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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2．1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 第一課時(shí)教案精講 新人教A版必修1
[讀教材填要點(diǎn)]
1．指數(shù)函數(shù)的定義
函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．
2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1
0
0時(shí)，y>1
當(dāng)x>0時(shí)，01
單調(diào)性
是R上的增函數(shù)
是R上的減函數(shù)
[小問(wèn)題大思維]
1．下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？
①y＝2－x；②y＝2x＋1；
③y＝32x；④y＝－2x；
⑤y＝(－2)x；⑥y＝x2；
⑦y＝(a－1)x(a>1且a≠2)．
提示：∵y＝2－x＝()x，∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，只有①⑦是指數(shù)函數(shù)．
2．在同一坐標(biāo)系中y＝ax和y＝()x的圖象有什么關(guān)系？
提示：關(guān)于y軸對(duì)稱．
3．指數(shù)函數(shù)具有奇偶性嗎？
提示：指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
指數(shù)函數(shù)的概念
[例1] 指出下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)．
(1)y＝πx；(2)y＝(－4)x；(3)y＝－4x；(4)y＝x4；
(5)y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)；(6)y＝(a2＋2)－x；
(7)y＝23x＋a(a≠0)；(8)y＝4x2.
[自主解答] 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)滿足：
①前面系數(shù)為1；
②底數(shù)a>0，且a≠1；
③指數(shù)是自變量，所以，
(1)y＝πx，底數(shù)為π，滿足π>0，且π≠1，前面系數(shù)為1，且指數(shù)x為自變量，故它是指數(shù)函數(shù)；
(2)y＝(－4)x，底數(shù)－4<0，故它不是指數(shù)函數(shù)；
(3)y＝－4x，前面系數(shù)為－1，故它不是指數(shù)函數(shù)；
(4)y＝x4，指數(shù)為4而不是x，故它不是指數(shù)函數(shù)；
(5)y＝(2a－1)x，因?yàn)閍>，且a≠1，所以2a－1>0，且2a－1≠1，前面系數(shù)為1，且指數(shù)為自變量x，故它是指數(shù)函數(shù)；
(6)y＝(a2＋2)－x＝()x，底數(shù)∈(0，]，前面系數(shù)為1，指數(shù)為自變量x，故它是指數(shù)函數(shù)；
(7)y＝23x＋a(a≠0)，3x前面系數(shù)為2≠1，故它不是指數(shù)函數(shù)；
(8)y＝4x2，底數(shù)是自變量，且前面系數(shù)為4，故它不是指數(shù)函數(shù)．故(1)(5)(6)為指數(shù)函數(shù)．
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指數(shù)函數(shù)是形式化的概念，形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函數(shù)被稱為指數(shù)函數(shù)，這里x是自變量，要判斷一個(gè)函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)，需抓住三點(diǎn)：①底數(shù)大于零且不等于1；②冪指數(shù)有單一的自變量x；③系數(shù)為1，且沒(méi)有其他的項(xiàng).
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1．下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－6x；
(4)y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)．
解：(1)y＝10x符合定義，是指數(shù)函數(shù)；
(2)y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10這兩個(gè)函數(shù)相乘得到的復(fù)合函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．
(3)y＝－6x是由y＝6x與y＝－1這兩個(gè)函數(shù)相乘得到的復(fù)合函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．
(4)由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底數(shù)是符合要求的常數(shù)，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指數(shù)函數(shù)．
綜上可知，(1)(4)是指數(shù)函數(shù).
指數(shù)函數(shù)圖象
[例2] 如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象，(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)0，所以5－x－1>－1，
所以函數(shù)的值域?yàn)?－1，＋∞)．
解題高手
妙解題
同樣的結(jié)果，不一樣的過(guò)程，節(jié)省解題時(shí)間，也是得分！
求k為何值時(shí)，方程|3x－1|＝k無(wú)解？有一解？有兩解？
[巧思] 可在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝|3x－1|的圖象和直線y＝k，通過(guò)觀察圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)解決．
[妙解] 函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到，函數(shù)圖象如圖所示．
當(dāng)k<0時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象無(wú)交點(diǎn)，即方程無(wú)解；
當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解；
當(dāng)00且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)ax
解析：A中a的范圍沒(méi)有限制，故不一定是指數(shù)函數(shù)；B中y＝xa(a>0且a≠1)中變量是底數(shù)，故也不是指數(shù)函數(shù)；C中|a|＋2≥2，故而(|a|＋2)－x＝()x是指數(shù)函數(shù)；D中只有a－2＝1即a＝3時(shí)為指數(shù)函數(shù)．
答案：C
2．函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖象可能是( )
解析：法一(圖象變換法)：當(dāng)00且a≠1)必過(guò)點(diǎn)(1,0)，故只有C項(xiàng)符合．
答案：C
3．已知函數(shù)f(x)＝7＋ax－1的圖象恒過(guò)點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A．(1,8) B．(1,7) C．(0,8) D．(8,0)
解析：當(dāng)x＝1時(shí)，ax－1＝a0＝1.f(x)＝7＋1＝8.故而過(guò)定點(diǎn)(1,8)．
答案：A
4．當(dāng)x∈[－1,3)時(shí)，y＝3－x－1的值域是________．
解析：∵y＝3－x－1＝()x－1為單調(diào)減函數(shù)，
∴y＝()x－1的最大值為y＝3－1＝2.
∴y的值域?yàn)?－，2]．
答案：(－，2]
5．已知f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，則f(3)＝________.
解析：∵f(x)的圖象過(guò)(0，－2)，(2,0)且a>0，
∴，
∴b＝－3，a＝，
∴f(x)＝()x－3，
則f(3)＝()3－3＝3－3.
答案：3－3
6．求下列函數(shù)的定義域和值域：
(1)y＝；(2)y＝().
解：(1)要使函數(shù)有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，
因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上是增函數(shù)，所以x≤0.
故函數(shù)y＝ 的定義域?yàn)?－∞，0]．
因?yàn)閤≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函數(shù)y＝的值域?yàn)閇0,1)．
(2)要使函數(shù)有意義，則x－2≥0，解得x≥2，所以函數(shù)y＝()的定義域?yàn)閇2，＋∞)．
當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，≥0，又0<<1，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，y＝()≤()0＝1，且y>0，故函數(shù)y＝()的值域?yàn)?0,1]．
一、選擇題
1．函數(shù)y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：∵4x>0,16－4x≥0,4x≤16，x≤2.
∴0<4x≤16.
∴0≤16－4x<16.
∴0≤<4，∴函數(shù)的值域?yàn)閇0,4)．
答案：C
2．已知函數(shù)f(x)＝(a2－1)x，若x>0時(shí)總有f(x)>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．1<|a|<2 B．|a|<2
C．|a|>1 D．|a|>
解析：∵當(dāng)x>0時(shí)，總有(a2－1)x>1，
∴a2－1>1，即a2>2.∴|a|>.
答案：D
3．如下圖所示，函數(shù)y＝|2x－2|的圖象是( )
解析：y＝|2x－2|＝.畫出函數(shù)圖象，知B選項(xiàng)符合題意．
答案：B
4．方程2x＋x＝0的解的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．無(wú)數(shù)個(gè)
解析：令f(x)＝2x，g(x)＝－x，則2x＋x＝0的解就是函數(shù)f(x)和g(x)交點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.
答案：B
二、填空題
5．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實(shí)數(shù)a等于________．
解析：由題意知a>1，
∴解得a＝.
答案：
6．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：若a<0，則f(a)＝()a－7<1，
()a<8＝()－3，∴a>－3.即－30時(shí)，2x>2－x，y＝2－x，
所以y＝其定義域?yàn)镽，值域(0,1]，圖象如圖所示．
10．如果3－5x>()x＋6，求x的取值范圍？
解：3－5x>()x＋6＝3－x－6，
而指數(shù)函數(shù)y＝3x為增函數(shù)，
∴－5x>－x－6,5x
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指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
第一課時(shí)教案精講
新人教A版必修1
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2020
年高
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