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1、1.3 中 國 古 代 數(shù) 學 中 的 算 法 案 例 1 理 解 算 法 案 例 的 算 法 步 驟 和 程 序 框 圖 .2 引 導 學 生 得 出 自 己 設 計 的 算 法 程 序 . v新 課 講 授 部 分 ， 講 解 兩 種 算 法 的 應 用 與 優(yōu) 點 ；例 題 部 分 ， 通 過 典 例 講 解 讓 學 生 熟 悉 兩 種 中 國古 代 算 法 。 復 習 鞏 固 部 分 通 過 練 習 對 知 識 鞏 固 ，讓 學 生 更 系 統(tǒng) 掌 握 本 節(jié) 課 的 所 學 知 識 。 算 法 案 例 一更 相 減 損 之 術 （ 等 值 算 法 ） 思 考 1 小 學 學 過 的
2、求 兩 個 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) 的 方 法 是 怎 樣 呢 ？ 先 用 兩 個 公 有 的 質 因 數(shù) 連 續(xù) 去 除 ， 一 直 除 到 所 得的 商 是 互 質 數(shù) 為 止 ， 然 后 把 所 有 的 除 數(shù) 連 乘 起 來 .解 答 ： 例 1： 求 下 面 兩 個 正 整 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) ：（ 1） 求 25和 35的 最 大 公 約 數(shù) ;（ 2） 求 49和 63的 最 大 公 約 數(shù) .25（ 1） 5 5 357 49（ 2） 7 7 639所 以 ， 25和 35的 最 大 公 約 數(shù) 為 5； 所 以 ， 49和 63的 最 大 公 約 數(shù) 為 7.解
3、答 ： 思 考 2 如 何 算 出 98與 63的 最 大 公 約 數(shù) ？ 除 了 用 這 種 方 法外 還 有 沒 有 其 他 方 法 ？ (輾 轉 相 除 法 ）解 答 ： 由 于 63不 是 偶 數(shù) ， 把 98和 63以 大 數(shù) 減 小 數(shù) ， 并 輾 轉 相 減 98 63 3563 35 2835 28 728 7 2121 7 1414 7 7所 以 ， 98和 63的 最 大 公 約 數(shù) 等 于 7. 思 考 3 什 么 是 更 相 減 損 之 術 ？ 有 什 么 具 體 作 用 呢 ？解 答 ： 所 謂 更 相 減 損 之 術 ， 就 是 對 給 定 的 兩 個 數(shù) ， 用
4、較 大 的 數(shù)減 去 較 小 的 數(shù) ， 然 后 將 差 和 較 小 的 數(shù) 構 成 新 的 一 對 數(shù) ， 再 用 較大 的 數(shù) 減 去 較 小 的 數(shù) ， 反 復 執(zhí) 行 此 步 驟 直 到 差 數(shù) 和 較 小 的 數(shù) 相等 ， 此 時 相 等 的 兩 數(shù) 便 為 原 來 兩 個 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) 。 更 相 減 損 之 術 ， 是 我 國 古 代 數(shù) 學 算 法 的 叫 法 ， 現(xiàn) 代 數(shù) 學 中稱 作 等 值 算 法 ， 主 要 的 作 用 是 求 兩 個 正 整 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) 。 思 考 4 你 能 根 據(jù) 更 相 減 損 之 術 設 計 程 序 ， 求 兩
5、個 正整 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) 嗎 ？程 序 a=input（ “ please give the first number”);b=input(“please give the second number”);While ab ifab a=a-b; else b=b-a; endend print(%io(2), a, b) 算 法 案 例 二秦 九 韶 算 法 思 考 1 想 想 怎 樣 求 多 項 式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當 x=5時的 值 呢 ？算 法 1： 計 算 多 項 式 ( )=x +x +x +x +x+1當 x=5的 值 的 算 法 ：因 為 (
6、 )=x +x +x +x +x+1所 以 (5)=5 +5 +5 +5 +5+=3125 625 125 25 5 =3906解 答 ： 算 法 2： (5)=55 54 53 52 5 =5 (54 53 52 5 ) =5 (5 (5 52 5 ) ) =5 (5 (5 (52+5+ )+ )+ )+=5 (5 (5 (5 (5+ )+ )+ )+ )+ 思 考 2 兩 種 算 法 各 用 了 幾 次 乘 法 運 算 和 幾 次 加 法 運 算 ？算 法 一 共 做 了 1+2+3+4=10次 乘 法 運 算 ， 5次 加 法 運 算 。算 法 二 共 做 了 4次 乘 法 運 算 ，
7、5次 加 法 運 算 。解 答 ：通 過 對 比 ， 很 明 顯 ， 算 法 二 比 算 法 一 優(yōu) 越 ， 這 種 算 法 就 是 秦 九韶 算 法 。 設 ( )f x 是 一 個 n 次 多 項 式11 1 0( ) n nn nf x a x a x a x a 對 該 多 項 式 按 下 面 的 方 式 進 行 改 寫 ：11 1 0( ) n nn nf x a x a x a x a 1 21 1 0( )n nn na x a x a x a 2 31 2 1 0( ) )n nn na x a x a x a x a 1 2 1 0( ( ) ) )n n na x a x
8、a x a x a 思 考 3 秦 九 韶 算 法 的 概 念 和 特 點 是 怎 樣 的 呢 ？解 答 ： 這 種 將 求 一 個 n次 多 項 式 f(x)的 值 轉 化 成 求 n個 一 次 多 項 式 的 值的 方 法 ， 稱 為 秦 九 韶 算 法 。秦 九 韶 算 法 的 特 點 ：通 過 一 次 式 的 反 復 計 算 ， 逐 步 得 出 高 次 多 項 式 的 值 ， 對 于 一 個n次 多 項 式 ， 只 需 做 n次 乘 法 和 n次 加 法 即 可 。 另 外 這 種 算 法 還避 免 了 對 自 變 量 x單 獨 做 冪 的 計 算 ， 而 是 與 系 數(shù) 一 起 逐
9、次 增 長冪 次 ， 從 而 可 提 高 計 算 的 精 度 。 例 2： 已 知 一 個 五 次 多 項 式 為2 3 4 5( ) 1+x+0.5x 0.16667 0.04167 0.00833f x x x x 用 秦 九 韶 算 法 求 這 個 多 項 式 當 x=-0.2的 值 。 將 多 項 式 變 形 ：( ) (0.00833 0.04167) 0.16667) 0.5) 1) 1f x x x x x x 1 0 4 0.04v v x a 0 5 0.00833v a 2 1 3 0.15867v v x a 3 2 2 0.46827v v x a 4 3 1 0.90
10、635v v x a 5 4 0 0.81873v v x a 解 答 ： 所 以 ， 當 x=-0.2時 ， 多 項 式 的 值 等 于 0.81873 1、 在 對 16和 12求 最 大 公 約 數(shù) 時 ， 整 個 操 作 如 下 ：（ 16， 12） （ 4， 12） （ 4， 8） （ 4， 4） ， 由 此可 以 看 出 12和 16的 最 大 公 約 數(shù) 是 （ ）A.4 B.12 C.16 D.8A 2、 已 知 一 個 5次 多 項 式 為 用 秦 九 韶 算 法 求 f(5)的 值 .5 4 3 2( ) 5 2 3.5 2.6 1.7 0.8fx x x x x x= +
11、 + - + -解 ： f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8v1=5 5+2=27；v2=27 5+3.5=138.5；v3=138.5 5-2.6=689.9；v4=689.9 5+1.7=3451.2；v5=3451.2 5-0.8=17255.2.所 以 f(5)=17255.2. 1、 近 三 年 各 地 的 高 考 中 ， 對 算 法 案 例 都 不 作 考 查 . 高 考 雖 然 沒有 考 查 ， 但 在 平 時 的 考 試 中 通 常 以 選 擇 或 填 空 的 形 式 出 現(xiàn) ， 且難 度 適 中 ；2、 我 們 學 習 算 法 案 例 ， 主 要 是 為 了 進 一 步 理 解 算 法 的 思 想 ， 能夠 用 程 序 來 解 決 生 活 中 常 見 的 數(shù) 學 問 題 .所 以 應 該 認 真 學 習 .
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