2019-2020年高三數(shù)學(xué)上 14.3《空間直線和平面的位置關(guān)系》教案（1）（滬教版）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上 14.3《空間直線和平面的位置關(guān)系》教案（1）（滬教版） 一、教學(xué)內(nèi)容分析 空間直線和平面的位置關(guān)系及其表示法是空間幾何的語(yǔ)言基礎(chǔ)，也是進(jìn)行空間幾何研究的起點(diǎn). 14.3空間直線和平面的位置關(guān)系（1）是在學(xué)習(xí)了空間直線和直線的位置關(guān)系之后,進(jìn)一步探索空間直線和平面的特殊位置關(guān)系之一 —— 直線和平面垂直. 課本通過(guò)觀察旗桿是否直立在地面上的問(wèn)題,要求學(xué)生能理解空間直線和平面垂直的含義及其表示法，歸納出空間直線和平面垂直的定理. 通過(guò)圖14-18，要求學(xué)生會(huì)用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表述這種位置關(guān)系. 通過(guò)圖14-1的長(zhǎng)方體，要求能運(yùn)用空間直線和平面垂直的定義及定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)出幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴(yán)謹(jǐn)性, 通過(guò)例1，要求學(xué)生能理解異面直線間的距離、點(diǎn)和平面的距離的概念，知道直線和平面的距離、平面和平面的距離的含義及其與點(diǎn)和平面的距離的轉(zhuǎn)化關(guān)系，會(huì)在簡(jiǎn)單圖形中進(jìn)行有關(guān)距離的確定與計(jì)算. 空間直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時(shí)它又是點(diǎn)、直線、平面和平面之間的距離以及直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 在通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)，探索直線和平面垂直的位置關(guān)系的過(guò)程中，理解空間直線和平面垂直的含義，會(huì)用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表述這種位置關(guān)系，理解空間直線和平面垂直的定義及定理，體會(huì)幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展空間想象力和邏輯思維能力，理解異面直線間的距離、點(diǎn)和平面的距離的概念，知道直線和平面的距離、平面和平面的距離的含義及其與點(diǎn)和平面的距離的轉(zhuǎn)化關(guān)系，體會(huì)化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 空間直線和平面垂直的定義、定理及其表示法，幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴(yán)謹(jǐn)性，空間距離的確定與計(jì)算. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 投影儀，多媒體課件 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 鞏固 探究 引入 作業(yè) 總結(jié) 應(yīng)用 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一、情景引入 引例:簡(jiǎn)述下列問(wèn)題的結(jié)論，并畫圖說(shuō)明： （1）直線，直線，則和的位置關(guān)系如何？ （2）直線，直線，則和的位置關(guān)系如何？ 解：（1）；（2）. [說(shuō)明] （1）引導(dǎo)學(xué)生掌握空間直線與平面的各種位置關(guān)系，學(xué)會(huì)各種位置關(guān)系的畫法與表示方法.注意立體幾何中，文字、符號(hào)語(yǔ)言與圖形直觀的互相轉(zhuǎn)化. （2）小結(jié)空間直線和平面的位置關(guān)系 [說(shuō)明]同時(shí)用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言表述這些位置關(guān)系. 今天我們來(lái)探索空間直線和平面相交中的一種特殊位置關(guān)系 ——直線和平面垂直 二、學(xué)習(xí)新課 問(wèn)題1：在日常生活中你見到最多的直線與平面垂直的情形是什么？請(qǐng)舉例說(shuō)明. [說(shuō)明]引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見的直線與平面垂直的例子，如旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系等. 問(wèn)題2： 結(jié)合對(duì)下列問(wèn)題的思考，討論能否用一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的直線，來(lái)定義這條直線和這個(gè)平面垂直呢？ 圖1 A B C B’ C’ （1）如圖1，陽(yáng)光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么？隨著太陽(yáng)的移動(dòng)，旗桿AB與影子BC所成的角度會(huì)發(fā)生改變嗎? 圖2 A B （2）旗桿AB與地面上任意一條不過(guò)旗桿底部B的直線B′C′的位置關(guān)系又是什么？依據(jù)是什么？由此得到什么結(jié)論？ （3）如圖2，當(dāng)旗桿AB傾斜時(shí)，還能保證AB與地面上的任一直線都垂直嗎？ [說(shuō)明]（1）引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”與“降維”的思想來(lái)思考問(wèn)題，通過(guò)觀察思考，感知直線與平面垂直的內(nèi)涵. （2）教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時(shí)間的變化而移動(dòng)的過(guò)程，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)異面直線所成角的概念得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的任意一條直線都垂直. （3）通過(guò)觀察、思考與討論，讓學(xué)生感悟“一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”是這條直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵. 還可引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例（如表示直線的筆與表示平面的桌面的位置關(guān)系）和幾何模型（如棱錐、棱臺(tái)的側(cè)棱與底面的位置關(guān)系等），從中感知：只要平面外的直線不垂直于這個(gè)平面，平面內(nèi)就有直線與平面外的這條直線不垂直，反之亦然. （4）讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義.教師補(bǔ)充完善，同時(shí)給出直線與平面垂直的記法與畫法. 定義：一般地，如果一條直線l與平面α上的任何直線都垂直，那么我們就說(shuō)直線 l與平面α垂直（line perpendicular to plane α），記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線（perpendicular line），平面α叫做直線l的垂面．l與面α的交點(diǎn)叫做垂足. α l P 圖3 畫法：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖3. 辨析1：下列命題是否正確？為什么？ （1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直. （2）如果一條直線垂直一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線. [說(shuō)明]通過(guò)問(wèn)題辨析，加深概念的理解.由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思.而（2）給出了直線與直線垂直的一種判定方法. 引導(dǎo)學(xué)生給出命題（2）的符號(hào)表示： 問(wèn)題3：通常定義可以作為判定的依據(jù)，那么用上述定義判定直線與平面垂直是否方便？為什么？如何改進(jìn)？ [說(shuō)明]感受用定義作判斷不方便，引發(fā)學(xué)生探索判定定理的需要，體會(huì)有限與無(wú)限的辨證關(guān)系. D C B A 圖4 引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對(duì)兩條相交情形，可引導(dǎo)學(xué)生觀察直立地面的棋桿與其在地面的影子，還可進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)：如圖4，請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來(lái)做一個(gè)試驗(yàn)：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）. 問(wèn)題4：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么結(jié)論？ [說(shuō)明]通過(guò)折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕娥AD是BC邊上的高，即AD⊥BC時(shí)翻折后的折痕AD與桌面垂直. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的本質(zhì)特征： AD是BC邊上的高時(shí)，無(wú)論怎樣翻折，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD，同時(shí)CD、BD是兩相交直線不變，這就是說(shuō)，當(dāng)AD垂直于桌面內(nèi)的兩條相交直線CD、BD時(shí)，它就垂直于桌面所在的平面. 定理2：如果直線與平面上的兩條相交直線、都垂直，那么直線與平面垂直. 用符號(hào)語(yǔ)言表示為： 辨析2：（1）下列命題是否正確？為什么？ 如果一條直線與一個(gè)平行四邊形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于平行四邊形所在的平面. 圖5 o （2）如圖5,若α內(nèi)兩條相交直線m、n與l無(wú)公共點(diǎn)且l⊥m、l⊥n，直線l還垂直平面α嗎？ [說(shuō)明] 通過(guò)辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線與一個(gè)平面是否垂直,取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無(wú)關(guān)緊要的.所謂：“線不在多，相交則靈”. 三、鞏固練習(xí) 例1：如圖,觀察跨欄、跳高架，你認(rèn)為跨欄的支架、跳高架的立竿能豎直立于地面的原因是什么? [說(shuō)明]用學(xué)習(xí)到的知識(shí)解釋實(shí)際生活中的問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，深化對(duì)直線與平面垂直定理的理解. a b\b 圖6 α 例2：如圖6，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α. [說(shuō)明]初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的定理與定義解決問(wèn)題，明確運(yùn)用線面垂直定理時(shí)的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件.讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果給出了直線和平面垂直的又一個(gè)判定方法. 圖7 C D A B1 B D1 A1 C1 E F 例3：（1）如圖7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，判斷下列結(jié)論是否正確： ①AC⊥面CDD1C1 ②A A 1⊥面A1B1C1D1 ③AC⊥面BDD1B1 ④ EF⊥面BDD1B1 ⑤ AC⊥BD1 （2）將（1）中正方體改成長(zhǎng)方體呢，以上結(jié)論是否正確？ [說(shuō)明]利用所學(xué)知識(shí)解決直線與平面垂直的有關(guān)問(wèn)題，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的作用.其中①是定義的應(yīng)用，②是定理的應(yīng)用，④是思考題2結(jié)論的應(yīng)用，③⑤是定理與定義的綜合應(yīng)用. 四、應(yīng)用 應(yīng)用之一是利用直線與平面垂直的定義、定理進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴(yán)謹(jǐn)性. 我們繼續(xù)研究圖7 例4:如圖7, 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，，連接，求證: [說(shuō)明]要證線線垂直，可找線面垂直，反之亦然.即： 直線與直線垂直 直線與平面垂直 這是立體幾何證明垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法.除此之外，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系通過(guò)計(jì)算找線線垂直，如勾股定理等，有時(shí)會(huì)利用平面幾何的性質(zhì)，如等腰三角形底邊上的三線合一等等. 應(yīng)用之二是利用直線與平面垂直的定義、定理解決一些度量問(wèn)題，如角、距離等，我們現(xiàn)在來(lái)探究距離的度量問(wèn)題. 問(wèn)題5：你能舉例說(shuō)明距離在日常生活中的重要性嗎？ [說(shuō)明] 引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見的需要測(cè)量距離的例子，如為了有合適的照明，需要確定吊燈與桌面的距離；為了保證安全，高壓線離地面需要相當(dāng)?shù)木嚯x；為了購(gòu)買家具，需要知道天花板與地面的距離等等，體驗(yàn)探究距離的必要性， 距離定義： （1）點(diǎn)和平面的距離：過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，我們把點(diǎn)到垂足之間的距離叫做點(diǎn)和平面的距離. （2）直線和平面的距離：設(shè)直線平行于平面．在直線上任取一點(diǎn)，我們把點(diǎn)到平面的距離叫做直線和平面的距離. （3）設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點(diǎn)，我們把點(diǎn)到平面的距離叫做平面和平面的距離. （4）異面直線和的距離：設(shè)直線和是異面直線，當(dāng)點(diǎn)、分別在和上，且直線既垂直于直線，又垂直于直線時(shí)，我們把直線叫做異面直線和公垂線，，垂足、之間的距離叫做異面直線和的距離. [說(shuō)明]立體幾何中，求距離的關(guān)鍵是化歸，即空間距離向平面距離的化歸，體現(xiàn)了“降維”的思想. 我們繼續(xù)研究圖7 圖7 C D A B1 B D1 A1 C1 E F 例5：如圖7, 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，和的長(zhǎng)分別為和. （1）求點(diǎn)和點(diǎn)的距離； （2）求點(diǎn)到棱的距離； （3）求棱和平面的距離； （4）求異面直線和的距離. [說(shuō)明]求距離的基本步驟是作、證、算，此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過(guò)程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過(guò)程的延續(xù).因此求距離的關(guān)鍵是直線與平面位置關(guān)系的論證. 四、課堂小結(jié) （1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的方法？ （2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？ （3）你會(huì)利用直線與平面垂直的定義和定理找到點(diǎn)、線、面的距離并計(jì)算嗎？ 五、作業(yè)布置 1、點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO⊥平面ABCD. 題3 A D C B A’ B’ C’ D’ 2、探究題：如圖，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時(shí)， A′C⊥B′D′？ 3、課本P14 練習(xí) 4．AB是⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，AB＝2，AC＝1， P為⊙O所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥⊙O， PB與平面所成角為45 （1）證明：BC⊥平面PAC ； （2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離． [說(shuō)明]通過(guò)訓(xùn)練，鞏固本課所學(xué)知識(shí)，檢測(cè)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.其中第1題主要運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理，第2、是活用直線與平面垂直的定義與判定定理.第3、4題是利用直線與平面垂直的定義與判定定理找到點(diǎn)、線、面的距離并計(jì)算. 六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 空間直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時(shí)它又是點(diǎn)、直線、平面和平面之間的距離以及直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一. 在探索空間直線與平面垂直的定義及判定定理時(shí)，注意從具體實(shí)例出發(fā)，通過(guò)觀察、思考與討論，讓學(xué)生感悟“一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”是這條直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵.引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對(duì)兩條相交情形，通過(guò)折紙活動(dòng)進(jìn)行討論，再通過(guò)辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線與一個(gè)平面是否垂直,取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無(wú)關(guān)緊要的.所謂：“線不在多，相交則靈”.在這個(gè)過(guò)程中，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、歸納、總結(jié)出相關(guān)概念，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用， 在應(yīng)用定義和定理證明空間直線與平面垂直的過(guò)程中，注意引導(dǎo)學(xué)生把在直線和平面關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的關(guān)系，滲透轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.這種轉(zhuǎn)化思想同樣要滲透在求直線和平面、平面和平面之間的距離中，它們都可轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)和平面的距離. 空間直線與平面垂直的問(wèn)題是立體幾何中一個(gè)基本的問(wèn)題，在后面的多面體學(xué)習(xí)中會(huì)繼續(xù)涉及，因此，教學(xué)中要注意把握好“度”.所選例題和習(xí)題都不宜太難.同時(shí)，應(yīng)注重思維過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性，無(wú)論是判斷、證明，都要緊扣定義和定理.