2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc
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2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 1.分類加法計(jì)數(shù)原理 分類加法計(jì)數(shù)原理:完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有____________種不同的方法. 推廣:完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,…,在第n類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有____________種不同的方法. 注意:任何一類中的任何一種方法都可以完成任務(wù),而不需要再用到其他方法. 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理:完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有____________種不同的方法. 推廣:完成一件事需要n個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,…,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事共有____________種不同的方法. 3.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系和區(qū)別 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題. 區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題,其中各類方法__________,用其中任何一種方法都可以完成這件事; 分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題,各個(gè)步驟中的方法相互依存,只有各個(gè)步驟__________才算完成這件事. 參考答案: 1. 2. 3.相互獨(dú)立都完成 重點(diǎn) 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念和應(yīng)用 難點(diǎn) 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 易錯(cuò) 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解時(shí),注意選準(zhǔn)分步的依據(jù) 一、分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 若所給問(wèn)題滿足下列三個(gè)特點(diǎn): (1)完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類; (2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事; (3)把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). 則這個(gè)問(wèn)題可以用分類加法計(jì)數(shù)原理解決. 【例1】某校高二共有三個(gè)班,各班人數(shù)如下表: 男生人數(shù) 女生人數(shù) 總?cè)藬?shù) 高二(1)班 30 20 50 高二(2)班 30 30 60 高二(3)班 35 20 55 (1)從三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法? (2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),有多少種不同的選法? 【解析】(1)從每個(gè)班選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席,共有3類不同的方案: 第1類,從高二(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法; 第2類,從高二(2)班中選出1名學(xué)生,有60種不同的選法; 第3類,從高二(3)班中選出1名學(xué)生,有55種不同的選法. (2)從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),共有3類不同的方案: 第1類,從高二(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法; 第2類,從高二(2)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法; 第3類,從高二(3)班女生中選出1名學(xué)生,有20種不同的選法. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),共有30+30+20=80種不同的選法. 二、分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 若所給問(wèn)題滿足下列三個(gè)特點(diǎn): (1)完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟,缺一不可; (2)完成每一步有若干方法; (3)把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). 則這個(gè)問(wèn)題可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決. 【例2】如圖,將圖中的四個(gè)區(qū)域涂色,有5種不同的顏色可供選擇,規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有______種. 【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的涂色方案有種. 【名師點(diǎn)睛】解答涂色問(wèn)題有兩種方法:(1)選擇正確的涂色順序,按步驟逐一涂色,這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù);(2)根據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)的多少,進(jìn)行分類處理,這時(shí)用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù).注意:“相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色”,找好不相鄰的區(qū)域是解題的關(guān)鍵.一般地,在分步涂色時(shí),要注意盡量讓相鄰區(qū)域多的區(qū)域先涂色. 三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 “分類”應(yīng)滿足:完成一件事的任何一種方法,必屬于且僅屬于其中某一類.“分步”應(yīng)滿足:完成一件事必須且只需連續(xù)完成若干步.在實(shí)際中,很多問(wèn)題都需要既分類又分步才能完成,解決這類問(wèn)題時(shí),一般先分類再分步.在分類和分步的過(guò)程中,要先明確分類和分步的標(biāo)準(zhǔn),以做到不重不漏. 【例3】用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字, ①可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼? ②可以排成多少個(gè)三位數(shù)? ③可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)? 【解析】①三位數(shù)字的電話號(hào)碼,首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個(gè)位置都有5種排法,共有555=53=125(種). ②三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮首位的排法,除0外共有4種方法,第二、三位可以排0,因此,共有455=100(種). ③被2整除的數(shù)即偶數(shù),末位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類, 一類是末位數(shù)字是0,則有43=12種排法; 一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法,即2或4,再排首位,因?yàn)?不能在首位,所以有3種排法,十位有3種排法,因此有233=18種排法. 因而有12+18=30種排法,即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù). 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于已知幾個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)、四位數(shù)等問(wèn)題,一般需利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解,注意:(1)數(shù)字中是否含有0,因?yàn)槿粩?shù)、四位數(shù)等的最高位數(shù)字不能為0;(2)組成的數(shù)是否允許數(shù)字重復(fù)出現(xiàn),這會(huì)影響數(shù)字的選擇. 四、未選準(zhǔn)分步依據(jù)致錯(cuò) 【例4】將4封信投入到3個(gè)信箱中,共有多少種不同的投法? 【錯(cuò)解】第1個(gè)信箱可能投1封信,2封信,3封信或4封信,共有4種投法; 同理,第2個(gè)信箱也有4種投法,第3個(gè)信箱也有4種投法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有種不同的投法. 【錯(cuò)因分析】要完成的一件事是“將4封信投入到3個(gè)信箱中”,且1封信只能投入1個(gè)信箱,錯(cuò)解中會(huì)出現(xiàn)1封信同時(shí)投入2個(gè)信箱或3個(gè)信箱的情況,這是不可能發(fā)生的.因此,分步的依據(jù)應(yīng)該是“信”,而不應(yīng)該是“信箱”. 【正解】第1封信可以投入3個(gè)信箱中的任意一個(gè),有3種投法; 同理,第2,3,4封信各有3種投法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有種投法. 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于一類元素允許重復(fù)選取的計(jì)數(shù)問(wèn)題,可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理來(lái)解決,求解的關(guān)鍵是明確要完成的一件事是什么.即用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的問(wèn)題時(shí),哪類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù).對(duì)于本題,若是將3封信投入到4個(gè)信箱中,則共有種不同的投法. 1.有不同的紅球5個(gè),不同的白球4個(gè).從中任意取出兩個(gè)不同顏色的球,則不同的取法有 A.9種B.16種 C.20種D.32種 2.某同學(xué)從4本不同的科普雜志,3本不同的文摘雜志,2本不同的娛樂(lè)新聞雜志中任選一本閱讀,則不同的選法共有 A.24種B.9種 C.3種D.26種 3.現(xiàn)給如圖所示的4個(gè)區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,共有3種顏色可供選擇,則不同的涂色方法共有 A.4種B.6種 C.8種D.12種 4.由組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有 A. 個(gè)B. 個(gè) C. 個(gè)D. 個(gè) 5.甲與其四位同事各有一輛私家車,車牌尾數(shù)分別是,為遵守當(dāng)?shù)啬吃氯罩寥仗斓南扌幸?guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),五人商議拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)為 A.5B.24 C.32D.64 6.一個(gè)三位數(shù)的密碼,每一位都由0~4的5個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成,則不同的密碼種數(shù)是_________(用數(shù)字作答). 7.如果把個(gè)位數(shù)是1,且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”,那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,“好數(shù)”共有_________個(gè)(用數(shù)字作答). 8.7人站成兩排隊(duì)列,前排3人,后排4人.現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列,前排加一人,后排加兩人,其他人保持相對(duì)位置不變,則不同的加入方法種數(shù)為_(kāi)________(用數(shù)字作答). 9.某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血,在體檢合格的人中,型血的共有28人,型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人. (1)從中任選1人去獻(xiàn)血,有多少種不同的選法? (2)從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血,有多少種不同的選法? 10.現(xiàn)有高一四個(gè)班的學(xué)生34人,其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組. (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人,有多少種不同的選法? (2)每班選一名組長(zhǎng),有多少種不同的選法? (3)推選兩人做發(fā)言,這兩人需來(lái)自不同的班級(jí),有多少種不同的選法? 11.用紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色為一個(gè)五棱錐的六個(gè)頂點(diǎn)著色,要求每一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)著不同的顏色,則不同的著色方案共有 A.120種B.140種 C.180種D.240種 12.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為_(kāi)_________. 13.回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè):11,22,33,?,99.3位回文數(shù)有90個(gè):101,111,121, ?,191,202, ?,999.則4位回文數(shù)有________個(gè);2n+1(n∈)位回文數(shù)有________個(gè). 14.不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為. 15.某印刷廠的7名工人中,有3人只會(huì)排版,2人只會(huì)印刷,還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷,現(xiàn)從7人中安排2人排版,2人印刷,有幾種不同的安排方法? 16.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 A.24B.18 C.12D.9 17.(xx安徽)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60的共有 A.24對(duì)B.30對(duì) C.48對(duì)D.60對(duì) 1.C 【解析】由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題,要取兩個(gè)不同顏色的球,首先取一個(gè)紅球,有5種結(jié)果,再取一個(gè)白球,有4種結(jié)果,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得到共有54=20種結(jié)果. 2.B 【解析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,不同的選法有4+3+2=9種,故選B. 3.B 【解析】首先給下面一個(gè)涂色,有三種涂色方法,再給上面的最左邊涂色,有兩種涂色方法,中間一塊只有一種涂色方法,右邊的一塊只有一種涂色方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得共有種不同的涂色方法. 4.B 【解析】分兩類:第一類,若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是,則有個(gè)偶數(shù);第二類,若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是,由于不排首位,因此首位只能排中的一個(gè),依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得個(gè)偶數(shù). 由分類加法計(jì)數(shù)原理,可得所有無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為,故選B . 5.D 【解析】日至日,分別為,有天奇數(shù)日,天偶數(shù)日, 第一步,安排奇數(shù)日出行,每天都有種選擇,共有種不同的用車方案; 第二步,安排偶數(shù)日出行,分兩類,第一類,先選天安排甲的車,另外一天安排其他的車,有種不同的用車方案;第二類,不安排甲的車,每天都有種選擇,共有種不同的用車方案,共有種不同的用車方案, 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,可得不同的用車方案共有種.故選D. 6.125 【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的密碼數(shù)有種. 7.12【解析】由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題,組成的數(shù)字含有三個(gè)1,三個(gè)2,三個(gè)3,三個(gè)4共4種情況, 當(dāng)含有三個(gè)1時(shí),“好數(shù)”為2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141; 當(dāng)含有三個(gè)2時(shí),“好數(shù)”為2221; 當(dāng)含有三個(gè)3時(shí),“好數(shù)”為3331; 當(dāng)含有三個(gè)4時(shí),“好數(shù)”為4441. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,得到“好數(shù)”共有12個(gè). 8.360 【解析】分三個(gè)步驟:第一步,先從甲、乙、丙三個(gè)人中選出一個(gè)人加入前排,有3種方法;第二步,將這個(gè)人加入前排的4個(gè)空位中,有4種方法;第三步,再依次將剩余兩人加入后排.先加入的一個(gè)人有5種方法,后加入的那個(gè)人有6種方法.由分步計(jì)數(shù)原理,可得不同的加入方法種數(shù)為. 9.【解析】從O型血的人中選1人有28種不同的選法,從A型血的人中選1人有7種不同的選法,從B型血的人中選1人有9種不同的選法,從AB型血的人中選1人有3種不同的選法. (1)任選1人去獻(xiàn)血,即無(wú)論選哪種血型的哪一個(gè)人,這件“任選1人去獻(xiàn)血”的事情都能完成,所以由分類加法計(jì)數(shù)原理,得共有28+7+9+3=47種不同的選法. (2)要從四種血型的人中各選1人,即要在每種血型的人中依次選出1人后,這件“各選1人去獻(xiàn)血”的事情才完成,所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有28793=5292種不同的選法. 10.【解析】(1)分四類: 第一類,從一班學(xué)生中選1人,有7種選法; 第二類,從二班學(xué)生中選1人,有8種選法; 第三類,從三班學(xué)生中選1人,有9種選法; 第四類,從四班學(xué)生中選1人,有10種選法. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,得共有N=7+8+9+10=34(種)不同的選法. (2)分四步:第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長(zhǎng). 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有N=78910=5040(種)不同的選法. (3)分六類,每類又分兩步: 第一類,從一、二班學(xué)生中各選1人,有78種不同的選法; 第二類,從一、三班學(xué)生中各選1人,有79種不同的選法; 第三類,從一、四班學(xué)生中各選1人,有710種不同的選法; 第四類,從二、三班學(xué)生中各選1人,有89種不同的選法; 第五類,從二、四班學(xué)生中各選1人,有810種不同的選法; 第六類,從三、四班學(xué)生中各選1人,有910種不同的選法. 所以,共有N=78+79+710+89+810+910=431(種)不同的選法. 11.A 【解析】設(shè)五棱錐S-ABCDE,先涂頂點(diǎn)S有4種不同的方法;接著涂頂點(diǎn)A只有3種不同的方法;再接著涂頂點(diǎn)B有2種不同的方法;再涂C點(diǎn)時(shí),若C與A的顏色相同,則D有2種不同的涂法,E只有1種涂法,若C與A的顏色不相同,C只有1種涂法,若D與A的顏色相同,E有2種不同的涂法;若D與A的顏色不相同,則E只有1種涂法, 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,不同的著色方案共有432[121+1(12+11)]= 120種. 12.【解析】由題意知m的可能取值為1,2,3,…,7;n的可能取值為1,2,3,…,9.由于是任取m,n,則若m=1,n可取1,2,3,…,9,共9種情況;同理,m取2,3,…,7時(shí),n也有9種情況,故m,n的取值情況共有79=63種.若m,n都取奇數(shù),則m的取值為1,3,5,7,n的取值為1,3,5,7,9,因此滿足條件的情形有45=20種.故所求概率為. 13.90; 910n 【解析】4位回文數(shù)的特點(diǎn)為中間兩位相同,千位和個(gè)位相同但不能為0. 第一步,選千位數(shù)字,共有9種選法;第二步,選中間兩位數(shù)字,有10種選法,故4位回文數(shù)有9. 對(duì)于2n+1(n∈)位回文數(shù),第一步,選左邊第一個(gè)數(shù)字,共有9種選法;第二步,分別選左邊第2,3,4,…,n,n+1個(gè)數(shù)字,共有10種選法,故2n+1(n∈)位回文數(shù)有9 14.【解析】令,則,這時(shí)共種可能;若,則,這時(shí)共種可能;若,則,這時(shí)共種可能;…;若,共種可能.所以共有種可能;若則,共有種可能;同理,若則,共有11種可能;若則,共有種可能,這樣共有種可能. 另外,還有三種可能,所以總共有種可能,故不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為,應(yīng)填. 15.【解析】首先分類的標(biāo)準(zhǔn)要正確,可以選擇“只會(huì)排版”、“只會(huì)印刷”、“既會(huì)排版又會(huì)印刷”中的一個(gè)作為分類的標(biāo)準(zhǔn).下面選擇“既會(huì)排版又會(huì)印刷”作為分類的標(biāo)準(zhǔn),按照被選出的人數(shù),可將問(wèn)題分為三類:第一類:2人全不被選出,即從只會(huì)排版的3人中選2人,有3種選法;只會(huì)印刷的2人全被選出,有1種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有31=3種選法.第二類:2人中被選出一人,有2種選法.若此人去排版,則再?gòu)臅?huì)排版的3人中選1人,有3種選法,只會(huì)印刷的2人全被選出,有1種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有231=6種選法;若此人去印刷,則再?gòu)臅?huì)印刷的2人中選1人,有2種選法,從會(huì)排版的3人中選2人,有3種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有232=12種選法.再由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有6+12=18種選法.第三類:2人全被選出,同理共有16種選法.所以共有3+18+16=37種選法. 16.B【解析】由題意,小明從街道的E處出發(fā)到F處最短路徑的條數(shù)為6,再?gòu)腇處到G處最短路徑的條數(shù)為3,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為,故選B. 17.C 【解析】如圖,在上底面中選,四個(gè)側(cè)面中的面對(duì)角線都與它成60,共8對(duì),同樣對(duì)應(yīng)的也有8對(duì),下底面也有16對(duì),這共有32對(duì);左右側(cè)面與前后側(cè)面中共有16對(duì).所以全部共有48對(duì).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課時(shí)訓(xùn)練 新人教A版選修2-3 2019 年高 數(shù)學(xué) 計(jì)數(shù) 原理 分類 加法 分步 乘法 課時(shí) 訓(xùn)練 新人 選修
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