2019-2020年高三上學期9月月考試題 數(shù)學試題（理） 含答案.doc

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2019-2020年高三上學期9月月考試題 數(shù)學試題（理） 含答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,4}，集合B＝{2,4,5}，則下圖中的陰影部分表示(　　) A．{2,4} B．{1,3} C．{5} D．{2,3,4,5} [答案]　C [解析]　陰影部分在集合B中，不在集合A中，故陰影部分為B∩(?UA)＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故選C． 2．函數(shù)y＝的定義域為(　　) A．(1,2)∪(2，＋∞)　　　　　　　 B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(1,2)∪[3，＋∞) 答案　A 解析　由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函數(shù)y＝的定義域是(1,2)∪(2，＋∞)． 3．已知命題:若，則；命題:若，則；在下列命題中： ，真命題是 A．（1）（3） B. （1）（4） C. （2）（3） D. （2）（4） [答案]C 4．若，則 A. B. C. D. D 5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內是增函數(shù)的是（ ） A． B. C. D. B 6．下列說法錯誤的是(　　) A．若p：?x∈R，x2－x＋1＝0，則p：?x∈R，x2－x＋1≠0 B．“sinθ＝”是“θ＝30或150”的充分不必要條件 C．命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0” D．已知p：?x∈R，cosx＝1，q：?x∈R，x2－x＋1>0，則“p∧(q)”為假命題 [答案]　B [解析]　特稱命題的否定為全稱命題，“＝”的否定為“≠”，∴A正確；sinθ＝時，θ不一定為30，例如θ＝150，但θ＝30時，sinθ＝，∴B應是必要不充分條件，故B錯；C顯然正確；當x＝0時，cosx＝1，∴p真；對任意x∈R，x2－x＋1＝(x－)2＋>0，∴q真，∴p∧(q)為假，故D正確． 7．將函數(shù)y＝cosx＋sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個長度單位后，所得到的圖象關于原點對稱，則m的最小值是(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　D [解析]　y＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，向左平移m個單位得到y(tǒng)＝2sin(x＋m＋)，此函數(shù)為奇函數(shù)，∴m＋＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值為. 8．函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21－x在同一直角坐標系下的圖像大致是(　　) 答案　C 解析　f(x)＝1＋log2x的圖像可由f(x)＝log2x的圖像上移1個單位得到，且過點(，0)，(1,1)，由指數(shù)函數(shù)性質可知g(x)＝21－x為減函數(shù)，且過點(0,2)，故選C. 9．已知函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間 上方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是 A． B. C . D . [答案]B 10．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其導函數(shù)f ′(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝2sin(x＋) B．f(x)＝4sin(x＋) C．f(x)＝2sin(x＋) D．f(x)＝4sin(x＋) [答案]　B [解析]　f ′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，由f ′(x)的圖象知，＝－(－)＝2π，∴T＝4π， ∴ω＝，∴Aω＝2，∴A＝4， ∴f ′(x)＝2cos(x＋φ)，由f ′(x)的圖象過點(，－2)得cos(＋φ)＝－1，∵0<φ<π，∴φ＝， ∴f ′(x)＝2cos(x＋)，∴f(x)＝4sin(x＋)． 11．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．當0≤x≤1時，f(x)＝x2.若直線y＝x＋a與函數(shù)y＝f(x)的圖像在[0,2]內恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值是(　　) A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－ 答案　D 解析　∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2. 又0≤x≤1時，f(x)＝x2，可畫出函數(shù)y＝f(x)在一個周期內的圖像如圖． 顯然a＝0時，y＝x與y＝x2在[0,2]內恰有兩不同的公共點． 另當直線y＝x＋a與y＝x2(0≤x≤1)相切時也恰有兩個公共點，由題意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝. ∴A(，)，又A點在y＝x＋a上，∴a＝－，∴選D. 12. 已知函數(shù)f(x)＝ax sinx－(a∈R)，若對x∈[0，]，f(x)的最大值為，則函數(shù)f(x)在(0，π)內的零點個數(shù)為（ C ） A．0 B．1 C．2 D．3 解析　因為f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，當a≤0時，f(x)在x∈[0，]上單調遞減，最大值f(0)＝－，不適合題意，所以a>0，此時f(x)在x∈[0，]上單調遞增，最大值f()＝a－＝，解得a＝1，符合題意，故a＝1.f(x)＝xsinx－在x∈(0，π)上的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝sinx，y＝的圖像在x∈(0，π)上的交點個數(shù)．又x＝時，sin＝1>>0，所以兩圖像在x∈(0，π)內有2個交點，即f(x)＝xsinx－在x∈(0，π)上的零點個數(shù)是2. 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13．已知f(x)＝x(1＋|x|)，則f′(1)f′(－1)＝________. 答案　9 解析　當x≥0時，f(x)＝x2＋x，f′(x)＝2x＋1， 則f′(1)＝3. 當x<0時，f(x)＝x－x2，f′(x)＝1－2x，則f′(－1)＝3，故f′(1)f′(－1)＝9. 14．若cosx cosy＋sinx siny＝，sin2x＋sin2y＝，則sin(x＋y)＝________. [答案]　 [解析]　∵2x＝(x＋y)＋(x－y)，2y＝(x＋y)－(x－y)，sin2x＋sin2y＝，∴sin(x＋y)cos(x－y)＝，又由cosxcosy＋sinxsiny＝得cos(x－y)＝， ∴sin(x＋y)＝. 15．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與直線y＝0在原點處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為________． [答案]　－3 16．已知函數(shù)f(x)＝esinx＋cosx－sin2x(x∈R)，則函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差是________． [答案]　e－e－ [解析]　令sinx＋cosx＝t，則sin2x＝t2－1，易知－≤t≤，∴函數(shù)f(x)化為y＝et－t2＋.(－≤t≤)，y′＝et－t，令u(t)＝et－t，則u′(t)＝et－1.當00，當－≤t<0時，u′(t)<0，∴u(t)在[－，0]上單調遞減，在[0，]上單調遞增，∴u(t)的最小值為u(0)＝1，于是u(t)≥1，∴y′>0，∴函數(shù)y＝et－t2＋在[－，]上為增函數(shù)，∴其最大值為e－，最小值為e－－，其差為e－e－. 三、解答題： 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17．(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝2sin(π+x) cos(－3π－x)－2sin(－x)cos(π－x)． (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)若f(－)＝，α是第二象限角，求cos(2α＋)的值． 答案　(1)[kπ－，kπ＋](k∈Z)　(2) 解析　(1)f(x)＝sin2x－2cosx(－cosx)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)∵f(－)＝2sinα＋1＝，∴sinα＝. ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－. ∴sin2α＝－，cos2α＝.∴cos(2α＋)＝cos2αcos－sin2αsin＝－(－)＝. 17. 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個單位，再縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍，然后再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝sinx的圖象． (1)求y＝f(x)的最小正周期 (2)若函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，求當x∈[0,1]時，函數(shù)y＝g(x)的最小值和最大值． [解析]　(1)函數(shù)y＝sinx的圖象向下平移1個單位得y＝sinx－1，再將各點的橫坐標縮短到原來的倍得到y(tǒng)＝sinx－1，然后向右移1個單位得y＝sin(x－)－1. 所以函數(shù)y＝f(x)的最小正周期為T＝＝6. (2)因為函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱， ∴當x∈[0,1]時，y＝g(x)的最值即為當x∈[3,4]時，y＝f(x)的最值． ∵x∈[3,4]時，x－∈[，π]， ∴sin(x－)∈[0，]， ∴f(x)∈[－1，]， ∴y＝g(x)的最小值是－1，最大值為. 19. (本小題滿分12分) 已知其中 （1）求的單調區(qū)間; （2）設，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求的取值范圍. 解：（12分）（1） 令 當時，單調遞增，在上單調遞減 當時，單調遞增，在上單調遞減 ．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由知在上遞減，在遞增 設 所以上單調遞減， 所以 20．對于函數(shù)，如果它們的圖象有公共點P，且在點P處的切線相同，則稱函數(shù)和在點P處相切，稱點P為這兩個函數(shù)的切點. 設函數(shù),. （Ⅰ）當,時, 判斷函數(shù)和是否相切？并說明理由； （Ⅱ）已知，，且函數(shù)和相切，求切點P的坐標； 解：（Ⅰ）結論：當,時,函數(shù)和不相切. 理由如下： 由條件知，由，得， 又因為 ，， 所以當時，，，所以對于任意的，. 當,時,函數(shù)和不相切. （Ⅱ）若，則，， 設切點坐標為 ，其中, 由題意，得 ， ①　　　　， ② 由②，得 ，代入①，得 . （*） 因為 ，且，　所以 . 設函數(shù) ，，　則 . 令 ，解得或(舍). 當變化時，與的變化情況如下表所示， 1 0 ↗ ↘ 所以當時，取到最大值，且當時. 因此，當且僅當時. 所以方程（*）有且僅有一解. 于是 ，　因此切點P的坐標為. 21．（本小題滿分12分）設函數(shù)． (1)若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的最小值； (2)若存在，使成立，求正實數(shù)的取值范圍． 解：(1)由已知得． 因在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 所以當時，． 又， 2分 當，即時，． 所以于是，故a的最小值為． 4分 (2)命題“若存在 ，使成立”等價于“當時，有 ． 由(1)，當時，，∴． 問題等價于：“當時，有”． 6分 ①當時，由（1），在上為減函數(shù)， 則，故． 8分 ②當<時，由于在上的值域為 （?。?，在恒成立，故在上為增函數(shù)， 于是，，矛盾． 10分 （ⅱ），即，由的單調性和值域知， 存在唯一，使，且滿足： 當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)； 所以，， 所以，，與矛盾． 綜上，得 請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做第一題記分.在答題卡選答區(qū)域指定位置答題，并寫上所做題的題號.注意所做題目的題號必須和所寫的題號一致. 22.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 如圖，已知與圓相切于點，半徑，交于點. (1)求證：； (2)若圓的半徑為，，求線段的長度． 解：(1)證明：連接，，.與圓相切于點，. .， . . 又，..…………………5分 (2)假設與圓相交于點，延長交圓于點. 與圓相切于點，是圓的割線， ． ，，. . 由(1)知. .在中，. . .…………………10分 23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為.在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為． (1)求圓的直角坐標方程； (2)設圓與直線交于點，若點的坐標為，求． 解：(1)由得，即.…………4分 (2)將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，得. 即，…………6分 由于，可設是上述方程的兩個實根. 所以，又直線過點， 可得：.…………10分 24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù)，，且的解集為． (1)求的值； (2)若，且，求 的最小值. 解：(1)因為， 等價于， 由有解，得，且其解集為． 又的解集為，故. 5分 (2)由(1)知，又，由柯西不等式得 . ∴ 的最小值為9 . 10分