《四柱坐標系與球坐標系簡介 (2)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《四柱坐標系與球坐標系簡介 (2)（29頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、1.4 柱 坐 標 系 與 球 坐 標 系 簡 介 1.柱 坐 標 系(1)定 義 :如 圖 ,建 立 空 間 直 角 坐 標 系 Oxyz.設 P是 空 間 任 意 一 點 ,它在 Oxy平 面 上 的 射 影 為 Q,用 (,)( 0,0 2)表 示 點 Q在 平 面 Oxy上 的 極 坐 標 .這 時 點 P的 位 置 可 用 有 序 數 組 (,z)(z R)表 示 .這 樣 ,我 們 建 立 了 空 間 的 點 與 有 序 數 組 (,z)之 間 的 一 種 對 應 關 系 .把 建立 上 述 對 應 關 系 的 坐 標 系 叫 做 柱 坐 標 系 ,有 序 數 組 (,z)叫 做
2、點 P的柱 坐 標 ,記 作 P(,z),其 中 0,0 2,-z+. (2)空 間 點 P的 直 角 坐 標 (x,y,z)與 柱 坐 標 (,z)之 間 的 變 換 公 式 為 名師點撥柱坐標系是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的一部分建立起來的,柱坐標的表示形式為(,z).因此,在求空間一點P的柱坐標時,先確定點P在xOy平面上的射影Q的極坐標(,),它的柱坐標中的z與空間直角坐標中的z相同. 做一做1(1)若 點 P的 柱 坐 標 為 ,則 它 的 直 角 坐 標 為 ;(2)已 知 點 M的 直 角 坐 標 為 (0,1,5),則 它 的 柱 坐 標 為 . 2.球 坐 標 系(1)
3、定 義 :如 圖 ,建 立 空 間 直 角 坐 標 系 Oxyz.設 P是 空 間 任 意 一 點 ,連接 OP,記 |OP|=r,OP與 Oz軸 正 向 所 夾 的 角 為 .設 P在 Oxy平 面 上 的 射影 為 Q,Ox軸 按 逆 時 針 方 向 旋 轉 到 OQ時 所 轉 過 的 最 小 正 角 為 .這 樣點 P的 位 置 就 可 以 用 有 序 數 組 (r,)表 示 .這 樣 ,空 間 的 點 與 有 序 數組 (r,)之 間 建 立 了 一 種 對 應 關 系 ,把 建 立 上 述 對 應 關 系 的 坐 標 系叫 做 球 坐 標 系 (或 空 間 極 坐 標 系 ),有 序
4、 數 組 (r,)叫 做 點 P的 球 坐 標 ,記 作 P(r,),其 中 r 0,0 ,0 2.(2)空 間 點 P的 直 角 坐 標 (x,y,z)與 球 坐 標 (r,)之 間 的 變 換 關 系 為 名師點撥1.球坐標的排列順序: r(點P到原點的距離); (OP與z軸正方向所夾的角); (OP在平面Oxy內的射影與x軸正方向所成的角).2.求空間一點P的球坐標,先求|OP|=r,再求OP與Oz軸正方向所夾的角,設OP在平面Oxy上的射影為OQ,則Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最小正角為,則點P的球坐標確定為(r,).3.空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系的聯(lián)系與區(qū)別:柱坐標
5、系和球坐標系都是以空間直角坐標系為背景,柱坐標系中的一點在平面xOy內的坐標是極坐標,豎坐標和空間直角坐標系中的豎坐標相同;在球坐標系中,則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置.空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系都是空間坐標系,空間點的坐標都是三個數值組成的有序數組. 思 考 辨 析判 斷 下 列 說 法 是 否 正 確 ,正 確 的 在 后 面 的 括 號 內 畫 “”,錯 誤 的 畫“ ”.(1)要 刻 畫 空 間 點 的 位 置 ,無 論 用 哪 種 坐 標 都 需 要 三 個 數 值 . ( )(2)球 坐 標 系 與 柱 坐 標 系 中 的 點 的 坐 標 一 定
6、包 含 一 個 角 . ( )(3)利 用 三 角 函 數 可 以 實 現 柱 坐 標 、 球 坐 標 與 直 角 坐 標 的 互 化 . ( )(4)點 A(1,0,1)的 柱 坐 標 與 直 角 坐 標 是 相 同 的 . ( ) 探究一 探究二 思維辨析直 角 坐 標 與 柱 坐 標 的 互 化 【例1】 已 知 點 A的 直 角 坐 標 為 (1, ,5),求 它 的 柱 坐 標 . 探究一 探究二 思維辨析反思感悟已知點的直角坐標,確定它的柱坐標的關鍵是確定和,尤其是,要注意求出tan 后,還要根據點在xOy平面內的射影所在的象限確定的值(的取值范圍是0,2). 探究一 探究二 思維
7、辨析變式訓練1已 知 點 M的 直 角 坐 標 為 (1,1,3),求 它 的 柱 坐 標 . 探究一 探究二 思維辨析【例2】 根 據 下 列 點 的 柱 坐 標 ,分 別 求 直 角 坐 標 : 探究一 探究二 思維辨析反思感悟1.在點M的柱坐標(,z)中,要求 0, 0,2),z可以取一切實數.2.將點的柱坐標(,z)化為直角坐標(x,y,z)的公式為 運用特殊角的三角函數值計算即可. 探究一 探究二 思維辨析變式訓練2將 下 列 各 點 的 柱 坐 標 分 別 化 為 直 角 坐 標 : 探究一 探究二 思維辨析球 坐 標 與 直 角 坐 標 的 互 化 【例3】 根 據 下 列 點
8、的 球 坐 標 分 別 求 其 直 角 坐 標 : 探究一 探究二 思維辨析反思感悟化點的球坐標(r,)為直角坐標(x,y,z),需要運用公式 轉化為三角函數的求值與運算,但要注意分清哪個角是,哪個角是. 探究一 探究二 思維辨析變式訓練3已 知 點 P的 球 坐 標 為 ,求 它 的 直 角 坐 標 . 探究一 探究二 思維辨析分析：利用相關公式轉化求解. 探究一 探究二 思維辨析反思感悟由直角坐標化為球坐標時,我們可以先設點M的球坐標為(r,),再利用變換公式 求出r,代入點的球坐標即可.特別注意由直角坐標求球坐標時,和的取值應看清點所 在的位置,準確取值,才能準確無誤. 探究一 探究二
9、思維辨析變式訓練4若 點 的 直 角 坐 標 為 (1, ,2),則 其 球 坐 標 為 . 探究一 探究二 思維辨析對點的坐標中有關角的意義與范圍理解不清致誤典例設 點 M的 直 角 坐 標 為 (-1,-1, ),求 它 的 球 坐 標 和 柱 坐 標 . 探究一 探究二 思維辨析時,要結合點的位置確定角的范圍再求值,若不是特殊角,可以設定 角,然后明確其余弦值或正切值,并標注角的范圍即可. 探究一 探究二 思維辨析變式訓練 已 知 點 M的 柱 坐 標 為 ,求 點 M關 于 原 點 O對 稱的 點 的 柱 坐 標 .即點M的直角坐標為(1,1,1).所以點M關于原點O的對稱點的直角坐標
10、為(-1,-1,-1). 1 2 3 4 51.要 刻 畫 繞 地 球 運 轉 的 某 氣 象 衛(wèi) 星 的 位 置 ,應 適 合 運 用 ( )A.極 坐 標 系 B.空 間 直 角 坐 標 系C.柱 坐 標 系 D.球 坐 標 系答案：D 1 2 3 4 52.已 知 點 A的 柱 坐 標 為 (5,0,1),則 點 A的 直 角 坐 標 為 ( )A.(5,1,0)B.(5,0,1)C.(0,5,1)D.(5,1,1)解析：設點A的直角坐標為(x,y,z),則由點A的柱坐標為(5,0,1),知=5,=0,z=1,故x=cos =5,y=sin =0,z=1,所以直角坐標為(5,0,1).答案：B 1 2 3 4 53.在 柱 坐 標 系 中 ,方 程 =1表 示 .答案：以 z軸 為 中 心 軸 ,底 面 半 徑 為 1的 圓 柱 側 面 1 2 3 4 54.已 知 點 M的 球 坐 標 為 ,則 它 的 直 角 坐 標 為 . 1 2 3 4 5
四柱坐標系與球坐標系簡介 (2)
