《機械優(yōu)化設(shè)計》復(fù)習(xí)題答案

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1、《機械優(yōu)化設(shè)計》復(fù)習(xí)題解答 一、填空題 1、用最速下降法求 f(X)=100(X2-xi2) 2+(1-xi) 2 的最優(yōu)解時，設(shè) X @ =[-0.5,0.5]T,第一 步迭代的搜索方向為 卜47,-50] 2、機械優(yōu)化設(shè)計采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是 尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。 3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下、任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。 4、應(yīng)用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和 終點，它們的函數(shù)值形成 高—低—高 趨勢。 5、包含n個設(shè)計變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。 1 6、函數(shù) —XTHX +BTX +C的梯度為B

2、o 2 7、設(shè)G為nM對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d, d1,滿足(dTGd1"。, 則d、d1之間存在共防關(guān)系。 8、 設(shè)計變量、 目標(biāo)函數(shù)、 約束條件 是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué) 模型的基本要素。 9、對于無約束二元函數(shù) f(X,X2),若在X0(X10,X20)點處取得極小值，其必要條件是 三0,充分條件是_!|則第1 k0正定 。 10、 K-T 條件可以敘述為在極值點處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各 約束函數(shù)梯度的非負線性組合。 11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)=x2-10x+36的極小點，初始搜索區(qū)間 [a,b] =[-10,10],經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)

3、間為 [-2.36 10]。 12、優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有 設(shè)計變量、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件。 1 13、牛頓法的搜索方向dk= 一Hkgk 其計算量工，且要求初始點在極小點 附近 位 置。 2 2 1 14、 將函數(shù) f(X)=x 12+X22-X1X2-10X1-4x2+60 表小成 1XTHX+BTX+C 的形式 酒 引匕+ E -4嗯]+60 。 15、存在矩陣H,向量d1,向量d2,當(dāng)滿足d1THd2=0,向量d1和向量d2是關(guān)于H共 腕。 16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因 子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點。

4、17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即求 最 優(yōu)步長 二、選擇題 1、下面C_方法需要求海賽矩陣。 A、最速下降法 B、共腕梯度法 C、牛頓型法 D、 DFP法 2、對于約束問題 2 2. . min f X =x1 x2 -4x2 4 ? 一 2 ， 一 g 1 X - xl - x2 - 1 - 0 g2 X =3” —0 g3 X =x2 -0 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 XD=[1,1]T為, X(2)=[5；]T 為。D A.內(nèi)點；內(nèi)點 B.外點；外點 C.內(nèi)點；外點 D.外點；內(nèi)點 3、內(nèi)點懲罰函數(shù)

5、法可用于求解 B優(yōu)化問題。 A無約束優(yōu)化問題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C只含有等式的優(yōu)化問題 D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a, b],中間插入兩個點以、b1, a1

6、代形式 B.擬牛頓條件 C.與海塞矩陣正交 D.對稱正定 7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的 A。 A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 8、下面四種無約束優(yōu)化方法中， 口在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二 階導(dǎo)數(shù)。 A梯度法 B牛頓法 C變尺度法 D坐標(biāo)輪換法 9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則 f(X)在R上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣 G(X)在R上處處Bo A 正定 B半正定 C負定 D半負定 10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法 ——黃金分割法的敘述，錯誤的是 D,

7、假設(shè)要 求在區(qū)I可［a, b］插入兩點 g、02,且01<0 A、其縮短率為0.618 B、on=b-入(b-a) C、 oi=a+入(b-a) D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。 11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值 5向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值 _B 方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 C方向。 A、上升 B、下降 C、不變 D、為零 12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點就是 B。 A、等值線族的一個共同中心 B、梯度為0的點 C、全局最優(yōu)解 D、海塞矩陣正定的點 13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為B向量。 A相切 B 正交 C成銳角

8、 D共腕 14、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是 A.。 A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。 B懲罰因子是不斷遞減的正值 C初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠的點。 D初始點必須在可行域內(nèi) 三、問答題（看講義） 1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別？ 2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？ 3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。 4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。 5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義, 并說明迭代公式的意義。 6、什么是共腕方向？滿足什么關(guān)系？共

9、腕與正交是什么關(guān)系? 四、解答題 1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5x 12+0.5X22-xix2-2xi的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=[-2 , 4]T, 選代精度e =0.02(迭代一步)。 解：首先計算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù) vf=p*xl-x2-2 L x2 - xl 計算當(dāng)前迭代點的 梯度向量值Vf(XClfl)) 一3 . 2 —4 — 2 4+2 ]=[ r-i2i 梯度法的搜索方向為 =一冊，因此在迭代點x(0)的搜索方向為[12, — 6]T 一 2 .4, 在此方向上新的迭代點為: -2 + 12g .4— 6c 把新的

10、迭代點帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量 Q的函數(shù)F( (/+□) = f([-4-6a11 = LS^2 +12靖 + 0 5(4 - 6a)2 - (-2 * 12a)(4 - 6a)- 2(-2 + 12a)^F(a) 令一尸二-ISO + 612c=0,可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長 □a a="^: 02941 17 新的迭代點為X唧+ftS =卜察’ 1223541 當(dāng)前梯度向量的長度 帆 F 制2+6x6=13領(lǐng)4 ＞『因此繼續(xù)進行迭代。 第一迭代步完成。 2、試用牛頓法求f( X )=(x i-2)2+(xi-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)

11、=[2,1]T。 解1:(注：題目出題不當(dāng)，初始點已經(jīng)是最優(yōu)點，解 2是修改題目后解法。) 牛頓法的搜索方向為 ，因此首先求出當(dāng)前迭代點x⑼ 的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣 啕= 4 * xl — 4*x2 — 4 . 8#x2 - 4*xl J v(f (避))=1： -L1 叫 1H ： LT w = Hi s=_?、?%(f) = o 不用搜索，當(dāng)前點就是最優(yōu)點。 解2:上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當(dāng)。以下修改求解 題目的初始點，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。 以非最優(yōu)點x(0)=[1,2「作為初始點，重新采用牛頓法計算 牛頓法的

12、搜索方向為 ，因此首先求出當(dāng)前迭代點x(0) 的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣 梯度函數(shù): 4*xl - 4*12 - 41 .8"2-圣拿 xl 1 初始點梯度向量: 暝明）喟 海色矩陣: 叫g(shù)匕: 海色矩陣逆矩陣: 當(dāng)前步的搜索方向為: 押=-的t砌=一甲’]L = 411 1111211 新的迭代點位于當(dāng)前的搜索方向上 、幽腔:夠胭= 力+心卜崗 把新的迭代點帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量 0的函數(shù)PM = a + 0a + 3?=附） 令-^=20a+ 20=0,可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長 新的迭代點為 加—寸閨喟 當(dāng)前梯

13、度向量的長度 |陽=也麗靛14M2X, 因此繼續(xù)進行迭代。 第二迭代步: xl — 4*x2 — 41 8 拿 x2 - 471 時(收))瑤］ ||Vf| = O

14、定)確認極值點 Pg：； 2=2>0 2 -21 A —g—4—4〉0 —2 4 因此正定，X, 嗯用 是極小點，極值為f(X*)=-8 4、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x 12+xix2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點。 解法同上 5、試證明函數(shù) f( X )=2x 12+5x22 +x32+2x3X2+2x3xi-6x2+3 在點[1 , 1, -2]T 處具有極小值。 解：必要條件： 4 * xl + 2 x3 , V(f)= 10*x2 + 2*x3- 6 12*xl + 2*x2 + 2 *x3. 將點[1, 1, -2『帶入上式，可得 v(Q

15、= o .0. 充分條件 [4 0 2 V2(f)= 0 10 2 .2 2 2. 日》II 。=40》。 101 4 0 2 0 10 2 = 80 — 40—16=24>0 2 2 2 因此函數(shù)在點[1, 1, -2]T處具有極小值 6、給定約束優(yōu)化問題 min f(X)=(x 1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)= — x12—x22 + 5>0 g2(X)= _ x1 _ 2x2 + 44 0 g3(X)= x 1 > 0 g4（X）=X 2>0 驗證在點X =[2, 1]T Kuhn-Tucker條件成立。 解：首先，找出在點X=[2,

16、 1]T起作用約束: gi（X） =0 g2（X） =0 g3（X） =2 g4（X） =1 因此起作用約束為gl（X）、g2（X） o 然后，計算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示 為起作用約束函數(shù)梯度的非負線性組合。 求解線性組合系數(shù) 昌+山國 得到入= 均大于0 3 3 因此在點X=[2, 1]T Kuhn-Tucker條件成立 7、設(shè)非線性規(guī)劃問題 一 - 2 2 m i n f(X) =(Xi -2) X2 st. g1(X)=X1—0 g2(X) =X2 -0 g3(X) =Xi2 -x2 1-0 用K-T條件驗證X* =

17、 1,0 T為其約束最優(yōu)點 解法同上 8、已知目標(biāo)函數(shù)為f（X）= X1+X2,受約束于: ，、八 2 、八 gi(X)=-xi +X2>0 g2(X)=X 1 冷 寫出內(nèi)點罰函數(shù)。 解： 內(nèi)點罰函數(shù)的一般公式為 P . min 〃⑴)=F(x)+r⑴〉2 -1-r =i 工R” 其中：r(1)>r(2) >r(3) >r(k) >0是一個遞減的正值數(shù)列 r(k) = Cr(k-1), 00 g

18、2(X)=2-X 1-X2>0 g3(X)=X 1 >0 g4(X)=X2>0 試寫出內(nèi)點罰函數(shù)。 解法同上 10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為 X的方塊并折轉(zhuǎn), 造一個無蓋的箱子，問如何截法(X取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu) 化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計此容器消耗原材 料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。 12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例 截斷鉛絲，才能使

19、圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型以 及用MATLAB軟件求解的程序。 13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型 以及用MATLAB軟件求解的程序。 14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽 ，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會使槽的斷面 積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型， 并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出 M文件和求解命令）。 15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為 c,高度為h,面積A=64516mm2,斜邊 與底邊的夾角為8,見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長 s的倒數(shù)成比例關(guān)系 （s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。 寫出 這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型。并用 matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出 M文件和求 解命令）。 16、某電線電纜車間生產(chǎn)力纜和話纜兩種產(chǎn)品。力纜每米需用材料 9kg, 3個工時，消 耗電能4kW h,可得利潤60元；話纜每米需用材料4kg, 10個工時，消耗電能5kW h, 可得利潤120元。若每天材料可供應(yīng)360kg,有300個工時消耗電能200kWh可利用。 如要獲得最大利潤，每天應(yīng)生產(chǎn)力纜、話纜各多少米？寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及 用MATLAB軟件求解的程序。