2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 板塊一 合情推理與演繹推理完整講義(學(xué)生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 板塊一 合情推理與演繹推理完整講義(學(xué)生版) 典例分析 題型一:合情推理 【例1】 迄今為止,人類已借助“網(wǎng)格計算”技術(shù)找到了630萬位的最大質(zhì)數(shù)。小王發(fā)現(xiàn)由8個質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列41,43,47,53,61,71,83,97的一個通項公式,并根據(jù)通項公式得出數(shù)列的后幾項,發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)。小王欣喜萬分,但小王按得出的通項公式,再往后寫幾個數(shù)發(fā)現(xiàn)它們不是質(zhì)數(shù)。他寫出不是質(zhì)數(shù)的一個數(shù)是 ( ) A.1643 B.1679 C.1681 D.1697 【例2】 下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推理: ①復(fù)數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法則; ②由向量A的性質(zhì)|A|2=A2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2; ③方程有兩個不同實數(shù)根的條件是可以類比得到:方程有兩個不同復(fù)數(shù)根的條件是; ④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義. 其中類比錯誤的是 ( ) A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【例3】 定義的運算分別對應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下圖中的(A)、(B)所對應(yīng)的運算結(jié)果可能是 ( ) (1) (2) (3) (4) (A) (B) A. B. C. D. 【例4】 在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB2+AC2=BC2”拓展到空間,類比平面幾何的勾股定理,“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直,則可得” ( ) (A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B) (C) (D)AB2AC2AD2=BC2 CD2 BD2 【例5】 已知 ,猜想的表達式為 ( ) A. B. C. D. 【例6】 觀察下列數(shù):1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( ) (A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123. 【例7】 觀察下列數(shù)的特點 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… 中,第100項是( ) (A) 10 (B) 13 (C) 14 (D) 100 【例8】 設(shè),利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法,可求得的值為 ( ) A、 B、2 C、3 D、4 【例9】 平面上有n個圓,其中每兩個都相交于兩點,每三個都無公共點,它們將平面分成塊區(qū)域,有,則的表達式為 ( ) A、 B、 C、 D、 【例10】 在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25項為 ( ) A.25 B.6 C.7 D.8 【例11】 如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點,F為左焦點,當(dāng)時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于 ( ) A. B. C. D. O x A B F y 【例12】 觀察式子:,…,則可歸納出式子為( ) A、 B、 C、 D、 【例13】 公比為的等比數(shù)列中,若是數(shù)列的前項積,則有也成等比數(shù)列,且公比為;類比上述結(jié)論,相應(yīng)地在公差為的等差數(shù)列中,若是的前項和,則數(shù)列 也成等差數(shù)列,且公差為 。 【例14】 考察下列一組不等式: .將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣,使以上的不等式成為推廣不等式的特例,則推廣的不等式可以是___________________. 【例15】 如下圖,第(1)個多邊形是由正三角形“擴展“而來,第(2)個多邊形是由正四邊形“擴展”而來,……如此類推.設(shè)由正邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為,則 ; = . 【例16】 古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21,……叫做三角數(shù),它有一定的規(guī)律性,第30個三角數(shù)與第28個三角數(shù)的差為 。 【例17】 數(shù)列是正項等差數(shù)列,若,則數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結(jié)論,寫出正項等比數(shù)列,若= ,則數(shù)列{}也為等比數(shù)列. 【例18】 在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有_______________顆珠寶;則前件首飾所用珠寶總數(shù)為________________顆.(結(jié)果用表示) 圖1 圖2 圖3 圖4 【例19】 在平面上,我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角,那么截下的一個直角三角形,按圖所標(biāo)邊長,由勾股定理有: 設(shè)想正方形換成正方體,把截線換成如圖的截面,這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O—LMN,如果用表示三個側(cè)面面積,表示截面面積,那么你類比得到的結(jié)論是 . 【例20】 對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)垂直,那么這兩個角相等或互補”,在立體幾何中,類比上述命題,可以得到命題: 。 【例21】 依次有下列等式:,按此規(guī)律下去,第8個等式為 。 【例22】 在等差數(shù)列中,若,則有等式成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列中,若,則有等式 成立. 【例23】 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖所示的0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,…,第次全行的數(shù)都為1的是第行;第61行中1的個數(shù)是. 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 【例24】 在平面幾何里,可以得出正確結(jié)論:“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這正三角形的高的”。拓展到空間,類比平面幾何的上述結(jié)論,則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的 。 【例25】 已知:; 通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題: ________________= ( * )并給出( * )式的證明。 【例26】 觀察以下各等式: ,分析上述各式的共同特點,猜想出反映一般規(guī)律的等式,并對等式的正確性作出證明。 【例27】 在△ABC中,若∠C=90,AC=b,BC=A,則△ABC的外接圓的半徑,把上面的結(jié)論推廣到空間,寫出相類似的結(jié)論。 【例28】 請你把不等式“若是正實數(shù),則有”推廣到一般情形,并證明你的結(jié)論。 【例29】 二十世紀(jì)六十年代,日本數(shù)學(xué)家角谷發(fā)現(xiàn)了一個奇怪現(xiàn)象:一個自然數(shù),如果它是偶數(shù)就用2除它,如果是奇數(shù),則將它乘以3后再加1,反復(fù)進行這樣兩種運算,必然會得到什么結(jié)果,試考查幾個數(shù)并給出猜想。 【例30】 圓的垂徑定理有一個推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,這一性質(zhì)能推廣到橢圓嗎?設(shè)AB是橢圓的任一弦,M是AB的中點,設(shè)OM與AB的斜率都存在,并設(shè)為KOM、KAB,則KOM與KAB之間有何關(guān)系?并證明你的結(jié)論。 【例31】 已知橢圓C:具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是橢圓C上任意一點,當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為KPM、KPN時,那么KPM與KPN之積是與點P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明。 【例32】 觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣,回答下列問題: (Ⅰ)求第六行的第一個數(shù). (Ⅱ)求第20行的第一個數(shù). (Ⅲ)求第20行的所有數(shù)的和. 【例33】 (xx年上海春招高考題)在DEF中有余弦定理: . 拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱ABC-的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式,并予以證明. 【例34】 已知數(shù)列,其中是首項為1,公差為1的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列(). (1)若,求; (2)試寫出關(guān)于的關(guān)系式,并求的取值范圍; (3)續(xù)寫已知數(shù)列,使得是公差為的等差數(shù)列,……,依次類推,把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同(2)類似的問題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例),并進行研究,你能得到什么樣的結(jié)論? 【例35】 已知橢圓具有性質(zhì):若是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點,點P是橢圓上任意一點,當(dāng)直線的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明 【例36】 已知數(shù)列(為正整數(shù))的首項為,公比為的等比數(shù)列. ⑴求和:;. ⑵由①的結(jié)果,概括出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論,并加以證明. 題型二:演繹推理 【例37】 由①正方形的對角線相等;②平行四邊形的對角線相等;③正方形是平行四邊形,根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論,則這個結(jié)論是 ( ) (A) 正方形的對角線相等 (B) 平行四邊形的對角線相等 (C) 正方形是平行四邊形 (D)其它 【例38】 下列表述正確的是( )。 ①歸納推理是由部分到整體的推理;②歸納推理是由一般到一般的推理; ③演繹推理是由一般到特殊的推理;④類比推理是由特殊到一般的推理; ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理。 (A)①②③; (B)②③④; (C)②④⑤; (D)①③⑤。 【例39】 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的,是因為( )。 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 【例40】 (4) 有一段演繹推理是這樣的:“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線;已知直線平面,直線平面,直線∥平面,則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的,這是因為 ( )。 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 【例41】 小王、小劉、小張參加了今年的高考,考完后在一起議論。 小王說:“我肯定考上重點大學(xué)?!? 小劉說:“重點大學(xué)我是考不上了?!? 小張說:“要是不論重點不重點,我考上肯定沒問題?!? 發(fā)榜結(jié)果表明,三人中考取重點大學(xué)、一般大學(xué)和沒考上大學(xué)的各有一個,并且他們?nèi)齻€人的預(yù)言只有一個人是對的,另外兩個人的預(yù)言都同事實恰好相反??梢姡海? ) (A)小王沒考上,小劉考上一般大學(xué),小張考上重點大學(xué) (B)小王考上一般大學(xué),小劉沒考上,小張考上重點大學(xué) (C)小王沒考上,小劉考上重點大學(xué),小張考上一般大學(xué) (D)小王考上一般大學(xué),小劉考上重點大學(xué),小張沒考上 【例42】 已知直線l、m,平面α、β,且l⊥α,m ∥β,給出下列四個命題: (1)若α∥β,則l⊥m; (2)若l⊥m,則α∥β; (3)若α⊥β,則l∥m; (4)若l∥m,則α⊥β; 其中正確命題的個數(shù)是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【例43】 給出下列三個命題:①若;②若正整數(shù)滿足,則;③設(shè)上任意一點,圓以為圓心且半徑為1。當(dāng)時,圓相切。 其中假命題的個數(shù)是( ) (A) 0 (B ) 1 (C)2 (D)3 【例44】 給定集合A、B,定義,若A={4,5,6},B={1,2,3},則集合中的所有元素之和為 ( ) A.15 B.14 C.27 D.-14 【例45】 有一段演繹推理是這樣的:“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線;已知直線平面,直線平面,直線∥平面,則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的,這是因為 ( ) A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 【例46】 為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文對應(yīng)密文,例如,明文對應(yīng)密文.當(dāng)接收方收到密文時,則解密得到的明文為( ) A. B. C. D. 【例47】 下面幾種推理過程是演繹推理的是 ( ) A、兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補,如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180 B、由平面三角形的性質(zhì),推測空間四面體性質(zhì) C、某校高三共有10個班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推測各班都超過50人 D、在數(shù)列中,,由此推出的通項公式 【例48】 設(shè)函數(shù),利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法,可求得的值為 . 【例49】 函數(shù)y=f(x)在(0,2)上是增函數(shù),函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù),則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是 . 【例50】 在中學(xué)數(shù)學(xué)中,從特殊到一般,從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從指數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì);從對數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì)。那么從函數(shù) (寫出一個具體函數(shù)即可)可抽象出的性質(zhì)。 【例51】 “AC,BD是菱形ABCD的對角線,AC,BD互相垂直且平分?!毖a充以上推理的大前提是 。 【例52】 由①正方形的對角線相等;②平行四邊形的對角線相等;③正方形是平行四邊形,根據(jù) “三段論”推理出一個結(jié)論,則這個結(jié)論是 。 【例53】 已知數(shù)列的第1項,且,試歸納出這個數(shù)列的通項公式. 【例54】 (1)在演繹推理中,只要 是正確的,結(jié)論必定是正確的。 (2)用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時的大前提是 。 【例55】 如圖,S為△ABC所在平面外一點,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC。求證:AB⊥BC。 【例56】 已知:空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別為BC,CD的中點,判斷直線EF與平面ABD的關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 直線BD和平面ABD的位置關(guān)系是平行 【例57】 設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+bx+c (A,b,c∈R,A≠0)滿足條件: ①當(dāng)x∈R時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;②當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)≤ ③f(x)在R上的最小值為0。 求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x. 【例58】 規(guī)定:,其中,是正整數(shù),且,這是組合數(shù)是正整數(shù),且的一種推廣. ①求的值; ②組合數(shù)的兩個性質(zhì)()是否都能推廣到(是正整數(shù))的情形?說明理由; ③已知組合數(shù)是正整數(shù),證明:當(dāng),是正整數(shù)時,. 【例59】 指出下面推理中的大前提和小前提。 (1)5與2可以比較大??; (2)直線。 【例60】 已知函數(shù),對任意的兩個不相等的實數(shù),都有成立,且,求的值。 【例61】 已知α、β是銳角,,且滿足。 (1)求證:; (2)求證:,并求等號成立時的值。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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