《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題-答案講解

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1、 《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題解答 一、填空題 、用最速下降法求 2 2 2 ) 2 的最優(yōu)解時(shí)，設(shè) X （ 0） ＝[-0.5,0.5] T ，第一 1 1 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x 步迭代的搜索方向?yàn)? [-47,-50] T。 2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是 尋找搜索方向 ，二是計(jì)算最優(yōu)步長 。 3、當(dāng)優(yōu)化問題是 凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。 4、應(yīng)用進(jìn)退法來

2、確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和 終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成 高－低－高 趨勢(shì)。 5、包含 n 個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。 、函數(shù) 1 X T HX B T X C 的梯度為 HX+B 。 6 2 7、設(shè) G 為 nn 對(duì)稱正定矩陣，若 n 維空間中有兩個(gè)

3、非零向量 0，d1，滿足 (d0 T1 ， d ) Gd =0 則 d0 、d1 之間存在 共軛關(guān)系。 8、 設(shè)計(jì)變量 、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件 是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué) 模型的基本要素。 9、對(duì)于無約束二元函數(shù) f ( x1 , x2 ) ，若在 x 0 (x10 , x20 ) 點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是 錯(cuò)誤 !未找到引用源。

4、 ，充分條件是 錯(cuò)誤 !未找到引用 源。 (錯(cuò)誤 !未找到引用源。 正定 。 10、 庫恩 -塔克 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起 作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。 11 、 用 黃 金 分 割 法 求 一元 函 數(shù) f ( x) x 2 10 x 36 的 極 小 點(diǎn) ， 初 始 搜 索 區(qū) 間 [ a,b] [ 10,10] ，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 [-2.36 10]

5、。 12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有 設(shè)計(jì)變量 、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件 。 k H k 1 gk ，其計(jì)算量 大 ，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 附近 位 13、牛頓法的搜索方向 d = 置。 2 2 1 T HX T X C 的形式 錯(cuò)誤 !未 14、將函數(shù) f(X)=x 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 表示成 X B 找到引用源。 。

6、 2 1 ，向量 2 1 T 2 1 2 15、存在矩陣 H，向量 d d ，當(dāng)滿足 d Hd =0，向量 d 和向量 d 是關(guān)于 H 共 軛。 16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因 子 r 數(shù)列，具有 單調(diào)遞增 特點(diǎn)。 17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求 最 優(yōu)步長。

7、 18、與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 （下降）的方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 （變 化為零）的方向。 19、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為 a,b ，中間插入兩個(gè)點(diǎn) a1 ,b1, a1 b1, 計(jì)算出 f a1 f b1 ， 則縮短后的搜索區(qū)間為（ a1b1 ） 20、由于確定（ 搜索方向 ）和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解方法。 1、導(dǎo)出等式約束極值條件時(shí)，將等式約束問題轉(zhuǎn)換為無約束問題的方法有（ 和（拉格朗日法 ）。 2、優(yōu)化問題中的二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變（ ?。?。 3、優(yōu)化設(shè)計(jì)

8、中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)位（ 可行域內(nèi) ）內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。 4、方向?qū)?shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的（ 變化率） 5、在 n 維空間中互相共軛的非零向量個(gè)數(shù)最多有（ n) 個(gè)。  消元法） 6、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程可在可行域外進(jìn)行，界）或等式約束曲面。  懲罰項(xiàng)的作用是隨便迭代點(diǎn)逼近 （邊 二、選擇題 1、下面 C 方法需要求海賽矩陣。 A 、最速下降法 B、共軛梯度法 C、牛頓型法 D、DFP 法 2、對(duì)于約束問題 min f X x 2 x2 4x 4

9、 1 2 2 g 1 X x x2 1 0 1 2 g 2 X 3 x1 0 g 3 X x2 0 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 X 1 [1,1]T 為 ， X 2 [ 5 , 1 ]T 。D 2 2 為 A ．內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn) B. 外點(diǎn)

10、；外點(diǎn) C. 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn) D. 外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn) 3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解 B 優(yōu)化問題。 A 無約束優(yōu)化問題 B 只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C 只含有等式的優(yōu)化問題 D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4、對(duì)于一維搜索， 搜索區(qū)間為 [a，b]，中間插入兩個(gè)點(diǎn) a1、b1，a1

11、約束條件 C 目標(biāo)函數(shù) D 最佳步長 6、變尺度法的迭代公式為 xk+1=xk-αkHk▽ f(x k)，下列不屬于 Hk 必須滿足的條件的是 C 。 A. H k 之間有簡單的迭代形式 B.擬牛頓條件 C.與海塞矩陣正交 D.對(duì)稱正定 7、函數(shù) f ( X ) 在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的 A 。 A 、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 8、下面四種無約束優(yōu)化方法中， D 在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。 A 梯度法 B 牛頓法 C

12、 變尺度法 D 坐標(biāo)輪換法 9、設(shè) f ( X ) 為定義在凸集 充分必要條件是海塞矩陣 A 正定 B 半正定 C 負(fù)定 D 半負(fù)定  R 上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則 G(X) 在 R 上處處 B。  f ( X )  在  R 上為凸函數(shù)的 10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法 —— 黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是 D，假設(shè)要 求在區(qū)間 [a，b] 插入兩點(diǎn) α1、 α2，且 α1<α2。 A 、其縮短率為 0.618 D、在該方法中

13、縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。 11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 A 方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 B 方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 C 方向。 A 、上升 B、下降 C、不變 D、為零 12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是 B。 A 、等值線族的一個(gè)共同中心 B、梯度為 0 的點(diǎn) C、全局最優(yōu)解 D、海塞矩陣正定的點(diǎn) 13、最速下降法相鄰兩搜索方向 dk 和 dk+1 必為 B 向量。 A 相切 B 正交 C 成銳角 D 共軛 14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是

14、 A 。 A 可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。 B 懲罰因子是不斷遞減的正值 C 初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。 D 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi) 三、問答題（ 看講義 ） 1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理 區(qū)別：（ 1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法 （ 2）、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這

15、種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。 2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？ 答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié) 合形成新的目標(biāo)函數(shù)——懲罰函數(shù) 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極值， 以期得到原問題的約束最優(yōu)解 3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。 答 主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最 佳步長因子的近似值 4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函

16、數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。 5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。 6、什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？ 四、解答題 1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù) f(X)=1.5x 2 +0.5x 2 -2x 的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) x (0) =[-2 T 1 2 1 2 1 選代精度 ε=0.02（迭代一步）。 解：首先計(jì)算目標(biāo)

17、函數(shù)的梯度函數(shù) 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 , 計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的 梯度向量值 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 梯度法的搜索方向?yàn)? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 , 因此在迭代點(diǎn) x(0) 的搜索方向?yàn)?[12， － 6]T 在此方向上新的迭代點(diǎn)為： 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用 源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 的函數(shù)錯(cuò)誤 !未找到引用源

18、。 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 令 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 新的迭代點(diǎn)為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 當(dāng)前梯度向量的長度 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 , 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。 第一迭代步完成。 2、試用牛頓法求 f( X )=(x 1-2)2+(x1-2x2)2 的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) x(0)=[2,1] T。 解 1：（注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解 2 是修改題目后解法。）牛頓法的搜索方向?yàn)?錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)

19、 x(0) 的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。 解 2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。 以非最優(yōu)點(diǎn) x(0)=[1,2] T 作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算 牛頓法的搜索方向?yàn)?錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 ,因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn) x(0) 的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣 梯

20、度函數(shù)： 初始點(diǎn)梯度向量： 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 海色矩陣： 海色矩陣逆矩陣： 當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋? 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 ＝錯(cuò)誤 !未找到引用源。 新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上 ： 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 =錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 =錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 ＝錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ＝錯(cuò)誤 !未找到引用源。 把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 的函數(shù)錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源

21、。 令 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 新的迭代點(diǎn)為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 當(dāng)前梯度向量的長度 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 , 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。 第二迭代步： 因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。 這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。 2 2 3、設(shè)有函數(shù) f(X)=x 1 +2x2 -2x1x2 -4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。 解：首先利用極值必要條件 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 找出可能的極值點(diǎn)：

22、 令 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 ＝錯(cuò)誤 !未找到引用源。 求得 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 ,是可能的極值點(diǎn)。 再利用充分條件 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 正定（或負(fù)定）確認(rèn)極值點(diǎn)。 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 因此錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 正定 , 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 是極小點(diǎn)，極值為 f(X * )=-8 4、求目標(biāo)函數(shù) f( X )=x 12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10 的極值和極值點(diǎn)。 解法同上 1 2 2 2

23、3 2 3 1 2 T 處具有極小值。 5、試證明函數(shù) f( X )=2x +5x 2 3 在點(diǎn) [1 ，1， -2] +x +2x x +2x x -6x +3 解： 必要條件： 將點(diǎn) [1， 1， -2]T 帶入上式，可得 充分條件 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 ＝40 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !

24、未找到引用源。 正定。 因此函數(shù)在點(diǎn) [1，1，-2] T 處具有極小值 6、給定約束優(yōu)化問題 min f(X)=(x 1-3)2+(x2-2)2 2 2 s.t. g1(X)= － x1 －x2 ＋5≥0 g2(X)= －x1－ 2x2＋ 4≥ 0 g3(X)= x 1≥ 0 g4(X)=x 2≥0 T 驗(yàn)證在點(diǎn) X [ 2，１] Kuhn-Tucker 條件成立。 解：首先，找出在點(diǎn) X [ 2，１]T 起作用約束： g1(X) ＝0 g2(X) ＝0 g3(X) ＝2 g4(X) ＝1

25、 因此起作用約束為 g1(X) 、g2(X) 。 然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ＝錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ＝錯(cuò)誤 !未找到引用源。 , 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 求解線性組合系數(shù) 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 得到 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 均大于 0 因此在點(diǎn) X [ 2，１]T Kuhn-Tucker 條件成立 7、設(shè)非線性規(guī)劃問題 min f

26、( X ) ( x1 2)2 x22 s.t. g1 ( X ) x1 0 g2 ( X ) x2 0 g3 ( X ) x12 x22 1 0 用 K-T 條件驗(yàn)證 X * 1,0 T 為其約束最優(yōu)點(diǎn)。 解法同上 8、已知目標(biāo)函數(shù)為 f(X)= x 1+x2，受約束于： 2 g1(X)=-x 1 +x2≥0 g2(X)=x 1≥0 寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。 解： 內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為 其中： r (1)>r (2) >r (3) ?>

27、r (k) ?>0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列 r (k) ＝Cr (k-1)， 0＜ C＜1 因此 罰函數(shù)為： 9、已知目標(biāo)函數(shù)為 f(X)=( x 1-1)2+(x2+2)2 g2(X)=2-x 1-x2≥0 g3(X)=x 1≥0 g4(X)=x 2≥0 試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。 解法同上 10、如圖，有一塊邊長為 6m 的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為 x 的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（ x 取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 M

28、ATLAB 軟件求解的程序。 11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為 8000cm3 的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 軟件求解的程序。 12、一根長 l 的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 軟件求解的程序。

29、 13、求表面積為 300m2 的體積最大的圓柱體體積。 試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型 以及用 MATLAB 軟件求解的程序。 14、薄鐵板寬 20cm，折成梯形槽 ，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型， 并用 matlab 軟件的優(yōu)化工具箱求解 （寫出 M 文件和求解命令）。 15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為 c，高度為 h，面積 A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為 θ，見圖 1。管道內(nèi)液體

30、的流速與管道截面的周長 s 的倒數(shù)成比例關(guān)系 （ s 只包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊） 。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。 寫出 這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型。并用 matlab 軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出 M 文件和求解命令）。 16、某電線電纜車間生產(chǎn)力纜和話纜兩種產(chǎn)品。力纜每米需用材料  9kg，3  個(gè)工時(shí)，消 耗電能 4kWh，可得利潤 60 元；話纜每米需用材料 4kg，10 個(gè)工時(shí)，消耗電能 5kWh，可得利潤 120 元。若每天材料可供應(yīng) 360kg，有 300 個(gè)工時(shí)消耗電能 200kWh 可利用。如要獲得最大利潤，每天應(yīng)生產(chǎn)力纜、話纜各多少米？寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 軟件求解的程序。