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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1
1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
橢圓
雙曲線
拋物線
幾何條件
與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)
與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)
與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
圖形
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(a,0)
(0，b)
(a,0)
(0,0)
對稱軸
x軸，長軸長2a；
y軸，短軸長2b
x軸，實(shí)軸長2a；
y軸，虛軸長2b
x軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
(c,0)
c＝
(c,0)
c＝
(，0)
離心率
0
1，e＝
e＝1
準(zhǔn)線
x＝
x＝
x＝－
漸近線
y＝x
(1)曲線與方程：如果曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么，這條曲線叫做方程的曲線，這個(gè)方程叫做曲線的方程．
(2)圓錐曲線的共同特征：圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比是定值e；當(dāng)01時(shí)，圓錐曲線是雙曲線；當(dāng)e＝1時(shí)，圓錐曲線是拋物線．
3．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交．設(shè)直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，與圓錐曲線D的方程聯(lián)立可得(消去y)ax2＋bx＋c＝0(*)．
(1)當(dāng)a≠0時(shí)，若關(guān)于x的方程(*)的判別式Δ>0，則直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)；若Δ<0，則直線與圓錐曲線沒有交點(diǎn)；若Δ＝0，則直線與圓錐曲線相切．
(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若方程(*)有解，則直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)．
題型一 圓錐曲線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用
橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，往往體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化與化歸思想．圓錐曲線的幾何性質(zhì)包括橢圓、雙曲線、拋物線的對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率，雙曲線的漸近線，拋物線的準(zhǔn)線等內(nèi)容，主要考查這些性質(zhì)的理解記憶．
例1 如圖，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)；一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1k2＝1.
(1)解 由題意知，橢圓離心率為＝，得a＝c，又由以橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)，結(jié)合橢圓定義得2a＋2c＝4(＋1)，所以可解得a＝2，c＝2，故b2＝a2－c2＝4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
易得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
(2)證明 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則k1＝，k2＝，所以k1k2＝＝，
又點(diǎn)P(x0，y0)在雙曲線上，所以有－＝1，即y＝x－4，所以k1k2＝＝1.
跟蹤演練1 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B，O為原點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)．過F、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(m，n)．
(1)當(dāng)m＋n≤0時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍；
(2)當(dāng)(1)的條件下，橢圓的離心率最小時(shí)，若點(diǎn)D(b＋1,0)，(＋)的最小值為，求橢圓的方程．
解 (1)設(shè)半焦距為c.由題意得FC、BC的中垂線方程分別為x＝、y－＝，
于是圓心坐標(biāo)為.
所以m＋n＝＋≤0，即ab－bc＋b2－ac≤0，
即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，
于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2，
所以e2＝≥，即≤e＜1.
(2)由(1)知emin＝，a＝b＝c，
此時(shí)橢圓的方程為＋＝1，
設(shè)P(x，y)，則－c≤x≤c，
所以(＋)＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
當(dāng)c≥時(shí)，上式的最小值為c2－，即c2－＝，得c＝2；
當(dāng)0＜c＜時(shí)，上式的最小值為(c)2－c＋c2，即(c)2－c＋c2＝，
解得c＝，與0＜c＜矛盾，舍去．
綜上所述，橢圓的方程為＋＝1.
題型二 與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題
軌跡是動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，軌跡的條件可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來．求軌跡方程的基本方法是
(1)直接法求軌跡方程：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)條件列出方程；
(2)待定系數(shù)法求軌跡方程：根據(jù)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(3)定義法求軌跡方程：動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足圓錐曲線的定義；
(4)代入法求軌跡方程：動(dòng)點(diǎn)M(x，y)取決于已知曲線C上的點(diǎn)(x0，y0)的坐標(biāo)變化，根據(jù)兩者關(guān)系，得到x，y，x0，y0的關(guān)系式，用x，y表示x0，y0，代入曲線C的方程．
例2 如圖，已知線段AB＝4，動(dòng)圓O1與線段AB切于點(diǎn)C，且AC－BC＝2，過點(diǎn)A、B分別作圓O1的切線，兩切線交于點(diǎn)P，且P、O1均在AB的同側(cè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
解 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，B(2,0)，由切線長定理得
AC－BC＝PA－PB＝2<4，
∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(不包括頂點(diǎn))．
∵a＝，c＝2，∴b2＝2.
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2－y2＝2 (x>)．
跟蹤演練2 若動(dòng)圓P過點(diǎn)N(－2,0)，且與另一圓M：(x－2)2＋y2＝8相外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．
解 設(shè)P(x，y)，因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，
所以PN是該圓的半徑，
又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，
所以有PM＝PN＋2，即PM－PN＝2，
故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2，焦距MN為4的雙曲線的左支，
即a＝，c＝2，所以b＝＝，
從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為－＝1 (x≤－)．
題型三 圓錐曲線的綜合問題
圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題是圓錐曲線的綜合問題，它是解析法的應(yīng)用，它涉及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系．解這類問題的分析思想與方法是可循的，重要的是要善于掌握圓錐曲線知識縱向、橫向的聯(lián)系，努力提高解題能力．
例3 如圖，設(shè)A(a,0) (a>0)，B、C分別為x軸、y軸上的點(diǎn)，非零向量滿足：＝2，⊥.
(1)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
(2)設(shè)Q是曲線E上異于P的點(diǎn)，且＝0，求證：直線PQ過定點(diǎn)．
(1)解 設(shè)B(x0,0)，C(0，y0)，P(x，y)．
∵＝2，∴C是BP的中點(diǎn)，
∴
易知＝(－x0，y0)，＝(－a，y0)，
由⊥，即⊥，得ax0＋y＝0，
∴－ax＋y2＝0，即y2＝4ax.
又＝(2x，y)≠0，
∴P點(diǎn)的軌跡方程是y2＝4ax (a>0，x≠0)．
(2)證明 ∵＝0，∴OP⊥OQ，
顯然直線OP的斜率存在，且不為0，
∴可設(shè)直線OP：y＝kx，則直線OQ：y＝－x，
由 得P；
由 得Q＝(4ak2，－4ak)．
當(dāng)k＝1時(shí)，直線PQ的方程為x＝4a，過定點(diǎn)(4a,0)；
當(dāng)k≠1時(shí)，直線PQ的方程為＝，
整理得k(x－4a)＋(k2－1)y＝0，
∵k≠0，∴過定點(diǎn)(4a,0)．
綜上，直線PQ必過定點(diǎn)(4a,0)．
跟蹤演練3 如圖，已知A(－3p,0) (p>0)，B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足＝0，＝.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，A′(3p,0)，求直線A′E，A′F的斜率之和．
解 (1)設(shè)Q(x，y)，B(0，y0)，C(x0,0)，
則＝(x0，－y0)，＝(x－x0，y)，
∵＝，∴(x0，－y0)＝(x－x0，y)，
即x0＝，y0＝－.∴B，C.
又A(－3p,0)，∴＝，＝，
由＝0，得3px－y2＝0，
即y2＝4px.
∴Q點(diǎn)的軌跡方程為y2＝4px (p>0)．
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為y＝k(x＋3p) (k≠0)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．
聯(lián)立方程組
消去x，得y2－y＋3kp＝0.
∴y1y2＝12p2，
kA′E＋kA′F＝＋
＝，
又y＝4px1，y＝4px2，
∴kA′E＋kA′F＝.
由y1y2＝12p2，得kA′E＋kA′F＝0.
1．圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)．
2．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，高考對圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種：一個(gè)是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查；二是在填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進(jìn)行考查．
3．圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，高考對此進(jìn)行重點(diǎn)考查，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行交匯命題．
4．雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的
漸近線、拋物線的準(zhǔn)線，圓錐曲線的對稱軸等都是直線．高考不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進(jìn)行重點(diǎn)考查，考查方式既可以是填空題，也可以是解答題．
5．考綱對曲線與方程的要求是“了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系”，高考對曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在以利用圓錐曲線的定義和待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，以直接法、代入法等方法求圓錐曲線的方程．
6．高考對圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互交匯，高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運(yùn)用．
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1.doc
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