 (當且僅當x=-2 時取等號),所以x+≤-4 .則函數y的值域為{y|y≤-4 或y≥4 }. 2. 若x∈(0,π),則y=sin x+的最小值是　　　　. [答案]5 [解析]注意利用基本不等式解決問題時取“=”的條件.函數y在x=時取到最小值. 3. (2014·邛崍月考)若a>0,b>0,且函數f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大

10、值為　　　　. [答案]9 [解析]f'(x)=12x2-2ax-2b,因為函數f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,所以f'(1)=0,即12-2a-2b=0,a+b=6,所以ab≤==9,當且僅當a=b時取等號. 4. 在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是　　　　. (第4題) [答案][10,30] [解析]如圖所示,△ADE∽△ABC,設矩形的另一邊長為y,則=,所以y=40-x.又xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30. (第4題) [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第95-96頁).