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1、專題限時集訓(十五) 圓錐曲線中的綜合問題
建議用時:45分鐘]
1.(2016·中原名校聯(lián)盟二模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點B(0,)為短軸的一個端點,∠OF2B=60°.
圖15-3
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖15-3,過右焦點F2,且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于D,E兩點,A為橢圓的右頂點,直線AE,AD分別交直線x=3于點M,N,線段MN的中點為P,記直線PF2的斜率為k′.試問k·k′是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.
解] (1)由條件可知a=2,b=,故所求橢圓方程為+=1.4分
2、
(2)設過點F2(1,0)的直線l的方程為y=k(x-1).
由可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.5分
因為點F2(1,0)在橢圓內(nèi),所以直線l和橢圓都相交,即Δ>0恒成立.設點E(x1,y1),D(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=.6分
因為直線AE的方程為y=(x-2),直線AD的方程為y=(x-2),
令x=3,可得M,N,所以點P的坐標.8分
直線PF2的斜率為k′=
=·=·
=·=-,
所以k·k′為定值-.12分
2.(2016·衡水二模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-
3、y+12=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設A(-4,0),過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P,Q兩點,連接AP,AQ分別交直線x=于M,N兩點,若直線MR,NR的斜率分別為k1,k2,試問:k1k2是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.
【導學號:85952057】
解] (1)由題意得∴故橢圓C的方程為+=1.4分
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為x=my+3,由∴(3m2+4)y2+18my-21=0,
∴y1+y2=,y1y2=.6分
由A,P,M三點共線可知=,∴yM=.8分
同理可得yN=,∴k1k2
4、=×==.10分
∵(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,∴k1k2==-.12分
∴k1k2為定值-.
3.(2016·太原一模)已知橢圓M:+=1(a>0)的一個焦點為F(-1,0),左、右頂點分別為A,B.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點.
(1)求橢圓方程;
(2)當直線l的傾斜角為45°時,求線段CD的長;
(3)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值.
解] (1)因為F(-1,0)為橢圓的焦點,所以c=1,又b2=3,
所以a2=4,所以橢圓方程為+=1.3分
(2)因
5、為直線的傾斜角為45°,所以直線的斜率為1,
所以直線方程為y=x+1,和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y,得到7x2+8x-8=0,4分
所以Δ=288,x1+x2=-,x1x2=-,5分
所以|CD|=|x1-x2|=×=.6分
(3)當直線l斜率不存在時,直線方程為x=-1,
此時D,C,△ABD,△ABC面積相等,|S1-S2|=0,7分
當直線l斜率存在(顯然k≠0)時,設直線方程為y=k(x+1)(k≠0).
設C(x1,y1),D(x2,y2),
和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,8分
顯然Δ>0,方程有根,且x1+x2=-,x1x
6、2=,9分
此時|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|
=2|k(x2+x1)+2k|==≤==(k=±時等號成立),
所以|S1-S2|的最大值為.12分
4.(2016·開封二模)已知中心在原點O,焦點在x軸上,離心率為的橢圓過點.
圖15-4
(1)求橢圓的方程;
(2)設不過原點O的直線l與該橢圓交于P,Q兩點,滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
解] (1)由題意可設橢圓方程為
+=1(a>b>0),
則=(其中c2=a2-b2,c>0),且+=1,故a=2,b=1
7、.
所以橢圓的方程為+y2=1.4分
(2)由題意可知,直線l的斜率存在且不為0.故可設直線l:y=kx+m(m≠0),設P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,5分
則Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
且x1+x2=-,x1x2=.6分
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,7分
因為直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,
所以·==k2,即-+m2=0.8分
又m≠0,所以k2=,即k=±.9分
由于直線OP,OQ的斜率存在,且Δ>0,得0<m2<2,且m2≠1.
設d為點O到直線l的距離,則d=,10分
|PQ|==,11分
所以S=|PQ|d=<=1(m2≠1),
故△OPQ面積的取值范圍為(0,1).12分