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2019-2020年高三數學第一輪復習單元講座 第14講 直線 圓的位置關系教案 新人教版
一．課標要求：
1．能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；
2．探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離；
3．能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系；
4．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；
5．在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想。
二．命題走向
本講考察重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題、直線與圓的位置關系（特別是弦長問題），此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現，有時在解析幾何中也會出現大題，多考察其幾何圖形的性質或方程知識。
預測xx年對本講的考察是：
（1）一個選擇題或一個填空題，解答題多與其它知識聯合考察；
（2）熱點問題是直線的位置關系、借助數形結合的思想處理直線與圓的位置關系，注重此種思想方法的考察也會是一個命題的方向；
（3）本講的內容考察了學生的理解能力、邏輯思維能力、運算能力。
三．要點精講
1．直線l1與直線l2的的平行與垂直
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：
①l1//l2 k1=k2；②l1l2 k1k2=－1。
（2）若
若A1、A2、B1、B2都不為零。
①l1//l2；
②l1l2 A1A2+B1B2=0；
③l1與l2相交；
④l1與l2重合；
注意：若A2或B2中含有字母，應注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數。
2． 距離
（1）兩點間距離：若，則
特別地：軸，則、軸，則。
（2）平行線間距離：若， 則：。注意點：x，y對應項系數應相等。
（3）點到直線的距離：，則P到l的距離為：
3．直線與圓的位置關系有三種
（1）若，；
（2）；
（3）。
還可以利用直線方程與圓的方程聯立方程組求解，通過解的個數來判斷：
（1）當方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交；
（2）當方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切；
（3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；
即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關系滿足以下關系：
相切d=rΔ＝0；
相交d
0；
相離d>rΔ<0。
4．兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。
；
；
；
；
；
外離 外切
相交 內切 內含
判斷兩個圓的位置關系也可以通過聯立方程組判斷公共解的個數來解決。
四．典例解析
題型1：直線間的位置關系
例1．（1）（xx北京11）若三點 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共線，則, 的值等于 。
（2）（xx上海文11）已知兩條直線若，則___ _。
解析：（1）答案：；（2）2。
點評：（1）三點共線問題借助斜率來解決，只需保證；（2）對直線平行關系的判斷在一般式方程中注意系數為零的情況。
例2．（1）（xx福建文，1）已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
（2）（xx安徽理，7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
解析：（1）答案為D；（2）與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為，故選A。
點評：直線間的垂直關系要充分利用好斜率互為負倒數的關系，同時兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。
題型2：距離問題
例3．（xx京皖春文，8）到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是（ ）
A．x－y=0 B．x+y=0
C．|x|－y=0 D．|x|－|y|=0
解析：設到坐標軸距離相等的點為（x，y）
∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0。答案：D
點評：本題較好地考查了考生的數學素質，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑
例4．（xx全國文，21）已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為，點N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程。
解析：設點P的坐標為（x，y），由題設有，
即。
整理得 x2+y2－6x+1=0 ①
因為點N到PM的距離為1，|MＮ|＝2，
所以∠PMN＝30，直線PM的斜率為，
直線PM的方程為y=（x＋1） ②
將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。
解得x＝2＋，x＝2－。
代入②式得點P的坐標為（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）。
直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1。
點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數的相關知識，充分體現了“注重學科知識的內在聯系”.題目的設計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數學知識解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進行了不同程度的考查.對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。
題型3：直線與圓的位置關系
例5．（1）（xx安徽文，7）直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2）（xx江蘇理，2）圓的切線方程中有一個是（ ）
A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＝0 D．y＝0
解析：（1）解析：由圓的圓心到直線大于，且，選A。
點評：該題考察了直線與圓位置關系的判定。
（2）直線ax+by=0，則，由排除法，
選C，本題也可數形結合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。
點評：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉化成判別式等于零來解。
例6．（xx江西理，16）已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題：
（A） 對任意實數k與q，直線l和圓M相切；
（B） 對任意實數k與q，直線l和圓M有公共點；
（C） 對任意實數q，必存在實數k，使得直線l與和圓M相切；
（D）對任意實數k，必存在實數q，使得直線l與和圓M相切。
其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號）
解析：圓心坐標為（－cosq，sinq）
d＝
故選（B）（D）
點評：該題復合了三角參數的形式，考察了分類討論的思想。
題型4：直線與圓綜合問題
例7．（xx全國，9）直線x+y－2=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對的圓心角為（ ）
A． B． C． D．
解析：如圖所示：
圖
由
消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。
∴A（2，0），B（1，）
∴|AB|==2
又|OB|＝|OA|=2，
∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=，故選C。
點評：本題考查直線與圓相交的基本知識，及正三角形的性質以及邏輯思維能力和數形結合思想，同時也體現了數形結合思想的簡捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為120，則等腰△OAB的底角為60.因此∠AOB=60.更加體現出平面幾何的意義。
例8．（xx全國2，16）過點（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝ 。
解析：過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率
解析(數形結合)由圖形可知點A在圓的內部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線，所以。
點評：本題主要考察數形結合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關系，難度中等。
題型5：對稱問題
例9．（89年高考題）一束光線l自A（－3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上。
(Ⅰ) 求反射線通過圓心C時，光線l的方程；
(Ⅱ) 求在x軸上，反射點M的范圍．
解法一：已知圓的標準方程是
(x－2)2+(y－2)2=1，它關于x軸的對稱圓的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。設光線L所在的直線的方程是y－3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題設知對稱圓的圓心C′（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d==1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= －或k= －。故所求直線方程是y－3=－(x+3)，或y－3= －(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。
解法二：已知圓的標準方程是(x－2)2+(y－2)2=1，設交線L所在的直線的方程是
y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題意知k≠0，于是L的反射點的坐標是（－，0），因為光線的入射角等于反射角，所以反射光線L′所在直線的方程為y= －k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d==1。以下同解法一。
點評：圓復合直線的對稱問題，解題思路兼顧到直線對稱性問題，重點關注對稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標和圓的半徑。
例10．已知函數f(x)=x2－1(x≥1)的圖像為C1，曲線C2與C1關于直線y=x對稱。
（1）求曲線C2的方程y=g(x)；
（2）設函數y=g(x)的定義域為M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求證|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|;
（3）設A、B為曲線C2上任意不同兩點，證明直線AB與直線y=x必相交。
解析：（1）曲線C1和C2關于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數。
∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=，則曲線C2的方程為g(x)= (x≥0)。
（2）設x1，x2∈M，且x1≠x2，則x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0，
∴|g(x1)－g(x2)|=| －|=≤<|x1－x2|。
（3）設A(x1，y1)、B（x2，y2）為曲線C2上任意不同兩點，x1，x2∈M，且x1≠x2，
由（2）知，|kAB|=||=<1
∴直線AB的斜率|kAB|≠1，又直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交。
點評：曲線對稱問題應從方程與曲線的對應關系入手來處理，最終轉化為點的坐標之間的對應關系。
題型6：軌跡問題
例11．（xx山東理，22）已知動圓過定點，且與直線相切，其中。
（I）求動圓圓心的軌跡的方程；
（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標。
解析：（I）如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為；
（II）如圖，設，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設其方程為，顯然，將與聯立消去，得由韋達定理知①
（1）當時，即時，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點。
（2）當時，由，
得==，
將①式代入上式整理化簡可得：，所以，
此時，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點。
所以由（1）（2）知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點。
點評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。
例12．（xx江蘇，19）如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動點分別作圓、圓的切線（分別為切點），使得. 試建立適當的坐標系，并求動點的軌跡方程。
解析：以的中點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，。
由已知，得。
因為兩圓半徑均為1，所以。
設，則，
即(或)。
點評：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運算能力。
題型7：課標創(chuàng)新題
例13．已知實數x、y滿足，求的最大值與最小值。
解析：表示過點A（0，－1）和圓上的動點（x，y）的直線的斜率。
如下圖，當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值。
設切線方程為，即，則，解得。
因此，
點評：直線知識是解析幾何的基礎知識，靈活運用直線知識解題具有構思巧妙、直觀性強等特點，對啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運用。
例14．設雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點Q、R的坐標。
分析：正三角形PQR中，有， 則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點。
根據兩曲線方程可求出交點Q、R坐標。
解析：設以P為圓心，為半徑的圓的方程為：，
由得：。 （其中，可令進行換元解之）
設Q、R兩點的坐標分別為，則。
即，
同理可得：， 且因為△PQR是正三角形，則，
即，得。
代入方程，即。
由方程組，得：或，
所以，所求Q、R的坐標分別為
點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數學分支中都有廣泛的應用。對一些數學問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設與結論之間的關系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。
五．思維總結
1．關于直線對稱問題：
（1）關于l ：Ax ＋By ＋C ＝0對稱問題：不論點，直線與曲線關于l 對稱問題總可以轉化為點關于l 對稱問題，因為對稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0 ，y0）關于l ：Ax ＋By ＋C ＝0對稱點Q（x1 ，y1）．有＝－（1）與A＋B＋C ＝0。
（2）解出x1 與y1 ；若求C1 ：曲線f（x ，y）＝0（包括直線）關于l ：Ax ＋By ＋C1 ＝0對稱的曲線C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 ＝g1（x1 ，y1）與y0 ＝g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f [g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）]＝0，就得到關于l 對稱的曲線C2 方程：f [g1（x ，y），g2（x ，y）]＝0。
（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 項系數|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1 ：y2 ＝4 x －2關于l ：x －y －4＝0對稱的曲線l2 的方程為：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，這樣就比較簡單了。
（4）解有關入射光線與反射光線問題就可以用對稱問題來解決。
點與圓位置關系：P（x0 ，y0）和圓C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2。
①點P 在圓C 外有(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＞r2；
②點P 在圓上：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＝r2；
③點P 在圓內：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＜r2 。
3．直線與圓的位置關系：l ：f1（x ，y）＝0．圓C ：f2（x ，y）＝0消y 得F（x2）＝0。
（1）直線與圓相交：F（x ，y）＝0中D ＞0；或圓心到直線距離d ＜r 。
直線與圓相交的相關問題：①弦長|AB|＝|x1 －x2|＝，或|AB|＝2；②弦中點坐標（，）；③弦中點軌跡方程。
（2）直線與圓相切：F（x）＝0中D ＝0，或d ＝r ．其相關問題是切線方程．如P（x0 ，y0）是圓x2 ＋y2 ＝r2 上的點，過P 的切線方程為x0x ＋y0y ＝r2 ，其二是圓外點P（x0 ，y0）向圓到兩條切線的切線長為或；其三是P（x0 ，y0）為圓x2 ＋y2 ＝r2 外一點引兩條切線，有兩個切點A ，B ，過A ，B 的直線方程為x0x ＋y0y ＝r2 。
（3）直線與圓相離：F（x）＝0中D ＜0；或d ＜r ；主要是圓上的點到直線距離d 的最大值與最小值，設Q 為圓C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2 上任一點，|PQ|max ＝|PC|＋r ；|PQ|min ＝|PQ|－r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值．
4．圓與圓的位置關系：依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1 ，r2 的和差關系判定．
（1）設⊙O1 圓心O1 ，半徑r1 ，⊙O2 圓心O2 ，半徑r2 則：
①當r1 ＋r2 ＝|O1O2|時⊙O1 與⊙O2 外切；②當|r1 －r2|＝|O1O2|時，兩圓相切；③當|r1 －r2|＜|O1O2|＜r1 ＋r2 時兩圓相交；④當|r1 －r2|＞|O1O2|時兩圓內含；⑤當r1 ＋r2 ＜|O1O2|時兩圓外離。
（2）設⊙O1 ：x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0。
①兩圓相交A 、B 兩點，其公共弦所在直線方程為（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋F1 －F2 ＝0；
②經過兩圓的交點的圓系方程為x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＋l（x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2）＝0（不包括⊙O2 方程）。
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