2019-2020年高中數(shù)學(xué)《指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算》教案14（第三課時(shí)）蘇教版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算》教案14（第三課時(shí)）蘇教版必修1 導(dǎo)入新課 思路1. 同學(xué)們,既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù),又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù),這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù),那么它是否也和數(shù)的推廣一樣,到底有沒(méi)有無(wú)理數(shù)指數(shù)冪呢?回顧數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程,自然數(shù)到整數(shù),整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù)),有理數(shù)到實(shí)數(shù).并且知道,在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中,增添的數(shù)是——實(shí)數(shù).對(duì)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪,也是這樣擴(kuò)充而來(lái).既然如此,我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是:教師板書(shū)本堂課的課題(指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3))之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪. 思路2. 同學(xué)們,在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí),對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解,到了高中,我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí),有了更深的理解,我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等,這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足我們的需要,隨著科學(xué)的發(fā)展,社會(huì)的進(jìn)步,我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù),其中就有指數(shù)函數(shù),為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí),我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),為此,我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪,因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí):指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪,教師板書(shū)本堂課的課題. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①我們知道=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是的什么近似值？ ②多媒體顯示以下圖表:同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中,能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律? 的過(guò)剩近似值5 5的近似值 1.5 11.18033989 1.42 9.82935328 1.415 9.750851808 1.4143 9.73987262 1.41422 9.738618643 1.414214 9.738524602 1.4142136 9.738518332 1.41421357 9.738517862 1.414213563 9.73817752 5的近似值 的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 213 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 ③你能給上述思想起個(gè)名字嗎? ④一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢?如5,根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí),能作出判斷并合理地解釋嗎? ⑤借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎? 活動(dòng)：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問(wèn),學(xué)生回答,積極交流,及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生,學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容: 問(wèn)題①?gòu)慕浦档姆诸?lèi)來(lái)考慮,一方面從大于的方向,另一方面從小于的方向. 問(wèn)題②對(duì)圖表的觀(guān)察一方面從上往下看,再一方面從左向右看,注意其關(guān)聯(lián). 問(wèn)題③上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近,最后是逼近. 問(wèn)題④對(duì)問(wèn)題給予大膽猜測(cè),從數(shù)軸的觀(guān)點(diǎn)加以解釋. 問(wèn)題⑤在③④的基礎(chǔ)上,推廣到一般的情形,即由特殊到一般. 討論結(jié)果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…這些數(shù)都小于,稱(chēng)的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,這些數(shù)都大于,稱(chēng)的過(guò)剩近似值. ②第一個(gè)表:從大于的方向逼近時(shí),5就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5. 第二個(gè)表:從小于2的方向逼近時(shí),5就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向逼近5. 從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題,在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn),數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果,事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示5的點(diǎn)靠近,但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上,由此我們可得到的結(jié)論是5一定是一個(gè)實(shí)數(shù),即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5. 充分表明5是一個(gè)實(shí)數(shù). ③逼近思想,事實(shí)上里面含有極限的思想,這是以后要學(xué)的知識(shí). ④根據(jù)②③我們可以推斷5是一個(gè)實(shí)數(shù),猜測(cè)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù). ⑤無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義: 一般地,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0,α是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù). 也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù),并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),這樣指數(shù)概念又一次得到推廣,在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中,我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).我們規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義,知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪,那么,指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪. 提出問(wèn)題 （1）為什么在規(guī)定無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí),必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)? （2）無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢? （3）你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎? 活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作,交流探討,引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題,注意類(lèi)比,歸納. 對(duì)問(wèn)題（1）回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定,舉例說(shuō)明. 對(duì)問(wèn)題（2）結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,既然無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0,α是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),那么無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類(lèi)似,并且相通. 對(duì)問(wèn)題（3）有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了. 討論結(jié)果：（1）底數(shù)大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1還是-1就無(wú)法確定了,這樣就造成混亂,規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),就不會(huì)再造成混亂. （2）因?yàn)闊o(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算,也能進(jìn)行冪的運(yùn)算,有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),同樣也適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.類(lèi)比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則: ①aras=ar+s(a>0,r,s都是無(wú)理數(shù)). ②(ar)s=ars(a>0,r,s都是無(wú)理數(shù)). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r是無(wú)理數(shù)). （3）指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后,指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪. 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì): 對(duì)任意的實(shí)數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì): ①aras=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 應(yīng)用示例 思路1 例1利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算.（精確到0.001） （1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）. 活動(dòng)：教師教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算,熟悉計(jì)算器的各鍵的功能,正確輸入各類(lèi)數(shù),算出數(shù)值,對(duì)于（1）,可先按底數(shù)0.3,再按鍵,再按冪指數(shù)2.1,最后按,即可求得它的值； 對(duì)于（2）,先按底數(shù)3.14,再按鍵,再按負(fù)號(hào)鍵,再按3,最后按即可; 對(duì)于(3),先按底數(shù)3.1,再按鍵,再按34,最后按即可; 對(duì)于（4）,這種無(wú)理指數(shù)冪,可先按底數(shù)3,其次按鍵,再按鍵,再按3,最后按鍵.有時(shí)也可按或鍵,使用鍵上面的功能去運(yùn)算. 學(xué)生可以相互交流,挖掘計(jì)算器的用途. 答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.1≈2.336;（4）≈6.705. 點(diǎn)評(píng)：熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算冪的值的方法與步驟,感受現(xiàn)代技術(shù)的威力,逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會(huì)；用四舍五入法求近似值,若保留小數(shù)點(diǎn)后n位,只需看第（n+1）位能否進(jìn)位即可. 例2求值或化簡(jiǎn). (1)(a>0,b>0); (2)()(a>0,b>0); (3). 活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察,思考,所謂化簡(jiǎn),即若能化為常數(shù)則化為常數(shù),若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡(jiǎn),對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子,應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,便于運(yùn)算,教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo),對(duì)(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì),對(duì)(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式,應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來(lái),化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,對(duì)(3)有多重根號(hào)的式子,應(yīng)先去根號(hào),這里是二次根式,被開(kāi)方數(shù)應(yīng)湊完全平方,這樣,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià),注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律. 解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=. 點(diǎn)評(píng)：根式的運(yùn)算常?；蓛绲倪\(yùn)算進(jìn)行,計(jì)算結(jié)果如沒(méi)有特殊要求,就用根式的形式來(lái)表示. (2)()=aabb=a0b0=. 點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)這類(lèi)式子一般有兩種辦法,一是首先用負(fù)指數(shù)冪的定義把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù),另一個(gè)方法是采用分式的基本性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù). (3) = =-+2--2+ =0. 點(diǎn)評(píng)：考慮根號(hào)里面的數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù),千萬(wàn)注意方根的性質(zhì)的運(yùn)用. 例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值. 活動(dòng)：學(xué)生思考,觀(guān)察題目的特點(diǎn),從整體上看,應(yīng)先化簡(jiǎn),然后再求值,要有預(yù)見(jiàn)性,5與5具有對(duì)稱(chēng)性,它們的積是常數(shù)1,為我們解題提供了思路,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路,必要時(shí)給予提示. x2=(5-5)2=(5-250+5) =(5+2+5-4) =(5+5)2-1. 這時(shí)應(yīng)看到 1+x2=1+(-5)2=(5+5)2, 這樣先算出1+x2,再算出,帶入即可. 解：將x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n, 所以(x+)n=［(5-5)+］n =［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5. 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵,要深刻理解這種做法. 思路2 例1計(jì)算:(1); (2)125+()-2+343-(); (3)(-2xy)(3xy)； (4)(x-y)(x-y). 活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察、思考,根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù),利用冪的運(yùn)算性質(zhì)解題,另外要注意整體的意識(shí),教師有針對(duì)性的提示引導(dǎo),對(duì)(1)根式的運(yùn)算常常化成冪的運(yùn)算進(jìn)行,對(duì)(2)充分利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行,對(duì)(3)則要根據(jù)單項(xiàng)式乘法和冪的運(yùn)算法則進(jìn)行,對(duì)(4)要利用平方差公式先因式分解,并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià). 解：(1) =()+()+(0.062 5)+1- =()2+()+(0.5)+ =++0.5+ =5; (2)125+()-2+343-() =(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3) =5+2-2(-1)+7-3 =25+4+7-3=33; (3)(-2xy)(3xy)=(-23)(xxyy) ==-6xy =; (4)(x-y)(x-y)=((x)2-(y)2)(x-y) =(x+y)(x-y)(x-y) =x+y. 點(diǎn)評(píng)：在指數(shù)運(yùn)算中,一定要注意運(yùn)算順序和靈活運(yùn)用乘法公式. 例2化簡(jiǎn)下列各式: (1); (2)(a3+a-3)(a3-a-3)［(a4+a-4+1)(a-a-1)］. 活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察式子的特點(diǎn),特別是指數(shù)的特點(diǎn),教師引導(dǎo)學(xué)生考慮題目的思路,這兩題要注意分解因式,特別是立方和和立方差公式的應(yīng)用,對(duì)有困難的學(xué)生及時(shí)提示:對(duì)(1)考查x2與x的關(guān)系可知x2=(x)3,立方關(guān)系就出來(lái)了,公式便可運(yùn)用,對(duì)(2)先利用平方差,再利用冪的乘方轉(zhuǎn)化為立方差,再分解因式,組織學(xué)生討論交流. 解：(1)原式= = ==; (2)原式=［(a3)2-(a-3)2］［(a4+a-4+1)(a-a-1)］ ====a+a-1. 點(diǎn)評(píng)：注意立方和立方差公式在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪當(dāng)中的應(yīng)用,因?yàn)槎?xiàng)和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而對(duì)立方和立方差公式卻一般不易觀(guān)察到,a=(a)3還容易看出,對(duì)其中夾雜的數(shù)字m可以化為maa=m,需認(rèn)真對(duì)待,要在做題中不斷地提高靈活運(yùn)用這些公式的能力. 知能訓(xùn)練 課本P59習(xí)題2.1A組 3. 利用投影儀投射下列補(bǔ)充練習(xí): 1.化簡(jiǎn):(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的結(jié)果是( ) A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2) 分析:根據(jù)本題的特點(diǎn),注意到它的整體性,特別是指數(shù)的規(guī)律性,我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃? 因?yàn)?1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2), 依次類(lèi)推,所以==(1-2)-1. 答案：A 2.計(jì)算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.52-4. 解：原式=()+100+()-3+49=+100+-3++=100. 3.計(jì)算(a≥1). 解：原式=(a≥1). 本題可以繼續(xù)向下做,去掉絕對(duì)值,作為思考留作課下練習(xí). 4.設(shè)a>0,x=(a-a),則(x+)n的值為_(kāi)______. 分析:從整體上看,應(yīng)先化簡(jiǎn),然后再求值,這時(shí)應(yīng)看到 解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2. 這樣先算出1+x2,再算出, 將x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2. 所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n =［(a-a)+(a+a)］n=a. 答案：a 拓展提升 參照我們說(shuō)明無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義的過(guò)程,請(qǐng)你說(shuō)明無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義. 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無(wú)理數(shù)指數(shù)冪5的意義的過(guò)程,利用計(jì)算器計(jì)算出3的近似值,取它的過(guò)剩近似值和不足近似值,根據(jù)這些近似值計(jì)算的過(guò)剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意義,學(xué)生合作交流,在投影儀上展示自己的探究結(jié)果. 解：3=1.73205080…,取它的過(guò)剩近似值和不足近似值如下表. 的過(guò)剩近似值 的過(guò)剩近似值 的不足近似值 的不足近似值 1.8 3.482202253 1.7 3.249009585 1.74 3.340351678 1.73 3.317278183 1.733 3.324183446 1.731 3.319578342 1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849 1.73206 3.32xx252 1.73204 3.3219722 1.73xx 3.321997529 1.732049 3.321992923 1.7320509 3.321997298 1.7320507 3.321996838 1.73205081 3.321997019 1.73205079 3.321997045 我們把用2作底數(shù),的不足近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從小到大的一列數(shù) 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同樣把用2作底數(shù), 的過(guò)剩近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從大到小的一列數(shù): 21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不難看出的過(guò)剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多,即3的近似值精確度越高,以其過(guò)剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α?xí)絹?lái)越趨近于同一個(gè)數(shù),我們把這個(gè)數(shù)記為. 即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8. 也就是說(shuō)是一個(gè)實(shí)數(shù),=3.321 997 …也可以這樣解釋: 當(dāng)3的過(guò)剩近似值從大于的方向逼近時(shí),的近似值從大于的方向逼近； 當(dāng)3的不足近似值從小于的方向逼近時(shí),的近似值從小于的方向逼近. 所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述規(guī)律變化的結(jié)果,即≈3.321 997. 課堂小結(jié) (1)無(wú)理指數(shù)冪的意義. 一般地,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0,α是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù). (2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì): 對(duì)任意的實(shí)數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì): ①aras=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). (3)逼近的思想,體會(huì)無(wú)限接近的含義. 作業(yè) 課本P60習(xí)題2.1 B組 2. 設(shè)計(jì)感想 無(wú)理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充,教學(xué)中要讓學(xué)生通過(guò)多媒體的演示,理解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義,教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過(guò)實(shí)際情況去探索,自己得出結(jié)論,加深對(duì)概念的理解,本堂課內(nèi)容較為抽象,又不能進(jìn)行推理,只能通過(guò)多媒體的教學(xué)手段,讓學(xué)生體會(huì),特別是逼近的思想、類(lèi)比的思想,多作練習(xí),提高學(xué)生理解問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力.