高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量 10.2 排列與組合課件(理).ppt

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第二節(jié) 排列與組合,【知識梳理】 1.排列,不同,一定,順序,不同,所有不同排列,n(n-1)(n-2)…(n-m+1),n!,1,2.組合,不同,并成一組,不同,所有組合的,【特別提醒】 1.區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵與方法 (1)關(guān)鍵:看所選的元素與順序是否有關(guān). (2)方法:交換某兩個(gè)元素的位置,判斷對結(jié)果是否產(chǎn)生影響,產(chǎn)生影響的是排列問題,否則是組合問題.,2.與組合數(shù)相關(guān)的幾個(gè)公式 (1) (全組合公式). (2) (3),【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-3P25練習(xí)T4改編)從3,5,7,11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中, 每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a,b,共可得到lga-lgb的 不同值的個(gè)數(shù)是 ( ) A.6 B.8 C.12 D.16,【解析】選C.由于lga-lgb=lg ,從3,5,7,11中取出兩 個(gè)不同的數(shù)分別賦值給a和b共有 =12種,所以得到 不同的值有12個(gè).,2.(選修2-3P28習(xí)題1.2A組T15改編)2015年北京國際田 聯(lián)世界田徑錦標(biāo)賽,要從6名男生和2名女生中選出3名 志愿者,其中至少有1名女生的選法共有 ( ) A.30種 B.36種 C.42種 D.60種,【解析】選B.分兩類:第1類:有1名女生的 有 =215=30種, 第2類有2名女生的有 =6種, 由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有30+6=36(種).,感悟考題 試一試 3.(2016鄭州模擬)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選 出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的 選法共有 ( ) A.60種 B.70種 C.75種 D.150種,【解析】選C.由題意,從6名男醫(yī)生中選2人,5名女醫(yī)生 中選1名組成一個(gè)醫(yī)療小組,不同的選法共有 =75種.,4.(2015廣東高考)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間 兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了 條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答) 【解析】依題意兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相 當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù),所以全班共寫了 =4039=1560條畢業(yè)留言. 答案:1560,5.(2014北京高考)把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A 與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有 種. 【解析】將產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁在一起,然后與其他三件 產(chǎn)品進(jìn)行全排列,共有 種方法,將產(chǎn)品A,產(chǎn)品B,產(chǎn) 品C捆綁在一起,且產(chǎn)品A在中間,然后與其他兩件產(chǎn)品,進(jìn)行全排列,共有 種方法.于是符合題意的排法共 有 =36(種). 答案:36,考向一 排列的應(yīng)用 【典例1】(1)有4名男生,5名女生,全體排成一行,則 甲不在中間也不在兩端的排法有 種. (2)在數(shù)字1,2,3與符號“+”“-”這五個(gè)元素的所有 全排列中,任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列方法共有 種.,【解題導(dǎo)引】(1)分兩步進(jìn)行:①排甲;②排其余8人. (2)由于題設(shè)中任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰,因此可用插空 法解決問題. 【規(guī)范解答】(1)分兩步進(jìn)行:第一步:先排甲有 種, 第二步,排其余8人有 種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共 有 =241920(種)排法. 答案:241920,【一題多解】解答本題,還有以下三種解法: 方法一:中間和兩端有 種排法,包括甲在內(nèi)的其余 6人有 種排法,故共有 =241920(種)排法. 方法二:9人全排列有 種,甲排在每一個(gè)位置的機(jī)會 都是均等的,依題意得,甲不在中間及兩端的排法總數(shù) 是: =241920(種). 方法三:(間接法) -3 =241920(種).,(2)本題主要考查某些元素不相鄰的問題,先排符號 “+”“-”,有 種排列方法,此時(shí)兩個(gè)符號中間與 兩端共有3個(gè)空位,把數(shù)字1,2,3“插空”,有 種排 列方法,因此滿足題目要求的排列方法共有 =12(種). 答案:12,【母題變式】1.若本例題(2)中條件“任意兩個(gè)數(shù)字都 不相鄰”改為“1,2,3這三個(gè)數(shù)字必須相鄰”,則這樣 的全排列方法有多少種? 【解析】用捆綁法,有 =36(種).,2.若本例(2)中條件變?yōu)?符號“+”與“-”都不相鄰, 則這樣的全排列有多少種? 【解析】 =72(種).,【規(guī)律方法】 1.求解有限制條件排列問題的主要方法,2.解決有限制條件排列問題的策略 (1)根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進(jìn)行分步,即先安排特殊元素或特殊位置. (2)根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰來占進(jìn)行分類.,易錯提醒:(1)分類要全,以免遺漏. (2)插空時(shí)要數(shù)清插空的個(gè)數(shù),捆綁時(shí)要注意捆綁后 元素的個(gè)數(shù)及要注意相鄰元素的排列數(shù). (3)用間接法求解時(shí),事件的反面數(shù)情況要準(zhǔn)確.,【變式訓(xùn)練】(2016蘭州模擬)數(shù)字“2015”中,各位 數(shù)字相加和為8,稱該數(shù)為“如意四位數(shù)”,則用數(shù)字 0,1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字且大于2015的“如意 四位數(shù)”有 個(gè) ( ) A.21 B.22 C.23 D.24,【解析】選C.滿足四位數(shù)字之和等于8的四個(gè)數(shù)字為 0,1,2,5或0,1,3,4. 0,1,2,5組成的無重復(fù)數(shù)字且大于2015的“如意四位 數(shù)”共有1+2+2+ =11(個(gè)); 0,1,3,4組成的無重復(fù)數(shù)字且大于2015的“如意四位 數(shù)”共有2 =12(個(gè));故共有23個(gè).,【加固訓(xùn)練】 1.(2014四川高考)六個(gè)人從左至右排成一行,最左 端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共 有 ( ) A.192種 B.216種 C.240種 D.288種,【解析】選B.若最左端排甲,排法有 =120種;若最 左端排乙,排法有 =96種,故不同的排法共有120+96=216種.,2.(2016蘭州模擬)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如 果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰),那么不同的排 法共有 ( ) A.24種 B.60種 C.90種 D.120種 【解析】選B.由題意知有 =60(種).,3.用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),則其 中數(shù)字1,2相鄰的偶數(shù)有 個(gè)(用數(shù)字作答).,【解析】可以分情況討論:①若末位數(shù)字為0,則1,2為 一組,且可以交換位置,3,4各為1個(gè)數(shù)字,共可以組成 2 =12個(gè)五位數(shù);②若末位數(shù)字為2,則1與它相鄰, 其余3個(gè)數(shù)字排列,且0不是首位數(shù)字,則有2 =4個(gè) 五位數(shù);③若末位數(shù)字為4,則1,2為一組,且可以交換,位置,3,0各為1個(gè)數(shù)字,且0不是首位數(shù)字,則有2 (2 )=8個(gè)五位數(shù),所以全部合理的五位數(shù)共有 24個(gè). 答案:24,考向二 組合的應(yīng)用 【典例2】(1)(2016太原模擬)將5名學(xué)生分到A,B,C 三個(gè)宿舍,每個(gè)宿舍至少1人,至多2人,其中學(xué)生甲不到 A宿舍的不同分法有 ( ) A.18種 B.36種 C.48種 D.60種,(2)(2016重慶模擬)2015年某地春季高考有10所高校 招生,如果某3位同學(xué)恰好被其中2所高校錄取,那么錄取方式有 種.,【解題導(dǎo)引】(1)三個(gè)宿舍的人數(shù)只能是2,2,1,分情況 討論即可. (2)分兩步進(jìn)行:①從10所高校選2所;②從3位同學(xué)中選 2位選擇2所學(xué)校.,【規(guī)范解答】(1)選D.由題意知A,B,C三個(gè)宿舍中有兩 個(gè)宿舍分到2人,另一個(gè)宿舍分到1人.若甲被分到B宿舍: ①A中2人,B中1人,C中2人,有 =6種分法; ②A中1人,B中2人,C中2人,有 =12種分法; ③A中2人,B中2人,C中1人,有 =12種分法, 即甲被分到B宿舍的分法有30種,同樣甲被分到C宿舍 的分法也有30種,所以甲不到A宿舍一共有60種分法.,(2)分兩步進(jìn)行:第1步從10所高校選2所有 種, 第2步:從3位同學(xué)中選2位選擇2所高校,有 種, 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,錄取方式共有 =270(種). 答案:270,【易錯警示】解答本例題(1)有兩點(diǎn)容易出錯: (1)分類討論時(shí),極易少討論一種或兩種情況. (2)在每一種情況中,也可能少討論一種或兩種情況.,【規(guī)律方法】 1.組合問題的常見題型及解題思路 (1)常見題型:一般有選派問題、抽樣問題、圖形問 題、集合問題、分組問題等. (2)解題思路:①分清問題是否為組合問題;②對較復(fù)雜 的組合問題,要搞清是“分類”還是“分步”,一般是 先整體分類,然后局部分步,將復(fù)雜問題通過兩個(gè)原理 化歸為簡單問題.,2.兩類含有附加條件的組合問題的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;若“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.,(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型:解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時(shí),用間接法求解.,【變式訓(xùn)練】(2016長春模擬)如果小明在某一周的 第一天和第七天分別吃了2個(gè)水果,且從這周的第二天 開始,每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比,僅存在三種 可能:或“多一個(gè)”或“持平”或“少一個(gè)”,那么,小 明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有 ( ) A.50種 B.51種 C.140種 D.141種,【解析】選B.因?yàn)榈?天和第7天吃的水果數(shù)相同,所以 從這周的第二天開始后五天中“多一個(gè)”或“少一 個(gè)”的天數(shù)必須相同,所以后面五天中吃的水果個(gè)數(shù) “多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)可能是0,1,2天,共三 種情況,所以共有 =51(種).,【加固訓(xùn)練】 1.(2016武漢模擬)6名同學(xué)安排到3個(gè)社區(qū)A,B,C參加 志愿者服務(wù),每個(gè)社區(qū)安排2名同學(xué),其中甲同學(xué)必須到 A社區(qū),乙和丙同學(xué)均不能到C社區(qū),則不同的安排方法 種數(shù)為 ( ) A.12 B.9 C.6 D.5,【解析】選B.當(dāng)乙、丙中有一人在A社區(qū)時(shí)有 =6(種)安排方法;當(dāng)乙、丙兩人都在B社區(qū)時(shí)有 =3(種)安排方法,所以共有9種不同的安排方法.,2.(2014廣東高考)設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈ {-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件“1≤ |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為 ( ) A.60 B.90 C.120 D.130,【解析】選D.集合A中元素為有序數(shù)組(x1,x2,x3,x4, x5),題中要求有序數(shù)組的5個(gè)數(shù)中僅1個(gè)數(shù)為1、僅 2個(gè)數(shù)為1或僅3個(gè)數(shù)為1,所以共有 =130個(gè)不同數(shù)組.,3.(2016石家莊模擬)如圖,∠MON的邊OM上有四點(diǎn) A1,A2,A3,A4,ON上有三點(diǎn)B1,B2,B3,則以O(shè),A1,A2,A3, A4,B1,B2,B3為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為 ( ) A.30 B.42 C.54 D.56,【解析】選B.用間接法.先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn),最 多構(gòu)成三角形 個(gè),再減去三點(diǎn)共線的情形即可. =42.,4.(2015商丘模擬)某同學(xué)有同樣的畫冊2本,同樣的 集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本, 則不同的贈送方法共有 種.,【解析】從5本書中選出4本,可分為兩種情況: 第一種情況為1本畫冊和3本集郵冊, 第二種情況為2本畫冊和2本集郵冊, 將它們分給4位朋友分別有 =4種, =6種方法, 故不同的贈送方法共有10種. 答案:10,考向三 排列、組合的綜合應(yīng)用 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:簡單的排列與組合的綜合問題 【典例3】(2016衡水模擬)從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字 中任取3個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有 2和3時(shí),2需排在3的前面(不一定相鄰),這樣的三位數(shù) 有( ) A.51個(gè) B.54個(gè) C.12個(gè) D.45個(gè),【解題導(dǎo)引】分三種情況進(jìn)行討論:①沒有2,3;②只有 2或3中的一個(gè);③2,3均有. 【規(guī)范解答】選A.分三類:第1類,沒有2,3,由其他三個(gè) 數(shù)字組成三位數(shù),有 (個(gè)); 第2類,只有2或3中的一個(gè),需從1,4,5中選兩個(gè)數(shù)字,可 組成 (個(gè));,第3類,2,3均有,再從1,4,5中選一個(gè), 因?yàn)?需排在3的前面.所以可組成 (個(gè)), 由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有 =51(個(gè)).,命題方向2:分組、分配問題 【典例4】(2016忻州模擬)有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校 的3個(gè)班去作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流,則每個(gè)班至少去一名的不 同分派方法種數(shù)為 ( ) A.150 B.180 C.200 D.280,【解題導(dǎo)引】分兩步進(jìn)行,將5名學(xué)生分成3組,再分配 到3個(gè)班去. 【規(guī)范解答】選A.第1步:將5名學(xué)生分成3組,有兩種情 況,第一類:按3,1,1分組,有 種分法; 第2類:按2,2,1分組,有 種分法,由分類加法計(jì)數(shù)原 理得,共有 =25種不同的分組方式; 第2步:分配到3個(gè)班去,有 種分法,由分步乘法計(jì)數(shù) 原理得,共有 =256=150(種)不同的分配方法.,【技法感悟】 1.解決簡單的排列與組合的綜合問題的思路 (1)根據(jù)附加條件將要完成事件先分類. (2)對每一類型取出符合要求的元素組合,再對取出的元素排列. (3)由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總數(shù).,2.分組、分配問題的求解策略 (1)對不同元素的分配問題. ①對于整體均分,解題時(shí)要注意分組后,不管它們的 順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以 (n為均分的組數(shù)),避免重復(fù)計(jì)數(shù).,②對于部分均分,解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)應(yīng)除以m!,分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組,就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù). ③對于不等分組,只需先分組,后排列,注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù).,(2)對于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”.,【題組通關(guān)】 1.(2016珠海模擬)將紅、黑、藍(lán)、黃4個(gè)不同的小 球放入3個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少放一個(gè)球,且紅 球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子,則不同的放法的種數(shù) 為 ( ) A.18 B.24 C.30 D.36,【解析】選C.將4個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子,先在4個(gè) 小球中任取2個(gè)作為1組,再將其與其他2個(gè)小球?qū)?yīng)3個(gè) 盒子,共有 =36種情況,若紅球和藍(lán)球放到同一個(gè) 盒子,則黑、黃球放進(jìn)其余的盒子里,有 =6種情況, 則紅球和藍(lán)球不放到同一個(gè)盒子的放法種數(shù)為36-6=30 種.,2.(2016泉州模擬)將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不 同路口疏導(dǎo)交通,每個(gè)路口至少一人,且甲、乙在同一 路口的分配方案共有 ( ) A.18種 B.24種 C.36種 D.72種,【解析】選C.不同的分配方案可分為以下兩種情況: ①甲、乙兩人在一個(gè)路口,其余三人分配在另外的兩個(gè) 路口,其不同的分配方案有 =18(種); ②甲、乙所在路口分配三人,另外兩個(gè)路口各分配一個(gè)人,其不同的分配方案有 =18(種). 由分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的分配方案共有18+18=36(種).,3.(2016邢臺模擬)將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組, 分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動,每個(gè)小組由 1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有 ( ) A.12種 B.10種 C.9種 D.8種,【解析】選A.將4名學(xué)生均分為2個(gè)小組共有 =3種 分法; 將2個(gè)小組的同學(xué)分給2名教師共有 =2種分法, 最后將2個(gè)小組的人員分配到甲、乙兩地有 =2種 分法. 故不同的安排方案共有322=12種.,4.(2016蘭州模擬)將5位志愿者分成3組,其中兩組各 2人,另一組1人,分赴某運(yùn)動會的三個(gè)不同場館服務(wù),不 同的分配方案有 種(用數(shù)字作答). 【解析】先將5位志愿者分成3組共有 種方法,再 分到三個(gè)不同場館共有 種方法,所以不同的分配方 案有: =90種. 答案:90,【加固訓(xùn)練】 1.(2015上饒模擬)將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北 京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀,則每 所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為 種 ( ) A.240 B.180 C.150 D.540,【解析】選C.將5名學(xué)生分成2,2,1或3,1,1兩種形式, 當(dāng)5名學(xué)生分成2,2,1時(shí),共有 =90種結(jié)果, 當(dāng)5名學(xué)生分成3,1,1時(shí),共有 =60種結(jié)果, 所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有90+60=150(種).,2.(2014遼寧高考)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座, 任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24 【解析】選D.(1)把三把空椅子排好留出四個(gè)空位. (2)在四個(gè)空位上排上三把椅子安排3人就座,因此 共有 種坐法.,