2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.4 2導(dǎo)數(shù)及均值不等式在生活中的優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用教案 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.4 2導(dǎo)數(shù)及均值不等式在生活中的優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用教案 新人教A版選修2-2 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)是解決最值問(wèn)題有力的工具之一，我們常用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)確定最優(yōu)解。但是除此之外，均值不等式在解決此類問(wèn)題時(shí)也有其自身的特點(diǎn)，下面我將通過(guò)一些具體的例子來(lái)作簡(jiǎn)單的說(shuō)明。 【例1】學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1-1所示的豎向的海報(bào)，要求版心面積為128，上、下兩邊各空2，左右兩邊各空1，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白的面積最??？ 解：設(shè)版心的高為，則版心的寬為，此時(shí)四周空白的面積為 圖1-1 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：； 令，解得：， 于是寬為。 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 因此，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，所以，當(dāng)版心高為16，寬為8時(shí)，能使四周空白面積最小。 解法二：（均值不等式法）∵ ∴ （利用均值不等式：若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)寬為， 所以，當(dāng)版心高為16，寬為8時(shí)，能使四周空白面積最小。 【例2】以長(zhǎng)為10的線段為直徑作半圓，求它的內(nèi)接矩形面積的最大值。 解：如圖2-1所示，設(shè)，∴ ∴面積 （） A B 圖2-1 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得： ， 令，解得：（舍去） 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，； ∴在時(shí)，取得極大值，也是最大值； 因此當(dāng)時(shí)，它的內(nèi)接矩形面積最大，最大值為25。 解法二：（均值不等式法） ，（） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。 （利用均值不等式：若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 【例3】統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千 米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：（），已知甲乙兩地相距100千米，當(dāng)汽車以多大速度行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 解：當(dāng)速度為千米/小時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升。 ∴，（） 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得： ， 令，解得：， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，； ∴在時(shí)，取得極小值，也是最小值。 解法二：（均值不等式法） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。 （利用均值不等式：若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 【例4】用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ 解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為m，則長(zhǎng)為m，高為（m）， 故長(zhǎng)方體的體積為：（） 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得： 令：，解得：（）， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，； 故時(shí)，取得極大值，并且這個(gè)極大值就是最大值， 從而（）。 所以長(zhǎng)為2m，寬為1m，高為1.5m時(shí)，體積最大，最大值為3 解法二：（均值不等式法） ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)（）。 所以長(zhǎng)為2m，寬為1m，高為1.5m時(shí)，體積最大，最大值為3 通過(guò)上述的幾例可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解最值具有普遍性，對(duì)很多最值問(wèn)題都可以求解，但有些題目用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解題過(guò)程較為繁瑣，極值點(diǎn)求出后，極值情況有的還要與區(qū)間斷點(diǎn)值比較；而使用均值不等式進(jìn)行求解時(shí)，過(guò)程較為簡(jiǎn)練，但均值不等式只能解決最值問(wèn)題中的一類問(wèn)題，有其自身的局限性，并且有的還要注意有陷阱的問(wèn)題。例如：求函數(shù)的最小值時(shí)，要是直接使用均值不等式就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。 ， 取等號(hào)時(shí)，，此時(shí)。 用均值不等式解題時(shí)，要注意找到能消去自變量的最佳組合，這一點(diǎn)就不好做到，所以新教材改革中淡化了對(duì)均值不等式的應(yīng)用，而導(dǎo)數(shù)彌補(bǔ)了均值不等式的不足，其方法思路清晰，條理明確。在解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，兩種方法各有千秋，如果我們能對(duì)兩種方法都有所理解，針對(duì)具體問(wèn)題具體分析，有選擇地運(yùn)用，就能使思路開(kāi)闊，方法簡(jiǎn)捷，有利于學(xué)生解決問(wèn)題能力的提高。 電子郵箱：huangyu8023@126