2019-2020年高中數(shù)學 2.1.1第1課時 歸納推理練習 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 2.1.1第1課時 歸納推理練習 新人教A版選修2-2 一、選擇題 1.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為(　　) A.　　　　 B．△ C．? D．○ [答案]　A [解析]　觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結果． 2．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，則猜想an＝(　　) A．2n－2－　　　 　　 B．2n－2 C．2n－1＋1 D．2n＋1－4 [答案]　B [解析]　∵a1＝0＝21－2， ∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2， a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2， …… 猜想an＝2n－2.故應選B. 3．平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個圖中的圓的個數(shù)構成一個數(shù)列{an}，則下列結論正確的是(　　) ①a5＝15； ②數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列； ③數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列； ④數(shù)列{an}的遞推關系是an＝an－1＋n(n∈N*)． A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④ [答案]　D [解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確．同時④正確，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯誤，故選D. 4．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示， 按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 [答案]　C [解析]　從①②③可以看出，從第②個圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2. 5．圖(1)、圖(2)、圖(3)、圖(4)分別包含1、5、13和25個互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構造圖形，則第n個圖包含________________個互不重疊的單位正方形．(　　) A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1 C．2n2＋2 D．2n2－n＋1 [答案]　B [解析]　觀察題中給出的四個圖形，圖(1)共有12個正方形，圖(2)共有12＋22個正方形；圖(3)共有22＋32個正方形；圖(4)共有32＋42個正方形；則第n個圖中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1個正方形． 6．(xx隆化縣存瑞中學高二期中)把正整數(shù)按圖所示的規(guī)律排序，則從xx到xx的箭頭方向依次為(　　) [答案]　A [解析]　∵1和5的位置相同， ∴圖中排序每四個一組循環(huán)， 而xx除以4的余數(shù)為1， ∴xx的位置和1的位置相同， ∴xx的位置和2的位置相同， xx的位置和3的位置相同，故選A. [點評]　位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，xx＝4503＋2，因此xx的箭頭方向應與2的相同． 二、填空題 7．觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …… 由以上等式推測到一個一般的結論：對于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________________. [答案]　(－1)n＋1 [解析]　注意到第n個等式的左邊有n項，右邊的結果的絕對值恰好等于左邊的各項的所有底數(shù)的和，即右邊的結果的絕對值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右邊的結果的符號的規(guī)律是：當n為奇數(shù)時，符號為正；當n為偶數(shù)時，符號為負，因此所填的結果是(－1)n＋1. 8．(xx陜西文，13)觀察下列等式： (1＋1)＝21； (2＋1)(2＋2)＝2213； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135； …… 照此規(guī)律，第n個等式可為______________________________． [答案]　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1) [解析]　觀察規(guī)律，等號左側第n個等式共有n項相乘，從n＋1到n＋n，等式右端是2n與等差數(shù)列{2n－1}前n項的乘積，故第n個等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)． 9．觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是S，按此規(guī)律推出S與n的關系式為________________． [答案]　S＝4(n－1)(n≥2) [解析]　每條邊上有2個圓圈時共有S＝4個；每條邊上有3個圓圈時，共有S＝8個；每條邊上有4個圓圈時，共有S＝12個．可見每條邊上增加一個點，則S增加4，∴S與n的關系為S＝4(n－1)(n≥2)． 三、解答題 10．證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結論． 2cos＝， 2cos＝， 2cos＝， …… [證明]　2cos＝2＝， 2cos＝2＝2＝， 2cos＝2 ＝2＝ … 觀察上述等式可以發(fā)現(xiàn)，第n個等式右端有n個根號，n個2，左端“角”的分母為22,23,24，…，故第n個等式的左端應為2cos，由此可歸納出一般性的結論為： 2cos＝ 一、選擇題 11．(xx錦州一中高二期中)根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1234569＋7等于(　　) 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1111 12349＋5＝11111 123459＋6＝111111 …… A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 [答案]　B [分析]　根據(jù)已知的式子歸納出規(guī)律：第n個等式是從1到n的自然數(shù)構成的n位數(shù)與9相乘加上n＋1的結果是(n＋1)個1，即可求出結論． [解析]　由題意得，19＋2＝11,129＋3＝111,1239＋4＝1111,12349＋5＝11111,123459＋6＝111111， 可得n位數(shù)與9相乘加上n＋1的結果是(n＋1)個1， ∴1234569＋7＝1111111，故選B. 12．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) [答案]　D [解析]　本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導后都變成了奇函數(shù)， ∴g(－x)＝－g(x)，選D，體現(xiàn)了對學生觀察能力，概括歸納推理能力的考查． 13．把1、3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形(如下圖)， 試求第七個三角形數(shù)是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 [答案]　B [解析]　觀察歸納可知第n個三角形數(shù)共有點數(shù)：1＋2＋3＋4＋…＋n＝個，∴第七個三角形數(shù)為＝28. 14．(xx隆化縣存瑞中學高二期中)觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　本題考查了歸納的思想方法． 觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個不等式左端有n＋1項，分子為1，分母依次為12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項為3，公差為2，因此第n個不等式為1＋＋＋…＋<， 所以當n＝xx時不等式為： 1＋＋＋…＋<. 二、填空題 15．下面是一系列有機物的結構簡圖，圖中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“連線”表示化學鍵，按圖中結構第n個圖有________個原子，有_______個化學鍵． [答案]　4n＋2,5n＋1 [解析]　第1、2、3個圖形中分別有原子個數(shù)為6,6＋4,6＋42，故第n個圖形有原子6＋4(n－1)＝4n＋2個． 第1、2、3個圖形中，化學鍵個數(shù)依次為6、6＋5、6＋52、… ∴第n個圖形化學鍵個數(shù)為 6＋5(n－1)＝5n＋1. 16．在△ABC中，不等式＋＋≥成立， 在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立， 在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n邊形A1A2…An中，有不等式_______________成立． [答案]　＋＋…＋≥(n≥3) [解析]　根據(jù)已知特殊的數(shù)值：、、，…，總結歸納出一般性的規(guī)律：(n≥3)． ∴在n邊形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3)． 三、解答題 17．(xx西寧質檢)已知等式sin210＋cos240＋sin10cos40＝，sin26＋cos236＋sin6cos36＝.請寫出一個具有一般性的等式，使你寫出的等式包含已知的等式，并證明結論的正確性． [解析]　等式為sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α)＝.證明如下： sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α) ＝sin2α＋＋sinα(cos30cosα－sin30sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝. 18．在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液a升，攪勻后再倒出溶液a升，這叫一次操作，設第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計算b1、b2、b3，并歸納出bn的計算公式． [解析]　b1＝＝， b2＝＝. b3＝＝， ∴歸納得bn＝.