2017年中考數(shù)學專題復習《幾何證明》壓軸題(含答案解析)

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1、幾何證明壓軸題(中考) 1、如圖，在梯形 ABCD 中，AB //CD, / BCD=90 ，且 AB=1 , BC=2, tan/ADC=2. (1)求證：DC=BC; (2) E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且/ EDC=/FBC, DE=BF ,試判斷△ ECF的形 狀，并證明你的結(jié)論； (3)在(2)的條件下，當 BE: CE=1 : 2, / BEC=135 時，求 sin/BFE 的值. BCD 90 ［翁軍析］(1)過A作DC的垂線AM交DC于M, 則 AM=BC=2. 2 又 tan / ADC=2所以 DM — 1.即 DC=BC. 2 (2)等腰三角形

2、. 證明：因為 DE DF, EDC FBC,DC BC . 所以，△ DE隼△ BFC 所以，CE CF, ECD BCF . 所以， ECF BCF BCE ECD BCE 即^ ECF是等腰直角三角形. (3)設(shè) BE k,則 CE CF 2k,所以 EF 2 J2k. 因為 BEC 135 ,又 CEF 45 ,所以 BEF 90 所以 BF ,k2 (2.2k)2 3k k 1 所以 sin BFE - -. 3k 3 BD是對角線，AG // DB 2、已知：如圖，在 DABCD 中，E、F分別為邊 AB、CD的中點, 交CB的延長線于G. (1)求證

3、：△ ADE^A CBF; (2)若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形 AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論. ［解析］ (1)二.四邊形 ABCD是平行四邊形, ? ./ 1=/ C, AD = CB, AB = CD . ? ??點E、F分別是AB、CD的中點， ? - AE= 1 AB , CF= 1CD . 2 2 AE = CF ADE^A CBF . (2)當四邊形BEDF是菱形時， 四邊形AGBD是矩形. ? ??四邊形ABCD是平行四邊形， AD // BC . ? AG // BD , .四邊形AGBD是平行四邊形. ?四邊形BEDF是菱形，

4、 . DE=BE . AE = BE , . AE = BE = DE . 1=7 2, / 3=/ 4. .? / 1+Z 2+Z 3+Z 4=180 , ? .2/2+2/3=180 . . 2+Z 3= 90 . 即/ ADB =90 . ???四邊形AGBD是矩形 3、如圖13—1, 一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD 一起.現(xiàn)正方形 ABCD保持不動，將三角尺 GEF繞斜邊EF的中點O 按順時針方向旋轉(zhuǎn). (1)如圖13—2,當EF與AB相交于點 M, GF與BD相交于點 的兩條邊分別重合在 (點O也是BD中點) N時，通過觀察或測 量BM

5、, FN的長度，猜想BM, FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； (2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13—3所示的位置時，線段 FE的延長線與AB的延長 線相交于點M,線段BD的延長線與GF的延長線相交于點 N,此時，(1)中的猜 想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由. 圖 13— 1 圖 13 — 2 圖 13-3 ［解析］⑴BM=FN. 證明: .「△ GEF是等腰直角三角形，四邊形 ABCD是正方形, (2) (3) /ABD =/F =45 又?. / BOM=Z FON ,OB = OF. AOBM^A OFN . BM=FN. BM =

6、 FN仍然成立. 證明：.「△ GEF是等腰直角三角形，四邊形 ABCD是正方形, ? ./DBA=/GFE=45 , OB = OF. ? ./ MBO = Z NFO=135 . 又?. / MOB = /NOF, AOBM^A OFN . BM = FN. 4、如圖，已知。O的直徑AB垂直于弦 CD于E,連結(jié) AD、BD、OC、OD,且OD=5。 (1)若 sin / BAD 3 ,求 CD 的長； 5 (2)若/ADO : / EDO =4: 1,求扇形OAC

7、(陰影部分)的面積(結(jié)果保留 )。 ［解析］(1)因為AB是。O的直徑，OD = 5 所以/ ADB = 90 , AB = 10 BD 在 RtAABD 中，sin/BAD —— AB 又sin/BAD 3 ,所以 股 3 ,所以BD 6 5 10 5 AD .. AB2 BD 2 102 62 8 因為/ ADB = 90 , AB XCD 所以 DE - AB AD ? BD , CE DE 所以DE 10 8 6 所以DE 24 5 所以 CD 2DE 48 5 (2)因為AB是。。的直徑，ABXCD c c c c 所以 CB BD , AC AD

8、所以/ BAD = / CDB , / AOC = / AOD 因為 AO = DO ,所以/ BAD = / ADO 所以/ CDB =/ ADO 設(shè)/ ADO = 4x,則/ CDB = 4x 由/ ADO : / EDO = 4: 1,則/ EDO=x 因為/ ADO +Z EDO + Z EDB =90 所以 4x 4x x 90 所以x=10 所以/AOD =180 — (/ OAD + /ADO) = 100 所以/ AOC =Z AOD = 100 S扇形OAC 100 360 52 125 18 5、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓

9、。上一點，CHXAB于點H ,直線AC與過 B點的切線相交于點 D, E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F,直線CF交直線AB 于點G. (1)求證：點F是BD中點； (2)求證：CG是。。的切線； (3)若FB=FE=2 ,求。O的半徑. ［解析］⑴證明：I CH AB , DBX ,? .△AEHsAFB, △ACEs^adf EH BF AE CE —— ——,??? HE= EC, .1. BF = FD AF FD (2)方法一：連接 CB、OC, . AB是直徑，ACB =90 -F是BD中點， / BCF= / CBF=90 -/ CBA= /

10、 CAB= / ACO / OCF=90 ,.?. CG 是O O 的切線 6 方法二：可證明△ OCF^A OBF(參照方法一標準得分) ⑶解：由 FC=FB=FE 得：/ FCE=/FEC 可證得：FA=FG,且AB = BG 由切割線定理得：(2+FG) 2=BGXAG=2BG2 Q 在RHBGF中，由勾股定理得： BG2 = FG2 —BF2② 由O、Q 得：FG2-4FG-12=0 解之得：FGi = 6, FG2=—2(舍去) .?.AB =BG= 4再 ??.O O半徑為2垃 6、如圖，已知 O為原點，點A的坐標為(4, 3), OA的半徑為2.過A作

11、直線l平行于X軸，點P在直線l上運動. (1)當點P在O O上時，請你直接寫出它的坐標; (2)設(shè)點P的橫坐標為12,試判斷直線 OP與。A的位置關(guān)系芳說明理由 ［解析］ 解：⑴點P的坐標是（2,3）或（6,3） ⑵作AC OP, C為垂足. ?. / ACP=/OBP= 90,/1 = / 1 ACP^A OBP ,AC AP OB OP 在 Rt obp 中，op Job2 bp2 AC= 24 153 ^1.94 1.94<2 ???OP與。A相交. 1A53,又 AP=12-4=8, AC 8 3 .153

12、 7、如圖，延長。O的半徑OA到B,使OA=AB, DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線, 垂足為點C. 求證：/ACB=1/OAC. 3 ［解析］ 證明：連結(jié) OE、AE,并過點 A作AFXDE于點 : DE是圓的一條切線，E是切點， /. OEXDC, 又 ; BCXDE, /. OE // AF // BC. ? ./1 = /ACB, /2=/3. ;

13、 OA=OE , . /4=/3. /. /4=/2. 又???點A是OB的中點， ???點F是EC的中點. AE=AC. /. /1 = /2. /4=/2=/ 1. - 1 即/ACB=— /OAC. 3 ON上，梯子與地面的傾 8、如圖1 , 一架長 4米的梯子AB斜靠在與地面 OM垂直的墻壁 斜角a為60 . ⑴求AO與BO的長； ⑵若梯子頂端 A沿NO下滑，同時底端 B沿OM向右滑行. ①如圖2,設(shè)A點下滑到C點，B點向右滑行到 D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子 頂端A沿NO下滑多少米； ②如圖3,當A點下滑到A點，B點向右滑行到B點時，

14、梯子AB的中點P也隨之運 動到P點.若/ POP = 15，試求AA的長. ［解析］ OA ⑵設(shè) OC ⑴ Rt AOB 中，/O=90, Z a =60 , / OAB=30，又AB= 4米， - 1 OB AB 2 AB sin 60o AC 2x,BD 2.3 2x,OD 2米. 4 2>/3 米.--- 2 3x,在 Rt COD 中, 根據(jù)勾股定理：OC 3x, CD 4 （3分） 圖1 0 D 圖2 2 ,3 2x 2 ??? 13x2 12 8.3

15、 --- x 0 13x 8,3 12 x 13 16 3 24 AC=2x= 13 OD2 2 3x CD2 42 （5分） 12 8,3 （7分） 即梯子頂端A沿NO下滑了 16向 24米. 13 —（8 分） ⑶二點P和點P分別是Rt AOB的斜邊 AB與Rt AOB的斜邊AB的中點 ??? PA PO PAO ??? PAO PAO PAO ： PAO P A AOP, PAO PAO 30o 45o PO PAO AOP POP AOP - AOP 15o --（9 分） （10 分） （11 分） 圖3 ??? AO A B cos45o 4 -2 2.2 2 AA OA AO （273 272）米.--- （12 分） （13 分）