2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第85課時(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算教案.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第85課時(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算教案 一．教學(xué)目標(biāo)： 掌握復(fù)數(shù)的基本題型，主要是討論復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)相等，復(fù)數(shù)的幾何表示，計(jì)算復(fù)數(shù)模，共軛復(fù)數(shù)，解復(fù)數(shù)方程等。 二．教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何表示，計(jì)算復(fù)數(shù)模，共軛復(fù)數(shù)，解復(fù)數(shù)方程等。 三．教學(xué)過程： （一）主要知識(shí)： 1．共軛復(fù)數(shù)規(guī)律，； 2．復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律 （1）i=1，i=i，i=1，i=i； （3）iiii=1，i＋i＋i＋i=0； ； 3．輻角的運(yùn)算規(guī)律 （1）Arg（zz）＝Argz＋Argz （3）Arg=nArgz（n∈N） …，n1。 或z∈R。 要條件是|z|＝|a|。 （6）zz≠0，則 4．根的規(guī)律：復(fù)系數(shù)一元n次方程有且只有n個(gè)根，實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)共軛出現(xiàn)。 5．求最值時(shí)，除了代數(shù)、三角的常規(guī)方法外，還需注意幾何法及不等式 ||z||z||≤|zz|≤|z|+|z|的運(yùn)用。 即|zz|≤|z|+|z|等號(hào)成立的條件是：z，z所對(duì)應(yīng)的向量共線且同向。 |zz|≥|z||z|等號(hào)成立的條件是：z，z所對(duì)立的向量共線且異向。 （二）范例分析 Ⅰ.xx年高考數(shù)學(xué)題選 1.（xx高考數(shù)學(xué)試題（浙江卷，6））已知復(fù)數(shù)z1=3+4i, z2=t+i, 且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t=( ) A． B． C．- D．- 2.(xx年北京春季卷，2)當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.(xx年北京卷，2）滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 ( C ) A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓 Ⅱ.主要的思想方法和典型例題分析： 1．化歸思想 復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、向量及三角表示，把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、三角、平面幾何和解析幾何有機(jī)地聯(lián)系在一起，這就保證了可將復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)、三角、幾何問題。反之亦然。這種化歸的思想方法應(yīng)貫穿復(fù)數(shù)的始終。 【分析】這是解答題，由于出現(xiàn)了復(fù)數(shù)和，宜統(tǒng)一形式，正面求解。 解法一、設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），原方程即為 用復(fù)數(shù)相等的定義得： ∴=1，=1+3i. 兩邊取模，得： 代入①式得原方程的解是=1，=1+3i. 【例2】（1993全國(guó)理）設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ＋isinθ（0＜ 【解】∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ＋isin4θ 即，又∵0＜θ＜π，當(dāng)時(shí)，或 【說明】此題轉(zhuǎn)化為三角問題來(lái)研究，自然、方便。 【例3】設(shè)a，b，x，y∈R+，且（r＞0）， 求證： 分析令=ax+byi，==bx+ayi（a，b，x，y∈R+），則問題化歸為證明： ||+||≥r（a+b）。 證明設(shè)=ax+byi，=bx＋ayi（a，b，x，y∈R+），則 =|（a+b）x+（a＋b）yi|=|（a＋b）（x+yi）|＝（a＋b）r。 解如圖所示，設(shè)點(diǎn)Q，P，A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 即（x3a+yi）（i）＝（x3a+yi） 由復(fù)數(shù)相等的定義得 而點(diǎn)（x，y）在雙曲線上，可知點(diǎn)P的軌跡方程為 【說明】將復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)、三角、幾何問題順理成章，而將實(shí)數(shù)、三角、幾何問題化歸為復(fù)數(shù)問題，就要有較強(qiáng)的聯(lián)想能力和跳躍性思維能力，善于根據(jù)題設(shè)構(gòu)造恰到好處的復(fù)數(shù)，可使問題迎刃而解。 2．分類討論思想 分類討論是一種重要的解題策略和方法。在復(fù)數(shù)中它能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，從而化整為零，各個(gè)擊破。高考復(fù)數(shù)考題中經(jīng)常用到這種分類討論思想方法。 【例5】（1990全國(guó)理）設(shè)a≥0，在復(fù)數(shù)集C中解方程z＋2|z|=a。 分析一般的思路是設(shè)z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z＋2|z|=a轉(zhuǎn)化為z=a2|z|，則z∈R。從而z為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)，這樣再分別求解就方便了。 總之，是一個(gè)需要討論的問題。 【解】解法一∵z=a2|z|∈R，∴z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)。 ∴問題可分為兩種情況： （1）若z∈R，則原方程即為|z|+2|z|a=0， （2）若z為純虛數(shù)，設(shè)z=yi（y∈R且y≠0），則原方程即為|y|2|y|＋a=0 當(dāng)a=0時(shí)，|y|=2即z=2i。 當(dāng)0＜a≤1時(shí)， 當(dāng)a＞1時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即此時(shí)原方程無(wú)純虛數(shù)解。 綜上所述，原方程： 當(dāng)a=0時(shí)，解為z＝0或z=2i 解法二設(shè)z=x＋yi，x，y∈R，將原方程轉(zhuǎn)化為 3．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 數(shù)與形是數(shù)學(xué)主要研究?jī)?nèi)容，兩者之間有著緊密的聯(lián)系和互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的廣闊前景，復(fù)平面的有關(guān)試題正是它的具體表現(xiàn)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想與方法解題是高考考查的熱點(diǎn)之一，應(yīng)引起注意。 【例6】已知|z|=1，且z+z＝1，求z。 【解】由z+z=1聯(lián)想復(fù)數(shù)加法的幾何性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)z，z，1所對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)A，B，C及原點(diǎn)O構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，如圖所示， 【說明】這樣巧妙地運(yùn)用聯(lián)想思維，以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，提煉和強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。 【例7】復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，O為原點(diǎn)，△AOB是面積為的直角三角形，argz∈(0，)，求復(fù)數(shù)z的值． 【分析】哪一個(gè)角為直角，不清楚，需要討論． 【解】因|OA|=|z|＞||=|OB|，故∠A不可能是直角，因而可能∠AOB=90或∠ABO=90． 若∠AOB=90，示意圖如圖1所示．因z與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故argz=45, x O A B y 圖1 S△AOB=|OA||OB|=|z|||=|z|2=．于是，|z|=2， 從而，z=2(cos45+isin45)=+i． x O A B y 圖2 若∠ABO=90，示意圖如圖2所示．因z與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且∠AOB＜90，故argz=θ＜45． 令z=r(cosθ+isinθ)，則 cos2θ==，sin2θ=，S△AOB=|OA||OB|sin2θ =rr=r2=． 于是，r=． 又cosθ==， sinθ==， 故z=(+i)=2+i． 綜上所述，z=+i或z=2+i． 【說明】①解題關(guān)鍵點(diǎn)：正確地對(duì)直角的情況進(jìn)行分類討論，正確地理解復(fù)數(shù)的幾何意義，作出滿足條件的示意圖． ②解題規(guī)律：復(fù)數(shù)的幾何意義來(lái)源于復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)與復(fù)平面上的點(diǎn)(a，b)之間的一一對(duì)應(yīng)，它溝通了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合思想的典型表示． ③解題技巧：復(fù)數(shù)z與它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱． ④這樣巧妙地以形譯數(shù)，數(shù)形結(jié)合，不需要計(jì)算就解決了問題，充分顯示了數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的作用。 4．集合對(duì)應(yīng)思想 【例8】如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)有三點(diǎn)P，P，P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) 應(yīng)的復(fù)數(shù)為a，2a，3a，且它們有相同的輻角主值θ（如圖所示），即A，P，P，P共線。 從而2sinθ＝2 因此有a=2i。 5．整體處理思想 解復(fù)數(shù)問題中，學(xué)生往往不加分析地用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式解題。這樣常常給解題帶來(lái)繁瑣的運(yùn)算，導(dǎo)致解題思路受阻。因此在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中，有必要提煉和強(qiáng)化整體處理的思想方法，居高臨下地把握問題的全局，完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，獲得解題的捷徑，從而提高解題的靈活性及變通性。 【例9】已知z=2i，求z3z＋z+5z＋2的值。 【分析】如果直接代入，顯然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考，可將條件轉(zhuǎn)化為（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為z3z＋z+5z＋2=（z4z＋5）（z＋z）+2，然后代入就不困難了。 【解】∵z=2i，∴（z2）=（i）=1 即z4z+5=0 ∴z3z＋z+5z＋2=（z4z+5）（z＋z）+2=2。 【例10】已知，求。 【解】解由條件得 【說明】把題中一些組合式子視作一個(gè)“整體”，并把這個(gè)“整體”直接代入另一個(gè)式子，可避免由局部運(yùn)算帶來(lái)的麻煩。 【例11】復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)z的軌跡方程為：|zz|＝|z|，z≠0，另一動(dòng)點(diǎn)z滿足zz=1，求點(diǎn)z的軌跡。 解由|zz|＝|z|，知點(diǎn)z的軌跡為連結(jié)原點(diǎn)O和定點(diǎn)z的線段的垂直平分線。 將此式整體代入點(diǎn)z1的方程，得 的圓（除去原點(diǎn)）。 【例12】設(shè)z∈c，a≥0，解方程z|z|＋az＋i=0。 邊取模，得 【說明】解復(fù)數(shù)方程，可通過整體取模，化為實(shí)數(shù)方程求解。 綜上所述，解答復(fù)數(shù)問題，應(yīng)注意從整體上去觀察分析題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，挖掘問題潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，充分利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、共軛復(fù)數(shù)與模的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的幾何意義以及一些變形技巧，對(duì)問題進(jìn)行整體化處理，可進(jìn)一步提高靈活、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。 6．有關(guān)最值問題的多角度思考 【例13】復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。 解法一|z|=1，∴z=cosθ＋isinθ ∴|2zz+1|=|2（cosθ＋isinθ）（cosθ＋isinθ）＋1| =|（2cos2θcosθ＋1）＋（2sin2θsinθ）i| ∴|2zz+1|=|2zz+| 設(shè)z的實(shí)部為a，則1≤a≤1 |2zz+1|=|2a＋z1| ， ∴|2zz+1|=4 解法三：設(shè)ω=x+yi（x，y∈R），z=a＋bi（a，b∈r）且a+b=1， 這說明ω對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是如圖所示的橢圓，問題轉(zhuǎn)化為求該橢圓上各點(diǎn)中與原點(diǎn)距離的最大值和最小值。 時(shí)的圓的半徑。 得8x2x＋89r＝0， 由相內(nèi)切條件知Δ=0, 解法四由模不等式： |2zz+1|≤2|z|＋|z|+1=4，等號(hào)成立的條件是2z，z，1所對(duì)應(yīng)的向量共線且同向，可知z是負(fù)實(shí)數(shù)，在|z|=1的條件下，z=-1 ∴當(dāng)z=1時(shí)|2zz+1|=4。 但另一方面：|2zz+1|≥2|z||z|1=0，這是顯然成立的，可是這不能由此確定|2zz+1|=0，實(shí)際上等號(hào)成立的條件應(yīng)為2z，z，1表示的向量共線且異向，由2z與1對(duì)應(yīng)的向量共線且異向知z=i，但是當(dāng)z=i時(shí)，2z與z不共線，這表明|2zz+1|的最小值不是0。 以上這種求最小值的錯(cuò)誤想法和解法是學(xué)生易犯的錯(cuò)誤，此部分內(nèi)容既為重點(diǎn)也為難點(diǎn)，應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)說明，并舉例，切記取等號(hào)的條件。 【例14】xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(理18) 已知復(fù)數(shù)z1＝i(1—i)3． (Ⅰ)求argz1及|z|； (Ⅱ)當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，求|z—z1|的最大值． 【分析】本小題考查復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)和基本運(yùn)算，以及分析問題和解決問題的能力． 【解】(Ⅰ) ∴，|z1|＝． (Ⅱ)設(shè)，則 當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而得到的最大值為． 四．課后作業(yè)： 1、下列命題中正確的是 [ ] A．方程|z+5||z5i|=8的圖形是雙曲線 B．方程|z+5|=8的圖形是雙曲線 C．方程|z+5i||z5i|=8的圖形是雙曲線的兩支 D．方程|z+5i||z5i|=8的圖形是雙曲線靠近焦點(diǎn)F(0，5)的一支 2、方程的圖形是 [ ] A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線 3、在復(fù)平面上繪出下列圖形： 4、已知是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)。 (1)求z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)A的軌跡； (2)設(shè)u=3iz+1，求u對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)B的軌跡； （3）設(shè)，求對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡。 5、設(shè)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z，z，z滿足 (1)證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形； (2)求S△ABC； 6、若，求所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的集合表示的圖形，并求其面積． 7．設(shè)z1，z2是兩個(gè)虛數(shù)，且z1+z2=-3，|z1|+|z2|=4．若θ1=argz1，θ2=argz2，求cos(θ1-θ2)的最大值． 8．（xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海理17）） 已知復(fù)數(shù)z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1z2|的最大值和最小值. 四、專題訓(xùn)練參考答案 1、解：DA的圖形是直線，B的圖形是圓，C是圖形是雙曲線的一去．故選D．||z+5i|-|z-5i||=8才是雙曲線的兩支． 2、解：A原方程即|z(2+i)|=7．故選A． 3、解： 4、解：（1）因?yàn)閦是虛數(shù)，所以，于是，即，且，因此動(dòng)點(diǎn)A軌跡是中心在原點(diǎn)，半徑等于2的圓，但去掉兩個(gè)點(diǎn)(2，0)與(2，0)． (2)由u=3iz+1得u1=3iz．由(1)及題設(shè)知|z|=2，z≠2，所以 |u1|=6，且u1≠6i 因此動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是圓，中心在(1，0)，半徑等于6，但去掉兩點(diǎn)(1，6)與(1，6)． (3)設(shè)z=2(cosθ+isinθ)，(θ≠0，π)則 再令v=x+yi(x，y∈R)，則 5、解：(1)由(ii)知A，B，C三點(diǎn)都在單位圓上．再結(jié)合(i)得 z=(z+z) 設(shè)BC中點(diǎn)為D，它對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為z，那么 由于正三角形的外接圓與內(nèi)切圓的圓心合一，因此△ABC的內(nèi)切圓圓心 6、 因此動(dòng)點(diǎn)A的圖形是一個(gè)圓環(huán)．設(shè)此圓環(huán)面積為S，那么 7．解：設(shè)|z1|=r，則|z2|=4-r(0＜r＜4)．將z1=r(cosθ1+isinθ1)，z2=(4–r)(cosθ2+isinθ2)，代入z1+z2=-3，得 兩式平方相加，得r2+(4-r)2+2r(4-r)(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)=9， 于是cos(θ1-θ2)==1+， 當(dāng)r=2時(shí)，cos(θ1-θ2)取最大值. 8．解： 故的最大值為最小值為.