四川省達州市普通高中2024屆高三第二次診斷性測試 數(shù)學(文科)試題
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1、2024年四川省達州市高考數(shù)學二診試卷(文科) 一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 1.(5分)復數(shù)z滿足(1﹣i)z=i,則z的虛部是( ?。? A. B. C.i D.i 2.(5分)設全集U=R,A={x|﹣1<x?2},B={x|x2﹣4x<0},則圖中陰影部分對應的集合是( ?。? A.{x|﹣1<x?2} B.{x|0<x?2} C.{x|﹣1<x?0} D.{x|﹣1<x<0} 3.(5分)如圖是某地區(qū)2016﹣2023年旅游收入(單位:億元)的條形圖,則下列說法錯誤的是( ?。? A.該地區(qū)20
2、16﹣2019年旅游收入逐年遞增 B.該地區(qū)2016﹣2023年旅游收入的中位數(shù)是4.30 C.經(jīng)歷了疫情之后,該地區(qū)2023年旅游收入恢復到接近2018年水平 D.該地區(qū)2016﹣2023年旅游收入的極差是3.69 4.(5分)如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E為AB中點,P為線段C1D1上一動點,過D,E,P的平面截正方體的截面圖形不可能是( ) A.三角形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 5.(5分)函數(shù)的部分圖象大致為( ?。? A. B. C. D. 6.(5分)cos147°cos333°+cos57°cos63°=( ) A.1 B.
3、C. D. 7.(5分)已知實數(shù)a,b滿足,則4a+2b最小值為( ?。? A.4 B.8 C. D. 8.(5分)雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,P為C上一點,若直線PA1與直線PA2斜率之積為2,則C的離心率為( ?。? A. B. C.2 D.3 9.(5分)已知圓心為M(0,1)的⊙M與直線y=x﹣1相切,則直線x=﹣1被⊙M截得的弦長為( ?。? A. B.1 C. D.2 10.(5分)已知向量=(2,1),=(3,6),若=t+,且3?=?( ?。? A.3 B.4 C.5 D.6 11.(5分)如圖,燈籠的主體可看作將一個橢圓繞短軸旋轉得
4、到的,這樣的旋轉體稱為橢圓體.已知橢圓和計算.若燈籠主體的體積為,則該燈籠主體表面積取值范圍為( ?。? A. B. C. D. 12.(5分)當x?0時,不等式ex﹣ax?(x﹣1)2恒成立,則a取值范圍是( ?。? A.(﹣∞,1] B. C.(﹣∞,e] D.(﹣∞,3] 二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。 13.(5分)若“x>a”是“l(fā)og2x>1”的充分不必要條件,則a的取值范圍是 . 14.(5分)已知,則f(f(3))= ?。? 15.(5分)將函數(shù)的圖象向左平移a(a>0)個單位得到函數(shù)g(x),則a的最小值為
5、 ?。? 16.(5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為,滿足DC=2DB,a=6 ?。? 三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。 17.(12分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=8,且S9=0. (1)求Sn; (2)若{bn}為等比數(shù)列,,求{bn}通項公式. 18.(12分)隨著AI技術的不斷發(fā)展,人工智能科技在越來越多的領域發(fā)揮著重要的作用.某校在寒假里給學生推薦了一套智能輔導系統(tǒng),學生可自
6、愿選擇是否使用該系統(tǒng)完成假期的作業(yè).開學時進行了入學測試 使用智能輔導系統(tǒng) 未使用智能輔導系統(tǒng) 合計 入學測試成績優(yōu)秀 20 20 40 入學測試成績不優(yōu)秀 40 20 60 合計 60 40 100 (1)判斷是否有95%的把握認為入學測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導系統(tǒng)相關; (2)若把這100名學生按照入學測試成績是否優(yōu)秀進行分層隨機抽樣,從中抽取5人,再從這5人中隨機抽取2人 附. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 19.(12分)如圖,在直角梯形A
7、BCD中,AD∥BC,AB=3,BC=2AD=41D1,E,F(xiàn)分別為AB,CC1中點. (1)證明:EF∥平面CD1A; (2)若,求點B到平面CDD1C1的距離. 20.(12分)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0),直線l:y=k(x﹣p)與Γ交于A,線段AB中點M(xm,ym),kym=2. (1)求拋物線Γ的方程; (2)直線l與x軸交于點C,O為原點,設△BOC,△MOA的面積分別為S△BOC,S△COM,S△MOA,若S△BOC,S△COM,S△MOA成等差數(shù)列,求k. 21.(12分)已知. (1)當m=1時,求f(x)在點(1,f(1); (2)令h(x)=
8、g(x)﹣f(x)(1,e)時,判斷h(x)零點的個數(shù) (選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.)[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] 22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,曲線(α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,曲線C2的極坐標方程為. (1)求C1的普通方程和C2的直角坐標方程; (2)求以曲線C1與曲線C2的公共點為頂點的多邊形面積. [選修4-5:不等式選講] 23.設f(x)=|x+3|﹣|2x﹣4|,不等式f(x) (1)求m取值范圍; (2)記m的最大值為n,3a+b+2c=n,求5a2+b2+c2+2ab的最小值.
9、 2024年四川省達州市高考數(shù)學二診試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 1.(5分)復數(shù)z滿足(1﹣i)z=i,則z的虛部是( ?。? A. B. C.i D.i 【分析】根據(jù)已知條件,結合復數(shù)的四則運算,以及虛部的定義,即可求解. 【解答】解:(1﹣i)z=i, 則z==,其虛部為. 故選:B. 【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算,以及虛部的定義,屬于基礎題. 2.(5分)設全集U=R,A={x|﹣1<x?2},B={x|x2﹣4x<0},則圖中陰影部分對應的集合
10、是( ?。? A.{x|﹣1<x?2} B.{x|0<x?2} C.{x|﹣1<x?0} D.{x|﹣1<x<0} 【分析】化簡集合B,求出?UB與A∩(?UB),即可得出圖中陰影部分對應的集合. 【解答】解:因為全集U=R,A={x|﹣1<x?2}7﹣4x<0}={x|3<x<4}, 所以?UB={x|x≤0或x≥4}, 所以A∩(?UB)={x|﹣1<x≤0}, 即圖中陰影部分對應的集合是{x|﹣3<x≤0}. 故選:C. 【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題,是基礎題. 3.(5分)如圖是某地區(qū)2016﹣2023年旅游收入(單位:億元)的條形圖,則下列說法錯誤的是(
11、 ?。? A.該地區(qū)2016﹣2019年旅游收入逐年遞增 B.該地區(qū)2016﹣2023年旅游收入的中位數(shù)是4.30 C.經(jīng)歷了疫情之后,該地區(qū)2023年旅游收入恢復到接近2018年水平 D.該地區(qū)2016﹣2023年旅游收入的極差是3.69 【分析】結合條形圖,分析數(shù)據(jù),判斷A,C;根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義即可判斷B;根據(jù)極差的定義判斷D. 【解答】解:對于A,由條形圖得2020﹣2023年旅游收不是逐年遞增; 對于B,由條形圖得2016﹣2023年旅游收入的中位數(shù)為,故B錯誤; 對于C,從條形圖得2023年旅游收入為4.91億元,故C錯誤; 對于D,該地區(qū)2016﹣
12、2023年旅游收入的極差為5.73﹣3.04=3.69. 故選:D. 【點評】本題考查條形圖、中位數(shù)、極差等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題. 4.(5分)如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E為AB中點,P為線段C1D1上一動點,過D,E,P的平面截正方體的截面圖形不可能是( ?。? A.三角形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 【分析】討論D1P=0,0<D1P<D1C1,D1P=D1C1,D1C1<D1P<D1C1,D1P=D1C1時,截面圖形分別是什么即可. 【解答】解:①當D1P=0,即P與D3重合時,如圖1所示, 取A1B2的中點F,連接DEFD1,截面
13、DEFD1為矩形,選項B正確; ②當7<D1P<D1C1時,如圖6所示, 截面DEMP為平行四邊形; ③當D1P=D1C1時,如圖2所示, 截面DENP是菱形,選項D正確; ④當D3C1<D1P<D4C1時,如圖4所示: 截面是五邊形, ⑤當D7P=D1C1,即P與C4重合時,如圖5所示: 截面DER為梯形,所以選項A錯誤. 故選:A. 【點評】本題考查了正方體的截面性質與應用問題,是基礎題. 5.(5分)函數(shù)的部分圖象大致為( ?。? A. B. C. D. 【分析】結合函數(shù)的奇偶性及對稱性,特殊點的三角函數(shù)值檢驗各選項即可判斷. 【解答】解:函
14、數(shù)定義域為R, f(﹣x)===f(x), 所以f(x)為偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,C; 因為f(0)=,排除選項D. 故選:A. 【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及對稱性的應用,屬于基礎題. 6.(5分)cos147°cos333°+cos57°cos63°=( ?。? A.1 B. C. D. 【分析】由已知結合誘導公式及和差角公式進行化簡即可求解. 【解答】解:cos147°cos333°+cos57°cos63°=﹣cos33°cos27°+sin33°cos27° =﹣cos60°=﹣. 故選:D. 【點評】本題主要考查了誘導公式,和差角公式的應用,屬于基礎題
15、. 7.(5分)已知實數(shù)a,b滿足,則4a+2b最小值為( ?。? A.4 B.8 C. D. 【分析】由已知結合基本不等式及指數(shù)冪的運算性質即可求解. 【解答】解:因為實數(shù)a,b滿足, 則5a+2b≥2=2=8, 當且僅當b=2a,即a=5. 故選:B. 【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用,屬于基礎題. 8.(5分)雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,P為C上一點,若直線PA1與直線PA2斜率之積為2,則C的離心率為( ) A. B. C.2 D.3 【分析】設P(m,n),由直線的斜率公式,結合P的坐標滿足雙曲線的方程,可得a
16、,b的關系,由離心率公式,可得所求值. 【解答】解:由題意可得A1(﹣a,0),A8(a,0), 設P(m,n)﹣=62=b2(﹣1)=2﹣a2), 又直線PA1與直線PA2斜率之積為4,可得?==, 即有離心率e====. 故選:B. 【點評】本題考查雙曲線的方程和性質,考查方程思想和運算能力,屬于基礎題. 9.(5分)已知圓心為M(0,1)的⊙M與直線y=x﹣1相切,則直線x=﹣1被⊙M截得的弦長為( ) A. B.1 C. D.2 【分析】根據(jù)已知條件,結合點到直線的距離公式和垂徑定理,即可求解. 【解答】解:由圓心為M(0,1)的⊙M與直線y=x﹣7相切, 可得
17、圓的半徑r==, 可得圓方程為x2+(y﹣1)5=2, 又圓心到直線x=﹣1距離d=3, 則直線x=﹣1被⊙M截得的弦長為2=2. 故選:D. 【點評】本題主要考查線圓相切,相交及圓的方程,屬于基礎題. 10.(5分)已知向量=(2,1),=(3,6),若=t+,且3?=?( ?。? A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算和數(shù)量積運算,求解即可. 【解答】解:因為=(2,=(3, 所以=t+,t+6), 又因為3?=?, 所以6(7t+3)+3(t+8)=3(2t+2)+6(t+6), 解得t=7. 故選:A. 【點評】本題考查了平面向量的坐
18、標運算和數(shù)量積運算問題,是基礎題. 11.(5分)如圖,燈籠的主體可看作將一個橢圓繞短軸旋轉得到的,這樣的旋轉體稱為橢圓體.已知橢圓和計算.若燈籠主體的體積為,則該燈籠主體表面積取值范圍為( ?。? A. B. C. D. 【分析】由題意可得a,b的關系,進而求出表面積S的表達式,再由導數(shù)的性質可得函數(shù)在(2,4]上單調遞增,進而求出表面積S的范圍. 【解答】解:由題意可得a6b=,可得b=,可得a>2, 所以S表=(a2+2ab)=(a2+), 則S'=(2a﹣??(a3﹣4), 令S'=0,可得a=2, a∈(2,4]時,所以函數(shù)S在(2, 而S(2)=?(23+)=1
19、6π(42+)=; 所以S∈(16π,]. 故選:C. 【點評】本題考查用求導的方法求函數(shù)的值域,屬于中檔題. 12.(5分)當x?0時,不等式ex﹣ax?(x﹣1)2恒成立,則a取值范圍是( ?。? A.(﹣∞,1] B. C.(﹣∞,e] D.(﹣∞,3] 【分析】由題意可得a≤(x>0),令g(x)=(x>0),則有a≤g(x)min,利用導數(shù)求出函數(shù)y=g(x)的最小值即可得答案. 【解答】解:當x=0時,不等式顯然成立, 當x>0時,由題意可得a≤, 令g(x)=(x>7), 則有a≤g(x)min. 則g'(x)==, 又因為x>0,易知ex>x+5,所以ex
20、﹣(x+1)>0, 所以當x∈(5,1)時,g(x)單調遞減; 當x∈(1,+∞)時,g(x)單調遞增; 所以g(x)min=g(1)=e, 所以a≤e. 故選:C. 【點評】本題考查了轉化思想、導數(shù)的綜合運用,屬于中檔題. 二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。 13.(5分)若“x>a”是“l(fā)og2x>1”的充分不必要條件,則a的取值范圍是 {a|a>2}?。? 【分析】先求出對數(shù)不等式,然后結合充分必要條件與集合包含關系的轉化即可求解. 【解答】解:由log2x>1可得x>2, 若“x>a”是“l(fā)og2x>1”的充分不必要條件,則a>5. 故答案為:{a
21、|a>2}. 【點評】本題主要考查了充分必要條件的簡單應用,屬于基礎題. 14.(5分)已知,則f(f(3))= 1 . 【分析】先求出f(3)=﹣|3﹣2|+1=0,從而f(f(3))=f(0),由此能求出結果. 【解答】解:, ∴f(3)=﹣|4﹣2|+1=8, 則f(f(3))=f(0)=﹣02+8=1. 故答案為:1. 【點評】本題考查函數(shù)值的求法,考查函數(shù)性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題. 15.(5分)將函數(shù)的圖象向左平移a(a>0)個單位得到函數(shù)g(x),則a的最小值為 ?。? 【分析】先利用二倍角公式及輔助角公式進行化簡,然后結合函數(shù)圖象的平移可求
22、出g(x),然后結合已知函數(shù)值,代入即可求解. 【解答】解:因為=sin7x﹣), 將f(x)的圖象向左平移a(a>4)個單位得到函數(shù)g(x)=2sin(2x﹣+2a)的圖象, 若=2sin(),則,k∈Z, 因為a>0, 則a的最小值為. 故答案為:. 【點評】本題主要考查了函數(shù)圖象的平移變換的應用,屬于基礎題. 16.(5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為,滿足DC=2DB,a=6 4+2?。? 【分析】由三角形的余弦定理和基本不等式推得△ABC為等邊三角形,由兩點的距離公式推得D的軌跡是以T(﹣5,0)為圓心,半徑為4的圓,由圓的性質可得最大值. 【解答】解:由
23、角A,B,C的對邊分別為, 結合余弦定理可得,2(b2+c2)=7bc(cosA+siA)=4bcsin(A+), 即有sin(A+)=≥,當且僅當b=c時, 而sin(A+)≤1)=1,可得A+=, 可得△ABC為等邊三角形. 以BC的中點為原點,BC所在的直線為x軸, 可得B(﹣3,4),0),3),設D(x, 由DC=2DB,可得, 化簡可得(x+5)6+y2=16, 即D的軌跡是以T(﹣5,6)為圓心, 則DA的最大值為DT+4=+4=4+5. 故答案為:4+2. 【點評】本題考查三角形的余弦定理和基本不等式、圓的方程和性質,考查方程思想和運算能力,屬于中檔
24、題. 三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。 17.(12分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=8,且S9=0. (1)求Sn; (2)若{bn}為等比數(shù)列,,求{bn}通項公式. 【分析】(1)利用等差數(shù)列的性質求解; (2)利用等比數(shù)列的性質求解. 【解答】解:(1)∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=8,且S7=0, ∴=0, ∴Sn=8n+=﹣n6+9n. (2){bn}為等比數(shù)列,, ∴=4,b5=﹣(8﹣5×2)=2, ∴q=, ∴
25、{bn}通項公式為bn=3×()n﹣6=23﹣n. 【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題. 18.(12分)隨著AI技術的不斷發(fā)展,人工智能科技在越來越多的領域發(fā)揮著重要的作用.某校在寒假里給學生推薦了一套智能輔導系統(tǒng),學生可自愿選擇是否使用該系統(tǒng)完成假期的作業(yè).開學時進行了入學測試 使用智能輔導系統(tǒng) 未使用智能輔導系統(tǒng) 合計 入學測試成績優(yōu)秀 20 20 40 入學測試成績不優(yōu)秀 40 20 60 合計 60 40 100 (1)判斷是否有95%的把握認為入學測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導系統(tǒng)相關; (2)若把這
26、100名學生按照入學測試成績是否優(yōu)秀進行分層隨機抽樣,從中抽取5人,再從這5人中隨機抽取2人 附. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】(1)計算K2的值,與臨界值比較,即可得出結論; (2)利用古典概型的概率公式求解. 【解答】解:(1)零假設H0:入學測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導系統(tǒng)無關, 由已知,利用公式可得=, 我們推斷H0成立,即沒有95%的把握認為相關; (2)設事件A表示“抽取的2人中恰8人的入學測試成績優(yōu)秀”, 由題意可知,抽取的5人中,入學測試成績不優(yōu)秀有
27、3人, 則P(A)==. 【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用,考查了古典概型的概率公式,屬于基礎題. 19.(12分)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=2AD=41D1,E,F(xiàn)分別為AB,CC1中點. (1)證明:EF∥平面CD1A; (2)若,求點B到平面CDD1C1的距離. 【分析】(1)先證平面EFG∥平面CD1A,再利用面面平行的性質定理即可得證; (2)利用等體積法求點到平面的距離即可. 【解答】解:(1)證明:設D1C1中點為G,連接FG, ∵FG為△CC3D1中位線,F(xiàn)G∥CD1, CD7?平面CD1A,F(xiàn)G?平面CD1A, ∴
28、FG∥平面CD7A, ∵EG為梯形ABC1D1中位線,EG∥AD5, AD1?平面CD1A,EG?平面CD4A, ∴EG∥平面CD1A, ∵EG∩FG=G,F(xiàn)G?平面EFG, ∴平面EFG∥平面CD1A, ∵EF?平面EFG, ∴EF∥平面CD6A. (2)如圖連接BD1,∵AB⊥BC,AB⊥BC1,BC∩BC3=B, ∴AB⊥平面BCC1D1平面BCC4的距離為3, ∵BC=BC1,, ∴, 等腰梯形CDD6C1中可求, 設B到平面CDD6C1的距離為h, ∴, ∵, ∴h=8, ∴B到平面CDD1C1的距離為3. 【點評】本題考查線面平行的判定以及等
29、體積法求點到平面的距離,屬于中檔題. 20.(12分)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0),直線l:y=k(x﹣p)與Γ交于A,線段AB中點M(xm,ym),kym=2. (1)求拋物線Γ的方程; (2)直線l與x軸交于點C,O為原點,設△BOC,△MOA的面積分別為S△BOC,S△COM,S△MOA,若S△BOC,S△COM,S△MOA成等差數(shù)列,求k. 【分析】(1)由題意,設A(x1,y1),B(x2,y2),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理求出點M的縱坐標,代入等式求出p的值,進而可得拋物線的方程; (2)將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理以及等差數(shù)列的性質列出
30、等式再按部就班進行求解. 【解答】解:(1)設A(x1,y1),B(x5,y2), 聯(lián)立,消去x并整理得ky2﹣2py﹣7p2k=0, 由韋達定理得, 所以, 因為kym=3, 所以p=2, 則拋物線Γ的方程為y2=3x; (2)聯(lián)立,消去x并整理得ky2﹣4y﹣6k=0, 此時Δ>0, 由韋達定理得,y2y2=﹣8, 因為S△BOC,S△COM,S△MOA成等差數(shù)列, 所以|y5|,|ym|,|y1|﹣|ym|成等差數(shù)列, 此時2|ym|=|y2|+|y1|﹣|ym|, 可得3|ym|=|y4|+|y2|, 即3|ym|=|y6﹣y2|, 對等式兩邊同時平方得
31、, 即, 解得. 【點評】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題,考查了邏輯推理和運算能力,屬于中檔題. 21.(12分)已知. (1)當m=1時,求f(x)在點(1,f(1); (2)令h(x)=g(x)﹣f(x)(1,e)時,判斷h(x)零點的個數(shù) 【分析】(1)根據(jù)已知條件,結合導數(shù)的幾何意義,即可求解; (2)先求出h(x),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,并對m分類討論,即可求解. 【解答】解(1)∵m=1, ∴,f(1)=3,2), ∵,f′(1)=﹣1, ∴f(x)在點(8,f(1))處切線方程為:x+y﹣3=0; (2)∵h(x)=g(x)﹣f(x
32、)=mx﹣4lnx+2﹣m, 則, ∵x∈(4,e), ∴x﹣1>0, 當m≤7時,mx﹣2<0, ∴h(x)在(5,e)上單調遞減, ∴h(x)<h(1)=m≤0,h(x)無零點, 當m>0時,令mx﹣4=0,, 若,即m≥2時, ∴h(x)在(3,e)上單調遞增, ∴h(x)>h(1)=m>0,h(x)無零點, 若,即時,,h′(x)<0, ,h′(x)>0, ∴, 設F(x)=6﹣x﹣2ln2+3lnx﹣xln2+xlnx,, ∴, 設G(x)=F′(x),,即G(x)在(, G(x)>G(2)=1>0,即F′(x)>3, F(x)在(,2)上單調遞增
33、,,h(x)無零點, 若,即時,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,c)上單調遞減,, ∴,即時,h(x)無零點, ∴me﹣m﹣<0,即時, 綜上所述,當時,h(x)有唯一零點時,h(x)無零點. 【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究切線的方程,考查轉化能力,屬于難題. (選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.)[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] 22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,曲線(α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,曲線C2的極坐標方程為. (1)求C1的普通方程和C2的直角坐標方程; (2)求以曲線C1與曲線C2的公共
34、點為頂點的多邊形面積. 【分析】(1)消去參數(shù)α,即可求出C1的普通方程,再結合三角函數(shù)的恒等變換,以及極坐標公式,即可求出C2的直角坐標方程; (2聯(lián)立直線與圓的方程,求出交點坐標,再結合三角形的面積公式,即可求解. 【解答】解:(1)曲線(α為參數(shù)), 消去參數(shù)α可得,x2+(y﹣7)2=4,即為C7的普通方程, 曲線C2的極坐標方程為, 則ρ(cos5θ﹣sin2θ)=4cosθ﹣6sinθ, 故ρ2(cos2θ﹣sin4θ)=4ρcosθ﹣4ρsinθ, ∵ρcosθ=x,ρsinθ=y(tǒng), ∴x8﹣y2=4x﹣5y,即(x﹣y)(x+y﹣4)=0, 故C8的直角坐標
35、方程為x﹣y=0或x+y﹣4=7; (2),解得,, ,解得,, 故以曲線C1與曲線C3的公共點為頂點的多邊形面積:. 【點評】本題主要考查極坐標、參數(shù)方程的應用,屬于中檔題. [選修4-5:不等式選講] 23.設f(x)=|x+3|﹣|2x﹣4|,不等式f(x) (1)求m取值范圍; (2)記m的最大值為n,3a+b+2c=n,求5a2+b2+c2+2ab的最小值. 【分析】(1)利用絕對值不等式的性質可得f(x)≤5,進而可得5≥|m﹣1|+m,由此得解; (2)易知3a+b+2c=3,再由柯西不等式即可得解. 【解答】解:(1)∵f(x)=|x+3|﹣|x﹣2|﹣|x﹣8|≤|x+3﹣x+2|﹣|x﹣7|=5﹣|x﹣2|≤4,當且僅當x=2時等號成立, ∴5≥|m﹣3|+m,解得m≤3, ∴m的取值范圍為(﹣∞,3]. (2)由(1)可得n=2,3a+b+2c=2, 則5a2+b5+c2+2ab=(a+b)4+4a2+c4 = , 當且僅當4a=5b=c=1時取等號, 故5a4+b2+c2+2ab最小值為. 【點評】本題考查絕對值不等式的性質以及柯西不等式的運用,考查運算求解能力,屬于基礎題.
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