2019-2020年高一數(shù)學(xué)兩角和與差的正弦、余弦、正切第一課時(shí).doc

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2019-2020年高一數(shù)學(xué)兩角和與差的正弦、余弦、正切第一課時(shí) 一、教材分析 1． 教材的地位和作用：本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是人教版《高中數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（下）第四章4.6節(jié)。這是第一課時(shí)（兩角和與差的余弦）。本節(jié)內(nèi)容是上節(jié)誘導(dǎo)公式的推廣，它全面的、一般地涵蓋了上節(jié)內(nèi)容和題型。同時(shí)，它又是本節(jié)及其后面各節(jié)公式的“源頭”。因此，兩角和與差的余弦公式起著承上啟下的核心作用。 2． 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)與運(yùn)用。培養(yǎng)學(xué)生掌握獲取知識(shí)，運(yùn)用知識(shí)的一系列的數(shù)學(xué)方法。 3． 教學(xué)難點(diǎn)：余弦和角公式的推導(dǎo)以及運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明，學(xué)會(huì)恰當(dāng)賦值、逆用公式等技能。 二、目標(biāo)分析 通過(guò)代數(shù)的方法對(duì)三角函數(shù)的討論，使代數(shù)和幾何初步聯(lián)系起來(lái)，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決某些實(shí)際問(wèn)題的能力，教學(xué)原則明確強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)思想教育內(nèi)容滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生在獲得知識(shí)和能力的同時(shí)，在思想教育方面，也應(yīng)受到良好的熏陶，依據(jù)教學(xué)原則和教學(xué)目的，以及學(xué)生的能力水平層次，制定了本課將要完成的教育目標(biāo)。 （一）知識(shí)目標(biāo)： 1、掌握利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行C(α+β)公式的推導(dǎo)； 2、能用賦值法推導(dǎo)C(α-β)公式； 3、初步學(xué)會(huì)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用和逆用公式等基本技能。 （二）能力目標(biāo)： 1、通過(guò)公式的推導(dǎo)，提高學(xué)生恒等變形能力和邏輯推理能力； 2、通過(guò)公式的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的方程思想和變換能力。 （三）德育目標(biāo)： 1、公式的推導(dǎo)過(guò)程，體現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系； 2、培養(yǎng)學(xué)生利用聯(lián)系、變化的辨證唯物主義觀點(diǎn)去分析問(wèn)題； 3、通過(guò)教師啟發(fā)引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神和解決問(wèn)題的優(yōu)化意識(shí)。 （四）美育目標(biāo)： 通過(guò)鑒賞C(αβ)公式，發(fā)現(xiàn)兩角和差的三角函數(shù)與單角α、β之間的和諧、輪換結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的勻稱美感。并引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)C(αβ)公式的強(qiáng)大功能。 三、 教法分析 啟發(fā)引導(dǎo)式 1、引導(dǎo)學(xué)生建立一直角坐標(biāo)系xOy，同時(shí)在這一坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，并作出角，使角的始邊為Ox，交于點(diǎn)，終邊交于點(diǎn)；角的始邊為O，終邊交于，角的始邊為O，終邊交于點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生用的三角函數(shù)標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)。并充分利用單位圓、平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式，使學(xué)生弄懂由距離等式化得的三角恒等式，并整理成為余弦的和角公式，從而克服本課的難點(diǎn)。 2、強(qiáng)調(diào)兩角和的三角函數(shù)的意義，例如是兩角的和的余弦它表示角 終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之比。在一般情況下， ，并變換的取植，以突出本課的重點(diǎn)。 四、 學(xué)法分析 1、能靈活求寫(xiě)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，并結(jié)合平面幾何知識(shí)推證出公式。 2、本節(jié)的中心公式是，然后對(duì)作不同的特值代換可得其他公式，故靈活適當(dāng)?shù)馁x值法是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)。 3、湊角、逆用公式是本節(jié)要實(shí)現(xiàn)的技能之一，能否靈活的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是合理的組合角并選擇好合理的公式進(jìn)行有效地正用或逆用。 在教學(xué)過(guò)程中，啟動(dòng)學(xué)生自主性學(xué)習(xí)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，自得知識(shí)，自覓規(guī)律，自悟原理，主動(dòng)發(fā)展思維和能力。 五、 過(guò)程分析 （一）提出問(wèn)題，產(chǎn)生對(duì)公式的需求。 首先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例消除對(duì)“cos(α+β)=cosα+cosβ”的誤解，說(shuō)明兩角和（差）的三角函數(shù)不能按分配律展開(kāi)。并鼓勵(lì)同學(xué)對(duì)公式結(jié)構(gòu)的可能情況進(jìn)行大膽猜想和嘗試性探索。 （二）預(yù)備知識(shí) x o y P1 P P2 P3 α+β α β P4 1． 通過(guò)觀看動(dòng)畫(huà)演示，形象直觀地結(jié)合勾股定理簡(jiǎn)要介紹平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式。該公式應(yīng)用十分廣泛，要求學(xué)生記住。 2． 復(fù)習(xí)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，為推導(dǎo)公式作鋪墊。 （結(jié)合以下問(wèn)題，觀看《幾何畫(huà)板》演示） （1）分別指出點(diǎn)P1、P、P2、P3的坐標(biāo)？ （2）弦P1P3的長(zhǎng)如何表示？ （3）如何構(gòu)造弦P1P3的等量關(guān)系？ [注]如何讓推導(dǎo)公式的思路來(lái)得自然一些？課本出于敘述方便，隱去了證明的思路。教師的任務(wù)就是要給出一種合理的思路，比如我們要表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，當(dāng)發(fā)現(xiàn)|P1P3|可以用cos(α+β)表示時(shí)，想到應(yīng)該尋找與P1P3相等的弦，從而才想到作出角(-β)。這種思路和課本的敘述是不同的，但從思維的角度來(lái)講，也許更具有某種合理性，更能激發(fā)同學(xué)通過(guò)積極思維去探索、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。 （三）公式推導(dǎo) 1．根據(jù)“同圓中相等的圓心角所對(duì)的弦相等”得到距離等式 2．將轉(zhuǎn)化為三角恒等式，逐步變形整理成余弦的和角公式。 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展開(kāi)，整理得2-2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+2sinαsinβ 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 3．強(qiáng)調(diào)公式中α、β是任意角。用-β去代替β導(dǎo)出C(α-β)，初步認(rèn)識(shí)用賦值法推導(dǎo)新公式。要求學(xué)生注意公式中：角、函數(shù)的排列順序及式中各項(xiàng)符號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生感受公式和諧、輪換的勻稱美感，從鑒賞的角度記憶公式。 （四）公式應(yīng)用 正因?yàn)棣痢ⅵ碌娜我庑?，所以賦予C(α+β)公式的強(qiáng)大生命力。 1． 請(qǐng)用特殊角分別代替公式中α、β，你會(huì)求哪些非特殊角的值呢？ 讓學(xué)生動(dòng)筆自由嘗試、主動(dòng)探索。有的同學(xué)說(shuō)會(huì)求cos15、cos75、cos105、cos(-15)、cos165……的值。甚至有的同學(xué)會(huì)說(shuō)他驗(yàn)證了cos30=sin60…….（讓同學(xué)感受獲得公式后的第一份喜悅）由于初學(xué)公式的應(yīng)用，我選擇其中之一作示范。 2． 若β固定，分別用代替α，你將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？ 讓兩名同學(xué)到黑板嘗試，同時(shí)我走下講臺(tái)巡視，引導(dǎo)同學(xué)發(fā)現(xiàn)余弦的誘導(dǎo)公式可用C(αβ)公式得到證明：初步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)C(αβ)公式是誘導(dǎo)公式的推廣。（從而讓同學(xué)感受獲得公式后的第二份喜悅） 3． 倘若讓你對(duì)C(αβ)公式中的α、β自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？ 可能有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ……，甚至有的會(huì)發(fā)現(xiàn)cos2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α，這是以后要學(xué)的二倍角公式。甚至有調(diào)皮的同學(xué)竟發(fā)現(xiàn)： cos0=cos(α-α)=cos2α+sin2α=1.在無(wú)意中證明了平方關(guān)系。（據(jù)此，讓同學(xué)感受到C(αβ)公式的強(qiáng)大功能）。（必要時(shí)，教師可適當(dāng)提示）。 [注]按課本編排未必能讓同學(xué)注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才賦予C(α+β)公式的強(qiáng)大生命力）。于是我提出上述三個(gè)問(wèn)題，留時(shí)間先讓同學(xué)用特殊角自由賦值。在此基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)或式進(jìn)行賦值推導(dǎo)誘導(dǎo)公式等。逐漸摸索、嘗試，不斷總結(jié)、歸納。這樣更能使同學(xué)親自感受公式的強(qiáng)大功能，并掌握賦值法。 4． 練習(xí)： （1） cos80cos20+sin80sin20，初步學(xué)會(huì)逆用公式。 （2） cos215-sin215，為二倍角公式埋下伏筆。 （3） cos80cos35+cos10cos55，逐步學(xué)會(huì)把不符合公式結(jié)構(gòu)變形使之符合。 （4） （xx全國(guó)高考題）設(shè)，若，則 （5） ， 利用高考題的引用讓學(xué)生串連三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。 [注] 逆用公式是學(xué)生認(rèn)識(shí)和掌握公式的重要標(biāo)志。通過(guò)步步加深的練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生積極參與思維，培養(yǎng)學(xué)生觀察，比較等思維能力。同時(shí)滲透了一種化歸思想。 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 C (α+β) C (α-β) 以-β代β 求cos15等 賦值 誘導(dǎo)公式及其它 α、β任意角 （五）總結(jié) 1、牢記公式的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)逆用公式。不符合公式結(jié)構(gòu)的，常通過(guò)誘導(dǎo)公式變形使之符合。 2、強(qiáng)調(diào)公式中α、β的任意性，是本節(jié)內(nèi)容的主線，它賦予了公式的強(qiáng)大生命力。要深刻領(lǐng)會(huì)公式承上啟下的核心作用。 3、恰當(dāng)賦值是學(xué)好本節(jié)基礎(chǔ)；逆用公式是本節(jié)基本技能。 [注]通過(guò)課堂小結(jié)，可以培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。 （六）作業(yè):P40-41 1，2（2）（4），3（3）（4）（6）（8） [注]通過(guò)布置作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。 六、評(píng)價(jià)分析 本課說(shuō)課力求不浪費(fèi)任何一個(gè)學(xué)生自省的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生主動(dòng)、自覺(jué)地發(fā)現(xiàn)公式，發(fā)現(xiàn)方法，根據(jù)學(xué)生的能力水平，設(shè)計(jì)了該節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過(guò)程，有利于達(dá)到較好的教學(xué)效果。 板書(shū)設(shè)計(jì) 1、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 2、兩角和差的余弦公式 3、總結(jié)提煉 問(wèn)題1 問(wèn)題2 問(wèn)題3 練習(xí)反饋