廣東高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

《廣東高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣東高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案（27頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2012 年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（ 5 分）（ 2012?廣東）設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) =（ ） A ．6+5i B． 6﹣ 5i C．﹣6+5i D．﹣ 6﹣ 5i 2．（ 5 分）（ 2012?廣東）設(shè)集合 U={1 ， 2， 3， 4， 5， 6} ， M={1 ， 2， 4} ，則 ?U M= （ ） A ．U B． { 1， 3， 5}

2、 C． { 3， 5， 6} D． { 2， 4， 6} 3．（ 5 分）（ 2012?廣東）若向量 ，向量 ，則 =（ ） A ．（﹣ 2，﹣ 4） B． （ 3， 4） C． （6， 10） D． （ ﹣ 6，﹣ 10） 4．（ 5 分）（ 2012?廣東）下列函數(shù)，在區(qū)間（ 0，+∞）上為增函數(shù)的是（ ） A ．y=ln （ x+2） B． C． D． 5．（5 分）（ 2012?廣東）已知變量 x，y 滿足約束條件 ，則 z=3x+y 的最大值為（ ） A ．12 B． 11 C．

3、 3 D．﹣ 1 6．（ 5 分）（ 2012?廣東）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（ ） A ．12π B． 45π C． 57π D． 81π 7．（ 5 分）（ 2012?廣東）從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任 取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為 0 的概率是（ ） A ． B． C． D． 8．（ 5 分）（ 2012?廣東）對任意兩個(gè)非零的平面向量 和 ，定義 ○ = ，若平 面向量 、 滿足 |

4、|≥| |＞0， 與 的夾角 ，且 ○ 和 ○ 都在集合 中，則 ○ =（ ） A ． B． 1 C． D． 二、填空題：本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分．（一）必做題 （ 9～ 13 題）（二）選做題（ 14～ 15 題，考生只能從中選做一題） 9．（ 5 分）（ 2012?廣東）不等式 |x+2|﹣ |x|≤1 的解集為 _________ ． 10．（ 5 分）（ 2012?廣東） 中 x3 的系數(shù)為

5、 _________ ．（用數(shù)字作答） 11．（5 分）（ 2012?廣東）已知遞增的等差數(shù)列 {a n} 滿足 a1=1， 2 _________ ． a3=a2 ﹣4，則 an = 12．（ 5 分）（2012?廣東）曲線 y=x3﹣ x+3 在點(diǎn)（ 1，3）處的切 線方程為 _________ ． 13．（ 5 分）（ 2012?廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n 的值為

6、 8，則輸出的 s 的值為 _________ ． 14．（ 5 分）（ 2012?廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 與 C2 的參數(shù)方程分別為 （t 為參數(shù)）和 （ θ為參數(shù)），則曲線 C1 與 C2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 _________ ． 15．（ 2012?廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，圓 O 中的半徑 為 1，A 、B 、C 是圓周上的三點(diǎn)，滿足 ∠ ABC=30 ，過點(diǎn) A 作圓 O 的切線與 O C 的延長線

7、交于點(diǎn) P，則圖 PA= _________ ． 2 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（ 12 分）（ 2012?廣東）已知函數(shù) （其中 ω＞ 0，x∈R）的最 小正周期為 10π． （1）求 ω的值； （2）設(shè) ， ， ，求 cos（ α+β） 的值． 17．（ 13 分）（ 2012?廣東）某班 50 位學(xué)生期中

8、考試數(shù)學(xué)成績的頻率直方分布圖如圖所示， 其中成績分組區(qū)間是： [40， 50），[50 ， 60）， [60， 70）， [70 ，80）， [80， 90）， [90 ， 100] ． （1）求圖中 x 的值； （2）從成績不低于 80 分的學(xué)生中隨機(jī)選取 2 人，該 2 人中成績在 90 分以上（含 90 分）的 人數(shù)記為 ξ，求 ξ的數(shù)學(xué)期望．

9、 3 18．（ 13 分）（2012?廣東）如圖所示，在四棱錐 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 為矩形， PA⊥ 平 面 ABCD ，點(diǎn) E 在線段 PC 上， PC⊥ 平面 BDE ． （1）證明： BD ⊥ 平面 PAC； （2）若 PA=1， AD=2 ，求二面角 B ﹣PC﹣A 的正切值． 19．（14 分）（

10、 2012?廣東）設(shè)數(shù)列 {a n} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足 ， 且 a1， a2+5， a3 成等差數(shù)列．（1）求 a1 的值； （2）求數(shù)列 {a n} 的通項(xiàng)公式； （3）證明：對一切正整數(shù) n，有 ． 4 20．（ 14 分）（ 2012?廣東）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓 C： 的離心率 ，且橢圓 C 上的點(diǎn)到點(diǎn) Q（ 0， 2）的距離的最大值為

11、3． （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）在橢圓 C 上，是否存在點(diǎn) M（ m，n），使得直線 l ：mx+ny=1 與圓 O：x2+y2 =1 相交于 不同的兩點(diǎn) A 、B ，且 △ OAB 的面積最大？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)及對應(yīng)的 △ OAB 的面 積；若不存在，請說明理由． 21．（ 14 分）（ 2012?廣東）設(shè) a＜ 1，集合 A={x ∈R|x＞ 0} ，B={x ∈R|2x2﹣ 3（ 1+

12、a） x+6a＞0} ， D=A ∩B ． （ 1）求集合 D （用區(qū)間表示） ； （ 2）求函數(shù) f（ x） =2x3﹣ 3（ 1+a）x2+6ax 在 D 內(nèi)的極值點(diǎn)． 5 2012 年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的．

13、 1．（ 5 分）（ 2012?廣東）設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) =（ ） A ． 6+5i B． 6﹣ 5i C．﹣ 6+5i D．﹣ 6﹣ 5i 分析： i ，得到 把 的分子分母同時(shí)乘以 ，利用虛數(shù)單位的性質(zhì)，得 ，由此能求出結(jié)果． 解答： 解： = = =﹣ 6﹣ 5i． 故選 D ． 點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 2．（ 5 分）（ 2012?廣東）設(shè)集合 U={1

14、， 2， 3， 4， 5， 6} ， M={1 ， 2， 4} ，則 ?U M= （ ） A ．U B． { 1， 3， 5} C． { 3， 5， 6} D． { 2， 4， 6} 分析：直接利用補(bǔ)集的定義求出 CU M ． 解答：解： ∵集合 U={1 ，2， 3， 4， 5， 6} ， M={1 ， 2， 4} ，則 ?U M={3 ， 5，6} ， 故選 C． 點(diǎn)評：本題主要考查集合的表示方法、求集合的補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題． 3．（ 5 分）（ 2012?廣東）若向量

15、 ，向量 ，則 =（ ） A ．（﹣ 2，﹣ 4） B． （ 3，4） C． （ 6， 10） D． （ ﹣ 6，﹣ 10） 分析：由向量 ，向量 ，知 ，再由 ，能求出結(jié)果． 解答：解： ∵向量 ，向量 ， ∴ ， ∴ =（﹣ 4，﹣ 7）﹣（﹣ 2，﹣ 3） =（﹣ 2，﹣ 4）． 故選 A ． 點(diǎn)評：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真解答，仔細(xì)運(yùn)算． 6 4．（ 5

16、 分）（ 2012?廣東）下列函數(shù)，在區(qū)間（ 0，+∞）上為增函數(shù)的是（ ） A ． y=ln （ x+2） B． C． D． 分析：利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷 A 正確；利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷 B 錯(cuò)誤； 利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷 C 正確；利用 “對勾 ”函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷 D 的 單調(diào)性 解答：解： A ， y=ln （ x+2 ）在（﹣ 2， +∞）上為增函數(shù)，故在（ 0， +∞）上為增函數(shù)， A 正 確； B， 在 [﹣ 1， +∞）上為減函數(shù)；排除 B ；C， 在 R 上為減 函數(shù)；排除 C；D ，

17、在（ 0， 1）上為減函數(shù)，在（ 1， +∞）上為增函數(shù)，排除 D ；故選 A 點(diǎn)評：本題主要考查了常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 特別是它們的單調(diào)性的判斷， 簡單復(fù)合函數(shù) 的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題 5．（5 分）（ 2012?廣東）已知變量 x，y 滿足約束條件 ，則 z=3x+y 的最大值為（ ） A ．12 B． 11 C． 3 D．﹣ 1 分析：先畫出線性約束條件表示的可行域，在將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可得目標(biāo)函數(shù)的最值 解答： 解：畫出可行域如圖陰影部分，由 得 C（ 3， 2） 目標(biāo)函數(shù)

18、 z=3x+y 可看做斜率為﹣ 3 的動直線，其縱截距越大， z 越大， 由圖數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)動直線過點(diǎn) C 時(shí)， z 最大 =33+2=11；故選 B 7 點(diǎn)評：本題主要考查了線性規(guī)劃的思想、方法、技巧，二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知 識，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬基礎(chǔ)題 6．（ 5 分）（ 2012?廣東）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（ ）

19、 A ．12π B． 45π C． 57π D． 81π 分析：由題設(shè)知，組合體上部是一個(gè)母線長為 5，底面圓半徑是 3 的圓錐，下部是一個(gè)高為 5，底面半徑是 3 的圓柱，分別根據(jù)兩幾何體的體積公式計(jì)算出它們的體積再相加即 可得到正確選項(xiàng) 解答：解：由三視圖可知，此組合體上部是一個(gè)母線長為 5，底面圓半徑是 3 的圓錐，下部 是一個(gè)高為 5，底面半徑是 3 的圓柱 故它的體積是 2 2 5π3 π3

20、 =57π；故選 C + 點(diǎn)評：本題考查三視圖還原幾何體及求組合體的體積， 解題的關(guān)鍵是熟練記憶相關(guān)公式及由 三視圖得出幾何體的長寬高等數(shù)據(jù)， 且能根據(jù)幾何體的幾何特征選擇恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行 求體積的運(yùn)算， 7．（ 5 分）（ 2012?廣東）從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為 0 的概率是（ ） A ． B． C． D． 分析：先求個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)的個(gè)數(shù) n，然后再求個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為 奇數(shù)的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，由古典概率的求解公式可求 解答：解：個(gè)

21、位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中，其個(gè)位數(shù)與十位數(shù)有一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè) 為偶數(shù)，共有 =45 記： “個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中，其個(gè)位數(shù)為 0”為事件 A ，則 A 包含的 8 結(jié)果： 10， 30， 50， 70， 90 共 5 個(gè) 由古典概率的求解公式可得， P（ A ） = ； 故選 D 點(diǎn)評：本題主要考查了古典概率的求解公式的應(yīng)用， 解題的關(guān)鍵是靈活利用簡單的排列、 組 合的知識求解基本事件的個(gè)數(shù)

22、 8．（ 5 分）（ 2012?廣東）對任意兩個(gè)非零的平面向量 和 ，定義 ○ = ，若平 面向量 、 滿足 | |≥| |＞0， 與 的夾角 ，且 ○ 和 ○ 都在集合 中，則 ○ =（ ） A ． B． 1 C． D． 分析： 由題意可得 ? = = ，同理可得 ? = = ，故有 n≥m 且 m、 n∈z．再由 cos2θ= ， 與 的夾角 θ∈（ 0， ），可得

23、 cos2θ∈（ ，1），即 ∈（ ，1），由此求得 n=3，m=1，從而得到 ? = = 的值． 解答： 解：由題意可得 ? = = = = ． 同理可得 ? = = = = ． 由于 | |≥| |＞ 0， ∴ n≥m 且 m、n∈z． 2 ），可得 2 ∈（ ，1）． ∴ cos θ= ．再由 與 的夾角 θ∈（ 0， cos θ∈（ ，1），即 故有 n=3， m=1， ∴ ? = = ， 故選 C． 點(diǎn)評：本題主要

24、考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，得到 n≥m 且 m、n∈z，且 ∈（ ，1），是 解題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 二、填空題：本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分．（一）必做題 （ 9～ 13 題）（二）選做題（ 14～ 15 題，考生只能從中選做一題） 9 9．（ 5 分）（ 2012?廣東）不等式 |x+2|﹣ |x|≤1 的解集為 ． 分析：由題意，可先將不等式左邊變形為分段函數(shù)的形式，然后再分三段解不等式，將每一 段

25、的不等式的解集并起來即可得到所求不等式的解集 解答： 解： ∵ |x+2|﹣ |x|= ∴ x≥0 時(shí)，不等式 |x+2|﹣ |x|≤1 無解； 當(dāng)﹣ 2＜x＜ 0 時(shí)，由 2x+2 ≤1 解得 x≤ ，即有﹣ 2＜ x≤ ； 當(dāng) x≤﹣2，不等式 |x+2| ﹣ |x|≤1 恒成立， 綜上知不等式 |x+2|﹣ |x|≤1 的解集為 ；故答案為 點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，其常用解題策略即將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，分段求解不等 式．

26、 10．（ 5 分）（ 2012?廣東） 中 x3 的系數(shù)為 20 ．（用數(shù)字作答） 分析：由題意，可先給出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，再由通項(xiàng)確定出 x3 是展開式中的第幾項(xiàng)，從而得 出其系數(shù) 解答：解：由題意， 的展開式的通項(xiàng)公式是 Tr+1= = x12﹣3r 令 12﹣ 3r=3 得 r=3 所以 中 x3 的系數(shù)為 =20 故答案為 20 點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，屬于二項(xiàng)式考查中的?？碱}型，解答的關(guān)鍵是熟練掌握 二項(xiàng)

27、式的通項(xiàng)公式 11．（ 5 分）（ 2012?廣東）已知遞增的等差數(shù)列 {a n 1 3 22﹣ 4，則 an ． } 滿足 a =1，a =a = 2n﹣ 1 分析：由題意，設(shè)公差為 d，代入 ，直接解出公式 d，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 求出通項(xiàng)即可得到答案 解答：解：由于等差數(shù)列 {a n} 滿足 a1=1， ，令公差為 d 所以 1+2d=（ 1+d） 2﹣ 4，解得 d=2，又遞增的等差數(shù)列 {a n

28、 } ，可得 d=2 所以 an=1+2（ n﹣ 1） =2n ﹣ 1，故答案為 2n﹣ 1 點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是利用公式建立方程求出參數(shù)，需要熟練記憶公式． 10 12．（ 5 分）（ 2012?廣東）曲線 y=x 3﹣ x+3 在點(diǎn)（ 1， 3）處的切線方程為2x﹣ y+1=0 ． 分析：先求出導(dǎo)函數(shù)，然后將 x=1 代入求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，最后 化成一般式即可． 解答：解： y′=3x2﹣ 1，令 x=

29、1 得切線斜率 2 所以切線方程為 y﹣ 3=2（x﹣ 1），即 2x﹣ y+1=0 ，故答案為： 2x﹣ y+1=0 點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率、 考查直線的點(diǎn)斜式， 屬于基礎(chǔ)題． 13．（ 5 分）（ 2012?廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n 的 值為 8，則輸出的 s 的值為 8 ． 分析：由已知中的程序框圖及已知中輸入 8，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為 i＜ 8，即 i=2

30、， 4， 6 模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的 s 值． 解答：解：當(dāng) i=2 ， k=1 時(shí)， s=2，；當(dāng) i=4 ， k=2 時(shí)， s= （ 24） =4； 當(dāng) i=6 ， k=3 時(shí)， s= （ 46） =8； 當(dāng) i=8 ， k=4 時(shí)，不滿足條件 “i＜8”，退出循環(huán)，則輸出的 s=8，故答案為： 8 點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，我們常使用模擬循環(huán)的 變法，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 14．（ 5 分）（ 2012?廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系 xO

31、y 中，曲線 C1 與 C2 的參數(shù)方程分別為 （t 為參數(shù)）和 （ θ為參數(shù)），則曲線 C1 與 C2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （ 1， 1） ． 11 分析：把曲線 C1 與 C2 的參數(shù)方程分別化為普通方程，解出對應(yīng)的方程組的解，即得曲線 C1 與 C2 的交點(diǎn)坐標(biāo)． 解答：解：在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 與 C2 的普通方程分別為 y2=x ， x2+y2=2． 解方程組 可得 ，故曲線 C1 與 C2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 1），

32、 故答案為 （ 1，1）． 點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法， 求兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)， 屬于中檔題． 15．（ 2012?廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，圓 O 中的半徑為 1，A 、B、 C 是圓周上的 三點(diǎn)，滿足 ∠ ABC=30 ，過點(diǎn) A 作圓 O 的切線與 O C 的延長線交于點(diǎn) P，則圖 PA= ． 分析：連接 OA ，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得到 ∠ AOC=60 ．因?yàn)橹本€ PA 與圓 O 相切于點(diǎn) A ，且 OA 是半徑，得到 △ PAO 是直角

33、三角形，最后利用三角函數(shù) 在直角三角形中的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得 PA=OAtan60 = ． 解答：解：連接 OA ，∵圓 O 的圓周角 ∠ ABC 對弧 AC ，且 ∠ ABC=30 ，∴圓心角 ∠ AOC=60 ． 又 ∵ 直線 PA 與圓 O 相切于點(diǎn) A ，且 OA 是半徑， ∴ OA⊥ PA， ∴ Rt△ PAO 中， OA=1 ，∠ AOC=60 ， ∴ PA=OAtan60 = ，故答案為： 點(diǎn)評：本題給出圓周角的度數(shù)和圓的半徑，求圓的切線長，著重考查了圓周角定理和圓的切 線的

34、性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（ 12 分）（ 2012?廣東）已知函數(shù) （其中 ω＞ 0，x∈R）的最 小正周期為 10π． （1）求 ω的值； 12 （2）設(shè) ， ， ，求 cos（ α+β） 的值． 分析：（ 1）由題意，由于已經(jīng)知道函數(shù)的周期，可直接利用公式 ω= = 解出參數(shù) ω 的 值； （ 2）由題設(shè)條件， 可先對 ，與 進(jìn)行化簡， 求出 α與 β兩

35、角的函數(shù)值，再由作弦的和角公式求出 cos（ α+β）的值． 解答：解：（ 1）由題意，函數(shù) （其中 ω＞ 0， x∈R）的最小正周 期為 10π 所以 ω= = ，即 ，所以 （ 2）因?yàn)?， ， 分別代入得 及 ∵ ∴ ∴ 點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的周期公式及兩 角和與差的余弦函數(shù)，同角三角函數(shù) 的基本關(guān)系，屬于三角函數(shù)中有一定 綜合性的題， 屬于成熟題型， 計(jì)算題． 17．（ 13

36、 分）（ 2012?廣東）某班 50 位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率直方分布圖如圖所示， 其中成績分組區(qū)間是： [40， 50），[50 ， 60）， [60， 70）， [70 ，80）， [80， 90）， [90 ， 100] ．（1）求圖中 x 的值； 13 （2）從成績不低于 80 分的學(xué)生中隨機(jī)選取 2 人，該 2 人中成績在 90 分以上（含 90 分）的 人數(shù)記為 ξ，求 ξ的數(shù)學(xué)期望． 分析：（ 1）根據(jù)所以概率的和為 1，即所求矩形的面積和為 1，建立等式關(guān)系， 可求出所求；

37、（ 2）不低于 8（0 分）的學(xué)生有 12 人， 9（ 0 分）以上的學(xué)生有 3 人，則隨機(jī)變量 ξ 的可能取值有 0，1， 2，然后根據(jù)古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，從而可求出 數(shù)學(xué)期望． 解答：解：（ 1）由 300.006+10 0.01+100.054+10x=1 ，得 x=0.018 （ 2）由題意知道：不低于 8（ 0 分）的學(xué)生有 12 人， 9（ 0 分）以上的學(xué)生有 3 人 隨機(jī)變量 ξ的可能取值有 0， 1， 2 ； ∴ 點(diǎn)評：本題主要考查了

38、頻率分布直方圖， 以及古典概型的概率公式和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué) 期望，同時(shí)考查了計(jì)算能力和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題． 18．（ 13 分）（ 2012?廣東）如圖所示， 在四棱錐 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 為矩形， PA⊥ 平面 ABCD ，點(diǎn) E 在線段 PC 上， PC⊥平面 BDE ． （ 1）證明： BD ⊥ 平面 PAC； （ 2）若 PA=1， AD=2 ，求二面角 B ﹣PC﹣A 的正切值． 考點(diǎn) ：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定． 分析：（ 1）由題設(shè)條件及圖知，可

39、先由線面垂直的性質(zhì)證出 PA⊥ BD 與 PC⊥BD ，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可； （ 2）由圖可令 AC 與 BD 的交點(diǎn)為 O，連接 OE，證明出 ∠ BEO 為二面角 B ﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值． 解答：解：（ 1） ∵ PA⊥平面 ABCD ；∴ PA⊥ BD 14 ∵ PC⊥ 平面 BDE ； ∴PC⊥BD ，又 PA∩PC=P；∴ BD ⊥ 平面 PAC （ 2）設(shè) AC 與 BD 交點(diǎn)為 O，連 OE ∵ PC⊥

40、 平面 BDE ； ∴PC⊥平面 BOE ； ∴ PC⊥ BE ∴ ∠ BEO 為二面角 B ﹣PC﹣A 的平面角 ∵ BD ⊥ 平面 PAC； ∴ BD ⊥ AC ； ∴ 四邊形 ABCD 為正方形，又 PA=1 ，AD=2 ， 可得 BD=AC=2 ， PC=3； ∴ OC= 在 △ PAC∽ △OEC 中， ∴ ∴二面角 B﹣ PC﹣ A 的平面角的正切值為 3 點(diǎn)評：本題考查二面角的平面角的求法及線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理， 屬

41、于立體幾何中 的基本題型，二面角的平面角的求法過程，作，證，求三步是求二面角的通用步驟， 要熟練掌握 19．（14 分）（ 2012?廣東）設(shè)數(shù)列 {a n} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足 ， 且 a1， a2+5， a3 成等差數(shù)列． （1）求 a1 的值； （ 2）求數(shù)列 {a n} 的通項(xiàng)公式； （3）證明：對一切正整數(shù) n，有 ． 分析：（ 1）在 2Sn=an+1﹣ 2n+1+1 中，令分別令 n=1 ，2，可求得 a2=2a1+3，a3=6a1+13，又 a1， a2+5 ， a3 成等差數(shù)列，從而可求得 a1； （

42、 2）由 2Sn=an+1﹣2n+1+1， 得 an+2=3an+1+2n+1① ， an+1=3an+2n② ，由①② 可知 {a n+2n} 為首項(xiàng)是 3，3 為公比的等比數(shù)列， 從而可求 an； （ 3）（法一），由 an=3 n﹣ 2n=（3﹣ 2）（3n﹣ 1+3n﹣22+3n ﹣3 22+?+2n﹣ 1） ≥3n﹣ 1 可得 ≤ ，累加后利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論； 15 （法二） 由 an+1 n+1﹣2n+1＞ 23n﹣ 2n+1 n 可得， ＜ ? ，于是當(dāng) n≥2 時(shí)，

43、=3 =2a ＜ ? ， ＜ ? ， ， ?， ＜ ? ，累乘得： ＜ ? ，從而可證得 + + +?+ ＜ ． 解答：解：（ 1）在 2Sn n+1 n+1 中，令 n=1 1 2 2 得：2S 2 3 3 ， =a ﹣2 +1 得：2S =a ﹣2 +1，令 n=2 =a ﹣ 2 +1 解得： a2=2a1+3， a3=6a1+13 ；又 2（ a2+5） =a1 +a3；解得 a1=1 （ 2）由 2S n+1 得 a

44、n+2=3an+1+2 n+1， n=an+1﹣2 +1， 1 n 對 n∈N* 成立 又 a1=1，a2=5 也滿足 a2=3a1+2 ，所以 an+1=3an +2 ∴ an+1+2n+1=3（ an+2n），又 a1=1， a1+2 1=3， ∴an+2n=3n， ∴an=3n﹣ 2n； （ 3）（法一） ∵ an=3n﹣2n=（ 3﹣ 2）（ 3n﹣ 1+3 n﹣ 22+3n﹣322+?+2n ﹣1） ≥3n﹣ 1 ∴ ≤ ，

45、 ∴ + + +?+ ≤1+ + +?+ = ＜ ； （法二） ∵ an+1=3n+1﹣ 2n+1＞23n﹣ 2n+1=2an， ∴ ＜ ? ，， 當(dāng) n≥2 時(shí)， ＜ ? ， ＜ ? ， ， ? ＜ ? ， 累乘得： ＜ ? ， ∴ + + +?+ ≤1+ + +?+ ＜ ＜ ． 點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列遞推式，著重考查等比數(shù)列的求和，著重考查放縮法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，屬于難題． 20．（ 14 分）（ 2012?廣東）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓

46、C： 的離心率 ，且橢圓 C 上的點(diǎn)到點(diǎn) Q（ 0， 2）的距離的最大值為 3． （1）求橢圓 C 的方程； 16 （2）在橢圓 C 上，是否存在點(diǎn) M（ m，n），使得直線 l ：mx+ny=1 與圓 O：x2+y2 =1 相交于 不同的兩點(diǎn) A 、B ，且 △ OAB 的面積最大？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)及對應(yīng)的 △ OAB 的面 積；若不存在，請說明理由． 分 （ 1）由 得 a2=3b 2，橢圓方程為 x2+3y2=3b2，求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) Q 的距

47、離，利用配方 析： 法，確定函數(shù)的最大值，即可求得橢圓方程； 2 2 （ 2）假設(shè) M （ m， n）存在，則有 m +n ＞ 1，求出 |AB|，點(diǎn) O 到直線 l 距離，表示出面積， 利用基本不等式，即可確定三角形面積的最大值，從而可求點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 解 解：（ 1）由 得 a2=3b2，橢圓方程為 x2+3y2=3b2 答： 橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) Q 的距離 = ① 當(dāng)﹣ b≤﹣1 時(shí)，即 b≥1， 得 b=1 ② 當(dāng)﹣ b＞﹣ 1 時(shí)，即 b＜ 1，

48、 得 b=1（舍） ∴ b=1 ∴ 橢圓方程為 （ 2）假設(shè) M （ m， n）存在，則有 m2+n2＞ 1 ∵ |AB|= ，點(diǎn) O 到直線 l 距離 ∴ = ∵ m2+n2＞ 1 ∴ 0＜ ＜ 1，∴ 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 m2+n 2=2＞ 1 時(shí)， S△AOB 取最大值 ， 又 ∵ 解得： 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 或 或 或 ， △ AOB 的面積為 ． 點(diǎn) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的求解，考查基本不等式的運(yùn)用，

49、正確表示三角 評： 形的面積是關(guān)鍵． 17 21．（ 14 分）（ 2012?廣東）設(shè) a＜ 1，集合 A={x ∈R|x＞ 0} ，B={x ∈R|2x2﹣ 3（ 1+a） x+6a＞0} ， D=A ∩B ． （1）求集合 D （用區(qū)間表示） ； （2）求函數(shù) f（ x） =2x 3 2 在 D 內(nèi)的極值點(diǎn)． ﹣ 3（ 1+a）x +6ax 考點(diǎn) ：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；交集及其運(yùn)算；一元二次不等式的解法． 專題 ：計(jì)算題；壓軸題． 分析：（ 1）根據(jù)方程 2x2﹣ 3（ 1

50、+a） x+6a=0 的判別式討論 a 的范圍，求出相應(yīng) D 即可； （ 2）由 f（ x） =6x2﹣ 6（ 1+a） x+6a=0 得 x=1 ， a，然后根據(jù)（ 1）中討論的 a 的取值范圍分別求出函數(shù)極值即可． 解答：解：（ 1）記 h（ x） =2x 2﹣ 3（ 1+a） x+6a（ a＜ 1） △ =9（ 1+a） 2﹣ 48a=（ 3a﹣ 1）（3a﹣ 9） 當(dāng) △ ＜0，即 ， D=（ 0， +∞） 當(dāng) ， 當(dāng) a≤0， （ 2）由 f（ x） =6x2﹣ 6（ 1+a） x+6a=0 得

51、 x=1 ， a ① 當(dāng) ， f （ x）在 D 內(nèi)有一個(gè)極大值點(diǎn) a，有一個(gè)極小值點(diǎn) ② 當(dāng) ， ∵ h（ 1） =2﹣ 3（1+a） +6a=3a﹣ 1≤0 h（ a） =2a2﹣ 3（ 1+a） a+6a=3a﹣a2＞ 0 ∴ 1? D， a∈D ∴ f（ x）在 D 內(nèi)有一個(gè)極大值點(diǎn) a ③ 當(dāng) a≤0，則 a? D 又 ∵ h（1） =2﹣ 3（ 1+a） +6a=3a﹣ 1＜0 ∴ f（ x）在 D 內(nèi)有無極值點(diǎn) 點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時(shí)考查了 計(jì)算能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 18