2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第六課時 3.1.3兩角和與差的正切教案(3) 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第六課時 3.1.3兩角和與差的正切教案(3) 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo): 進(jìn)一步熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的靈活應(yīng)用;提高學(xué)生的推理能力,培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系變化的觀點看問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),使學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀. 教學(xué)重點: 利用兩角和與差的余弦、正弦、正切公式解決一些綜合性問題. 教學(xué)難點: 怎樣使學(xué)生對所學(xué)知識融會貫通,運用自如. 教學(xué)過程: Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ tan(αβ)= Ⅱ.講授新課 [例1]已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a≠c)的兩個根為tanα、tanβ, 求tan(α+β)的值. 分析:由題意可得tanα、tanβ為一元二次方程的兩根,由韋達(dá)定理可知tanα+tanβ=-,且tanαtanβ=,聯(lián)想兩角和的正切公式,不難求得tan(α+β)的值. 解:由a≠0和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可知: 且a≠c 所以tan(α+β)===-=. 評述:在解題時要先仔細(xì)分析題意,聯(lián)想相應(yīng)知識,選定思路,再著手解題. [例2]設(shè)sinθ+cosθ=,<θ<π,求sin3θ+cos3θ與tanθ-cotθ的值. 解:∵sinθ+cosθ= ∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ= ∴sinθcosθ=- 又sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)= (1+)= 又∵<θ<π ∴sinθ>0,cosθ<0 ∴sinθ-cosθ= ∴tanθ-cotθ=-= ===- 評述:(1)在sinθ+cosθ、sinθcosθ與sinθ-cosθ中,知其中之一便可求出另外兩個. (2)解決有關(guān)sinθ+cosθ、sinθcosθ與sinθ-cosθ的問題是三角函數(shù)中的一類重要問題. [例3]tan2Atan(30-A)+tan2Atan(60-A)+tan(30-A)tan(60-A)=_____. 解:原式=tan2A[tan(30-A)+tan(60-A)]+[tan(30-A)tan(60-A)] =tan2Atan[(30-A)+(60-A)][1-tan(30-A)tan(60-A)] +[tan(30-A)tan(60-A)] =tan2Atan(90-2A)[1-tan(30-A)tan(60-A)]+[tan(30-A)tan(60-A)] =tan2Acot2A[1-tan(30-A)tan(60-A)]+[tan(30-A)tan(60-A)] =1 評述:先仔細(xì)觀察式子中所出現(xiàn)的角,靈活應(yīng)用公式進(jìn)行變形,然后化簡、求值. [例4]已知tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的兩個根,求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值. 解:由題意知 ∴tan(α+β)=== sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β) =cos2(α+β)[tan2(α+β)-3tan(α+β)-3] =[tan2(α+β)-3tan(α+β)-3] =[()2-3-3]=-3 [例5]已知α、β為銳角,cosα=,tan(α-β)=-,求cosβ的值. 解:由α為銳角,cosα=,∴sinα=. 由α、β為銳角,又tan(α-β)=- ∴cos(α-β)=,sin(α-β)=- ∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =+(-)= Ⅲ.課堂練習(xí) 1.若方程x2+mx+m+1=0的兩根為tanα、tanβ.求證sin(α+β)=cos(α+β). 解:由題意可知 由:tan(α+β)= 得:tan(α+β)==1 即:sin(α+β)=cos(α+β) ∴命題得證. 評述:要注意已知條件與所求結(jié)論中涉及三角函數(shù)的關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 2.若△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列,且A<B<C,tanAtanC=2+,求角A、B、C的大小. 分析:由A、B、C為△ABC的三內(nèi)角,可知A+B+C=180,又已知A、B、C為等差數(shù)列,即2B=A+C,所以B=60且A+C=120與已知條件中的tanAtanC=2+可聯(lián)系求出tanA、tanC,從而確定A、C. 解:由題意知: 解之得:B=60且A+C=120 ∴tan(A+C)=tan120=-= 又∵tanAtanC=2+ ∴tanA+tanC=tan(A+C)(1-tanAtanC) =tan120(1-2-)=- (-1-)=3+ ∵tanA、tanC可作為一元二次方程x2-(3+)x+(2+)=0的兩根 又∵0<A<B<C<π ∴tanA=1,tanC=2+ 即:A=45,C=75 答:A、B、C的大小分別為45、60、75. 評述:要注意挖掘隱含條件,聯(lián)想相關(guān)知識,構(gòu)造方程等等. 3.如果sinα+sinβ=a,cosα+cosβ=b,ab≠0,則cos(α-β)等于 ( ) A. B. C. D. -1 分析:由已知條件中的兩關(guān)系式結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2α+cos2α=1不難求得cos(α-β),再利用平方關(guān)系求得sin(α-β). 解:由 得:a2+b2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ+cos2α+cos2β+2cosαcosβ =2+2cos(α-β) ∴cos(α-β)=-1 評述:遇到這種已知條件式時,往往要結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系式. Ⅳ.課時小結(jié) 在解決三角函數(shù)問題時,常常要將和角公式、差角公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等等綜合使用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P101 9 ,10,11,13 兩角和與差的余弦、正弦、正切(二) 1.cos(-15)等于 ( ) A. B. C. D. 2.在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,則△ABC的形狀為 ( ) A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.以上均可能 3.sin-cos的值是 ( ) A.0 B.- C. D.2 4.若tan(α+β)=,tan(β-)=,則tan(α+)等于 ( ) A. B. C. D. 5.的值是 ( ) A.2 B.-2 C. D.- 6.已知cosθ=-,且θ∈(π,π),則tan(θ-)= . 7.tan70+tan50-tan70tan50的值等于 . 8.若cos(α-β)=,cos(α+β)=-,則tanαtanβ= . 9.已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=-,則cos(α-β)= . 10.已知:<β<α<,且cos(α-β)=,sin(α+β)=-,計算sin2α的值. 11.已知tanα,tanβ是方程x2+(4m+1)x+2m=0的兩個根,且m≠-. 求的值. 12.已知3sinβ=sin(2α+β),α≠kπ+,α+β≠kπ+,k∈Z. 求證:tan(α+β)=2tanα. 兩角和與差的余弦、正弦、正切(二)答案 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6. 7.- 8. 9. 10.已知:<β<α<,且cos(α-β)=,sin(α+β)=-,計算sin2α的值. 利用sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]可求得sin2α=-. 11.已知tanα,tanβ是方程x2+(4m+1)x+2m=0的兩個根,且m≠-. 求的值. 解:由題知tanα+tanβ=-(4m+1),tanαtanβ=2m == == 12.已知3sinβ=sin(2α+β),α≠kπ+,α+β≠kπ+,k∈Z. 求證:tan(α+β)=2tanα. sinβ=sin[(α+β)-α] sin(2α+β)=sin[(α+β)+α] 兩邊展開、移項,合并同類項即可.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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