2019-2020年高一數(shù)學(xué)下 6.4《反三角函數(shù)》教案（1）滬教版.doc

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2019-2020年高一數(shù)學(xué)下 6.4《反三角函數(shù)》教案（1）滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 根據(jù)反函數(shù)的概念，正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）沒有反函數(shù).但是如果我們適當(dāng)選取實(shí)數(shù)集R的一個子集[-，]，那么函數(shù)y=sinx， x∈[-，]就存在反函數(shù)，為什么要選取[-，]，教師要作必要性說明.我們把函數(shù)y=sinx， x∈[-，]的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，x∈[-1，1]，學(xué)生對符號的arcsinx的理解比較困難，前面符號中的x必須滿足|x|≤1，arcsinx是[-，]上的一個角的弧度數(shù)，這個角的正弦值為x.根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arcsinx，x∈[-1，1]的圖像和函數(shù)y=sinx， x∈[-，]的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱，這樣容易作出反正弦函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到反正弦函數(shù)y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1．理解函數(shù)y=sinx（x∈R）沒有反函數(shù)；理解函數(shù)y=sinx， x∈[-，]有反函數(shù)；理解反正弦函數(shù)y=arcsinx的概念，掌握反正弦函數(shù)的定義域是[-1，1]，值域是[-，]. 2．知道反正弦函數(shù)y=arcsinx ，x∈[-1，1]的圖像. 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]. 4．能夠熟練計(jì)算特殊值的反正弦函數(shù)值，并能用反正弦函數(shù)值表示角. 5．會用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問題. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：理解反正弦函數(shù)概念以及反正弦函數(shù)符號的本質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn)：反正弦函數(shù)的產(chǎn)生和從本質(zhì)上處理正弦函數(shù)的反函數(shù)問題. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 直尺、多媒體設(shè)備 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 反正弦函數(shù)的定義 （ 師生討論、探究、提煉概念） 反正弦函數(shù)的 圖象與性質(zhì) 互為反函數(shù) 的兩個函數(shù) 的圖象與性 質(zhì)的關(guān)系 正弦函數(shù) 的圖象 與性質(zhì) 應(yīng)用舉例(求特殊值的反正弦函數(shù)值、用反正弦函數(shù)值表示角、運(yùn)用反正弦恒等式化簡或求值) 鞏固、反饋、總結(jié)、反思、作業(yè) 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、 情景引入 1．復(fù)習(xí) 我們學(xué)習(xí)過反函數(shù)，知道，對于函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對它的值域中的任意一個值y，在定義域D中都有唯一確定的值x與它對應(yīng)，使y=f（x），這樣得到的x關(guān)于y的函數(shù)叫做y=f（x）的反函數(shù).我們也明確不是任何一個函數(shù)都存在反函數(shù).函數(shù)要存在反函數(shù)必須要求其自變量與因變量是一一對應(yīng)的. 2．思考 那么正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？ [說明] 因?yàn)閷τ谌我徽抑刀加袩o數(shù)個角值與之對應(yīng).正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對一的.故而不存在反函數(shù). 3．討論 正弦函數(shù)不存在反函數(shù).但只要選取某一區(qū)間使得在該區(qū)間上存在反函數(shù).因變量可以確定自變量，正弦值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的正弦值表示就可以了.學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得存在反函數(shù)呢？ 這個區(qū)間的選擇依據(jù)兩個原則： （1）在所取區(qū)間上存在反函數(shù)； （2）能取到的一切函數(shù)值. 可以選取閉區(qū)間，使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)，而這個反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反正弦函數(shù). 二、學(xué)習(xí)新課 1．概念辨析 （1）反正弦函數(shù)的定義： 函數(shù)y=sinx， x∈[-，]的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，x∈[-1，1]. （2）反正弦函數(shù)的性質(zhì)： ①圖像 ②定義域[-1，1] ③值域[-，] ④奇偶性：奇函數(shù)，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] ⑤單調(diào)性：增函數(shù) [說明]互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)y=sinx，x∈[-，]與函數(shù)y=arcsinx，x∈[-1，1]的圖像關(guān)于直線對稱. 2．例題分析 例1．求下列反正弦函數(shù)的值： （1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-） 解：（1）因?yàn)閟in=，且∈[-，]，所以arcsin=. （2）因?yàn)閟in0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0. （3）因?yàn)閟in（-）=-，且-∈[-，]，所以arcsin（-）=-. 例2．用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式的x： （1）sinx=，x∈[-，]； （2）sinx=-，x∈[-，]； （3）sinx=- ，x∈[-π，0]. 解：（1）因?yàn)閤∈[-，]，由定義，可知x=arcsin； （2）因?yàn)閤∈[-，]，由定義，可知x=arcsin（-）=- arcsin； （3）在區(qū)間[-，0] 上，由定義，可知x=arcsin（-）=- arcsin； 在區(qū)間[-π，-]上，由誘導(dǎo)公式，可知x=-π+arcsin，滿足 sinx=-.因此x= arcsin或x=-π+arcsin. 例3．化簡下列各式： （1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sinxx0） 解：（1）因?yàn)椤蔥-，]，設(shè)sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=. （2）因?yàn)閇-，]，而∈[-，]，且sin=sin，設(shè)sin=sin=α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）= arcsinα=. （3）因?yàn)閟inxx0=sin（53600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270 所以arcsin（sinxx0）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270. 例4．求函數(shù)f（x）=2arcsin2x的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域. 解：設(shè)y=2arcsin2x，則= arcsin2x， 因?yàn)?x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根據(jù)反正弦函數(shù)的定義，得2x=sin，x= sin，將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）= sin，定義域是[-л，л]，值域是[-，]. 3．問題拓展 例1．證明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] 證明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1] ∴sin[arcsin（-x）]= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x 又因?yàn)閍rcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函數(shù)在[-，]上單調(diào)遞增，所以arcsin（-x）=-arcsinx， x∈[-1，1]. [說明]這是證明角相等的問題，兩個角僅有同名三角比相等，不能證明這兩個角相等，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生知道這個數(shù)學(xué)事實(shí)，并舉例說明. 例2．設(shè)x∈[，]，sinx=，用反正弦函數(shù)值表示x. 解：因?yàn)閤∈[，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=，于是π-x=arcsin，x=π- arcsin. [說明] 對于用反正弦函數(shù)值表示區(qū)間[-，]外的角，教材不作要求，但考慮到在解實(shí)際問題中常要表示鈍角，因此可補(bǔ)充用反正弦函數(shù)值表示鈍角的練習(xí). 以上兩例教師應(yīng)根據(jù)各自學(xué)校學(xué)生的實(shí)際情形進(jìn)行教學(xué). 三、鞏固練習(xí) 判斷下列各式是否成立?簡述理由. （1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]；（3）式僅當(dāng)k=0時(shí)成立，k取其他整數(shù)時(shí)，不成立，理由是反正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-，]；（6）式不成立，因?yàn)榕c反正弦函數(shù)的定義不符. 四、課堂小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： （1）反正弦函數(shù)的定義； （2）反正弦函數(shù)的性質(zhì). 五、作業(yè)布置 （1）書上練習(xí)6.4(1)中的1、2、3、4 （2）思考題：求函數(shù)f（x）=2π-arcsin2x的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域. 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1．關(guān)于教學(xué)內(nèi)容 反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，對后繼課程的學(xué)習(xí)有著重要的作用，特別是在反三角函數(shù)中，反正弦函數(shù)有著模本的作用.而反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本節(jié)課與反函數(shù)的基本概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，通過對這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握反正弦函數(shù)的概念，又可使學(xué)生加深對反函數(shù)概念的理解，而且為學(xué)習(xí)其它反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，起到承上啟下的重要作用. 2．關(guān)于教學(xué)方法 為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)學(xué)生的自主式學(xué)習(xí)，我選用了啟發(fā)、自我探究的教學(xué)方式.在課堂教學(xué)過程中，始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析和概括，使學(xué)生能根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)備：已掌握三角函數(shù)的概念及性質(zhì)、反函數(shù)，自主探究反正弦函數(shù)及其性質(zhì).