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2019-2020年高中數學 2-3-2圓的一般方程同步檢測 新人教B版必修2
一、選擇題
1．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標為( )
A．(1，－1) B.
C．(－1,2) D.
[答案] D
[解析] 圓的方程(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0可化為x2＋y2＋x＋2y－10＝0，
∴圓心坐標為.
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的范圍是( )
A．a<－2或a>
B．－
0，即(3a－2)(a＋2)<0，因此－20)關于直線y＝x對稱，則有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
[答案] B
[解析] 由圓的對稱性知，圓心在直線y＝x上，
故有－＝－，即D＝E.
7．如果直線l將圓x2＋y2－2x－6y＝0平分，且不通過第四象限，那么直線l的斜率的取值范圍是( )
A．[0,3] B．[0,1]
C. D.
[答案] A
[解析] l過圓心C(1,3)，且不過第四象限．
由數形結合法易知：0≤k≤3.
8．已知圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，當該圓的面積取最大值時，圓心坐標是( )
A．(0，－1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(－1,1)
[答案] A
[解析] 圓的半徑r＝，要使圓的面積最大，即圓的半徑r取最大值，故當k＝0時，r取最大值1，∴圓心坐標為(0，－1)．
二、填空題
9．點P(1，－2)和圓C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置關系是________
[答案] 在圓C外部
[解析] 將點P(1，－2)代入圓的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴點P在圓C外部．
10．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則F＝________.
[答案] 4
[解析] 由題意，知D＝－4，E＝8，
r＝＝4，∴F＝4.
11．若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，則點P(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的__________．
[答案] 外部
[解析] ∵x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，∴點P(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的外部．
12．已知圓x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一點P(a，b)，則a2＋b2的最小值是________．
[答案] 30－10
[解析] 原點到圓心的距離為，半徑r＝5，則a2＋b2最小值為(5－)2＝30－10.
三、解答題
13．經過兩點P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x軸上截得的弦長為6的圓的方程．
[解析] 設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將P、Q兩點的坐標分別代入，得
①
②
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
由已知，|x1－x2|＝6(其中x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的兩根)，∴D2－4F＝36，③
①、②、③聯立組成方程組，解得
， 或.
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
14．圓C通過不同三點P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圓C在點P的切線的斜率為1，試求圓C的方程．
[解析] 設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵點P(k,0)、Q(2,0)在圓上，
∴k、2為方程x2＋Dx＋F＝0的兩根．
∴k＋2＝－D,2k＝F.即，
又因圓過點P(0,1)，故1＋E＋F＝0.
∴E＝－F－1＝－2k－1，故圓的方程為
x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0.
∴圓心C的坐標為.
又∵圓在點P的切線斜率為1，
∴＝－1，即k＝－3，
從而D＝1，E＝5，F＝－6.
即圓的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
15．求經過點A(－2，－4)且與直線l：x＋3y－26＝0相切于點B(8,6)的圓的方程．
[解析] 解法一：設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心C.
∴kCB＝，由kCBkl＝－1，得
＝－1，①
又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②
82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③
由①②③聯立可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
∴圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
解法二：設圓的圓心為C，則CB⊥l，從而可得CB所在直線的方程為y－6＝3(x－8)，
即3x－y－18＝0.①
由于A(－2，－4)、B(8,6)，則AB的中點坐標為(3,1)，又kAB＝＝1，
∴AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－3)，
即x＋y－4＝0②
由①②聯立后，可解得.
即圓心的坐標為
∴所求圓的半徑r＝＝.
∴所求圓的方程為2＋2＝.
16．已知圓經過點(4,2)和(－2，－6)，該圓與兩坐標軸的四個截距之和為－2，求圓的標準方程．
[解析] 設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圓經過點(4,2)和(－2，－6)，
∴
設圓在x軸上的截距為x1、x2，它們是方程x2＋Dx＋F＝0的兩個根，得x1＋x2＝－D.
設圓在y軸上的截距為y1、y2，它們是方程y2＋Dy＋F＝0的兩個根，得y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③.
由①②③聯立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圓的一般方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0，
化為標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
2019-2020年高中數學 2-3-2圓的一般方程同步檢測 新人教B版必修2.doc
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