2019-2020年高中數學 4.1.1導數與函數的單調性二教案 北師大選修1-1.doc

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2019-2020年高中數學 4.1.1導數與函數的單調性二教案 北師大選修1-1 教學過程： 一．創(chuàng)設情景 函數是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數學模型，研究函數時，了解函數的贈與減、增減的快與慢以及函數的最大值或最小值等性質是非常重要的．通過研究函數的這些性質，我們可以對數量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導數研究函數的性質，從中體會導數在研究函數中的作用。 二．新課講授 1．問題：圖（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數的圖像，圖（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數的圖像． 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現： （1） 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數．相應地，． （2） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數．相應地，． 2．函數的單調性與導數的關系 觀察下面函數的圖像，探討函數的單調性與其導數正負的關系． 如圖 3.3-3，導數表示函數在點處的切線的斜率． （ 圖 3.3-3） 在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數在附近單調遞增； 在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數在附近單調遞減． 結論：函數的單調性與導數的關系 在某個區(qū)間內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數在這個區(qū)間內是常函數． 3．求解函數單調區(qū)間的步驟： （1）確定函數的定義域； （2）求導數； （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．已知導函數的下列信息： 當時，； 當，或時，； 當，或時， 試畫出函數圖像的大致形狀． 解：當時，，可知在此區(qū)間內單調遞增； 當，或時，；可知在此區(qū)間內單調遞減； 當，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”． 綜上，函數圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2．判斷下列函數的單調性，并求出單調區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調遞增，如下圖所示． （2）因為，所以， 當，即時，函數單調遞增； 當，即時，函數單調遞減； 函數的圖像如圖3.3-5（2）所示． （3）因為，所以， 因此，函數在單調遞減，如上圖所示． （4）因為，所以 ． 當，即 時，函數 ； 當，即 時，函數 ； 函數的圖像如下圖所示． 注：（3）、（4）生練 例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數關系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過函數圖像，不僅可以看出函數的增減，還可以看出其變化的快慢．結合圖像，你能從導數的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化的快，這時，函數的圖像就比較“陡峭”；反之，函數的圖像就“平緩”一些． 如圖3.3-7所示，函數在或內的圖像“陡峭”， 在或內的圖像“平緩”． 例4．求證：函數在區(qū)間內是減函數． 證明：因為 當即時，，所以函數在區(qū)間內是減函數． 說明：證明可導函數在內的單調性步驟： （1）求導函數； （2）判斷在內的符號； （3）做出結論：為增函數，為減函數． 例5．已知函數 在區(qū)間上是增函數，求實數的取值范圍． 解：，因為在區(qū)間上是增函數，所以對恒成立，即對恒成立，解之得： 所以實數的取值范圍為． 說明：已知函數的單調性求參數的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數與函數單調性關系：即“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解． 例6．已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區(qū)間. 解：y′=(x+)′ =1－1x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1. ∴y=x+的單調增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞). 令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的單調減區(qū)間是(－1，0)和(0，1) 四．課堂練習 1．求下列函數的單調區(qū)間 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．課本練習 五．回顧總結 （1）函數的單調性與導數的關系 （2）求解函數單調區(qū)間 （3）證明可導函數在內的單調性