2019-2020年高二數學 第二章 第1節(jié) 曲線與方程知識精講 理 人教實驗B版選修2－1.doc
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2019-2020年高二數學 第二章 第1節(jié) 曲線與方程知識精講 理 人教實驗B版選修2－1 【本講教育信息】 一、教學內容： 選修2－1 曲線與方程 二、教學目標： 了解解析幾何的基本思想，了解坐標法研究幾何問題的方法；掌握用幾種重要的方法求曲線的方程的方法和步驟。 三、知識要點分析： 1、求曲線方程的步驟： （1）建立適當的坐標系，用有序實數對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標； （2）寫出適合條件p的點M的集合P={M︱p（M）}； （3）用坐標表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0； （4）化方程f（x，y）=0為最簡形式； （5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上。 2、求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、待定系數法、參數法、交軌法。 （1）直接法：將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程，即直接通過建立x、y之間的關系，構成f（x，y）＝0，此法是求軌跡的最基本的方法。 （2）定義法：運用解析幾何中一些常用定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系，從而求出軌跡方程。 注：①用定義法求曲線方程，靈活運用題設重要條件，確定動點滿足的等量關系，結合圓錐曲線定義確定方程的類型。 ②步驟：列出等量關系式；由等式的幾何意義，結合圓錐曲線的定義確定軌跡的形狀；寫出方程。 ③利用“定義法”求軌跡方程的關鍵：找出動點滿足的等量關系。 （3）代入法（相關點法或轉移法）：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成的軌跡的動點P（x，y）卻隨著另一動點Q（x1，y1）的運動而有規(guī)律地運動，且動點Q的軌跡為已給定或容易求得，則可先將x1、y1表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程。 （4）待定系數法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數，代回所列的方程即可； （5）參數法：當動點P（x，y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程 （6）交軌法：求兩動曲線交點的軌跡時，可由方程直接消去參數，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入參數來建立這些曲線的聯系，然后消去參數得到軌跡方程。 要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形、在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需說明及討論清楚。 【典型例題】 例1. 已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數λ，求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 解：建立坐標系如圖所示， 設|AB|=2a，則A（－a，0），B（a，0）. 設M（x，y）是軌跡上任意一點. 則由題設，得=λ，代入坐標， 得=λ，化簡得 （1－λ2）x2+（1－λ2）y2+2a（1+λ2）x+（1－λ2）a2=0 （1）當λ=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線（y軸）. （2）當λ≠1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0，點M的軌跡是以（－，0）為圓心，為半徑的圓. 感悟：本題所用的方法是直接法，在所求得的曲線方程中含參數，應通過對參數的討論來說明軌跡的類型，即是什么曲線，它的位置，形狀，大小如何，此題易忽視討論λ=1的情況。 建立適當的坐標系，用直接法求得軌跡方程，再由λ值的變化討論方程所表示的曲線。 例2. 如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程。 命題意圖：本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程： 錯解分析：欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發(fā)現不了問題的實質，很難解決此題. 技巧與方法：對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程. 解：設AB的中點為R，坐標為（x，y），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2） 又|AR|=|PR|= 所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2），即x2+y2－4x－10=0 因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時， Q點即在所求的軌跡上運動. 設Q（x，y），R（x1，y1），因為R是PQ的中點， 所以x1=， 代入方程x2+y2－4x－10=0，得 －10=0 整理得：x2+y2=56，這就是所求的頂點Q的軌跡方程. 例3. 已知圓x2+y2=16，A（2，0），若P，Q是圓上的動點，且，求PQ中點的軌跡方程。 解：設PQ中點M的坐標為（x，y），由已知圓的參數方程， 可設， ， …………（1） 又，， ，化簡得 代入（1）式，得 ， 所以所求PQ中點的軌跡方程為。 例4. 圓過點P（2，－1）且和直線相切，圓心在直線y=－2x上，求此圓的方程。 解：設圓的方程為， 由已知， 解得a=1，b=－2，r=或a=9，b=－18，r=13. 所以此圓的方程為。 注意：求圓的方程，可先設所求圓的標準方程或一般方程，再由題設條件建立方程組，解方程組，確定方程中的待定系數。 例5. 設點A和B為拋物線 y2=4px（p＞0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。 命題意圖：本題主要考查用“參數法”求曲線的軌跡方程。 知識依托：直線與拋物線的位置關系。 錯解分析：當設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）時，注意對“x1=x2”的討論。 技巧與方法：將動點的坐標x、y用其他相關的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關于x、y的關系。 解法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）（x≠0） 直線AB的方程為x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa， x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p，用m=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0） 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點。 解法二：設OA的方程為，代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 ∴AB的方程為，過定點， 由OM⊥AB，得M在以ON為直徑的圓上（O點除外） 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點。 解法三：設M（x，y） （x≠0），OA的方程為， 代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得 M既在以OA為直徑的圓 ……①上， 又在以OB為直徑的圓 ……②上（O點除外）， ①+②得 x2+y2－4px=0（x≠0） 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點。 本講涉及的數學思想、方法 1、曲線方程的意義；方程恰為曲線C的方程即曲線C恰為方程的曲線的充要條件；已知曲線求方程：求動點的軌跡方程；已知曲線方程求曲線：要做到不多不少剛剛好；曲線與曲線的交點坐標。 2、注意動點應滿足的某些隱含條件，注意方程化簡時的等價性，主要是在去分母和兩邊平方時的變形，還要注意圖形可以有不同的位置或字母系數取不同值時的討論。 預習導學案 （期中考試復習） （一）預習前知 1、什么是算法？ 2、畫程序框圖的規(guī)則是什么？ （二）預習導學 探究反思 探究反思的任務：算法，程序框圖，概率，常用邏輯用語 1、算法的特征： ①____________ ②______________ ③_______________ 2、當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式： P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥） 3、對立事件的概率計算公式：_______________ 4、古典概型 （1）古典概型的兩大特點： 1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個； 2）每個基本事件出現的可能性相等； （2）古典概型的概率計算公式：_______________________ 5、幾何概型的概率公式： P（A）=_______________________________ 6、原命題： 逆命題： 否命題： 逆否命題 ： 7、一般地，如果已知 ，那么我們就說 是 成立的 ；q是p成立的 ； 如果既有，又有qp，那么我們就說 是 成立的 。 8、反證法：是從要證明的結論的反面出發(fā)，推出一個矛盾的結果，從而得到原結論成立的證明方法。有些問題直接證明時條件很少或無法從正面得到結論，但用反證法較易。 用反證法證題的步驟是： （1） （2） （3） 【模擬試題】（答題時間：90分鐘） 一、選擇題 1. 如果命題“坐標滿足方程 的點都在曲線 上”不正確，那么以下正確的命題是（ ） A. 曲線 上的點的坐標都滿足方程 . B. 坐標滿足方程 的點有些在 上，有些不在 上. C. 坐標滿足方程 的點都不在曲線 上. D. 一定有不在曲線 上的點，其坐標滿足方程 . 2. 和y軸相切并且和曲線x2+y2=4 （0≤x≤2）相內切的動圓圓心的軌跡方程為（ ）。 A. y2=－4（x－1）（x>0） B. y2=2（x+1）（0
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