2019-2020年高二數(shù)學 高二數(shù)學 空間的平行直線和異面直線同步教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高二數(shù)學 高二數(shù)學 空間的平行直線和異面直線同步教案 新人教A版 一、本講進度 第九章 直線、平面、簡單幾何體 9．2 空間的平行直線和異面直線 二、主要內(nèi)容 1、 空間兩條直線的位置關系； 2、 公理4及等角定理； 3、 異面直線位置關系的判斷，求兩條異面直線所成的角。 三、學習指導 1、在數(shù)學中，常常需要對研究對象進行分類討論。分類時必須使每一對象都屬于某一類，且僅屬于這一類，既不重復又不遺漏。其中，“二分法”是一種重要的分類方法。所謂“二分法”就是把所研究的對象分成互不相容的兩類，每個對象都屬于其中一類且僅屬于這一類。在運用二分法時，首先要確定一個分類標準，不同的分類標準可以得出不同的分類方法。如按“是否共面”的標準，空間直線；按“是否有公共點”的標準，空間直線。熟悉“二分法”，不僅可以深刻理解所研究的對象之間的關系，而且也是應用反證法的基礎。 反證法是中學數(shù)學的重要方法，同學們在高一數(shù)學中已經(jīng)接觸過。在立體幾何證明中，它是重要的常用的方法之一。 2、異面直線是相對于共面直線而言的，從集合的角度看，是共面直線構(gòu)成的集合的補集，因此，異面直線的特征是既不相交也不平行。其本質(zhì)屬性是這兩條直線不可能共面于任何一個平面?；蛘哒f，你不管怎樣找，總不可能找到一個平面同時經(jīng)過這兩條直線，注意：畫在兩個平面內(nèi)的直線不一定是異面直線。如下圖： a∥b a∩b=P 異面直線的判斷方法：（1）反證法；（2）判定定理：若aα，A∈α，Bα，Aα，則AB和a是異面直線，或?qū)懗桑篴α，b∩α=A，Aa，則a，b是異面直線。 3、為了精確地描述兩條異面直線不平行的特征，引進了異面直線所成角的概念。異面直線所成角的定義是建立在等角定理基礎上的，求異面直線所成角的大小，主要是利用定義法，具體的途徑有：①中位線法，②補形法。異面直線所成角的定義體現(xiàn)了立體向平面轉(zhuǎn)化的思想。 求異面直線所成的角一般分四步：（1）作圖；（2）證明；（3）計算；（4）結(jié)論。這也是立體幾何計算一般都要經(jīng)歷的四個步驟。 異面直線所成角的范圍是（0，]。 4、根據(jù)等角定理可知，若a∥b，a與c所成角為θ，則b與c所成角為θ。特例：a∥b，a⊥cb⊥c，形式與平面幾何有類似的地方，但圖形完全不同。 四、典型例題 例1、如圖，已知a，b，c不共面，它們相交于點P，A∈a，D∈a，B∈b，C∈c，求證BD和AC是異面直線。 分析： 法一：直接利用判定定理 ∵ AC平面PAC，D∈平面PAC，DAC，B平面PAC ∴ AC與BD是異面直線 法二：用反證法 假設AC與BD共面于β ∵ A、D、C三點不共線 ① ∴ β與平面ACD重合 ∴ aβ ∴ P∈β ∵ P、B、C三點不共線 ∴ β與平面PBC重合 ② 由①②知平面PAC與平面PBC重合 ∴ a，b，c共面，與已知矛盾 ∴ AC與BD異面 說明：在法一中，選平面PAC為基本面，也可以選平面PBD為基本面，總之，要習慣把直線放在平面內(nèi)。 例2、空間四邊形PABC，連對角線AC、PB，D、E分別是△PAB和△PBC的重心，求證：DEAC。 分析：養(yǎng)成用軌跡的思想看待圖形的習慣，即把點放在線上，把線放在面內(nèi)。 如把點D放在AB邊的中線AM上，再把PM、DE放在平面PEM內(nèi)，延長PE交BC于N，連MN，則N為BC中點，平面PEM即為平面PMN。 △ PMN中 ∵ ∴ DEMN △ ABC中 ∵ MNAC ∴ DEAC 例3、空間四邊形DABC中，P、Q為邊CD上兩個不同的點，M、N為AB上兩個不同的點，連PM、QN，如圖，問圖中共有多少對異面直線？ 分析：為使計算異面直線條數(shù)的過程中不出現(xiàn)重、漏的現(xiàn)象，可采用逐步添加的方法。首先考慮空間四邊形DABC的四條邊DA、AB、BC、CD連同對角線AC、BD，這六條線段可形成三對異面直線DA與BC，AB與CD，AC與BD。 其次添加線段PM，則除去與PM相交的CD、AB，又可新形成4對異面直線，即PM與DA、BC、AC、BD。 因QN與PM位置等同，當添上QN時，也同樣新增4對異面直線。 最后注意到，PM與QN也是異面直線。 ∴ 圖中共有3+4+4+1=12（對）異面直線 評注：對于復雜圖形，通常用分解等手段轉(zhuǎn)化為基本圖形。同時學會從運動的角度觀察圖形，如本題的逐步添加法。 例4、長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值。 分析：顯然，通過平移在長方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個BD1和B1C所成的角，但同時又為了使構(gòu)造出的角便于計算，故可考慮補上一個與已知長方體相同的長方體DCEF—D1C1E1F1。具體作法是：延長A1D1，使A1D1=D1F1，延長B1C1至E1，使B1C1=C1E1，連E1F1，分別過E1、F1，作E1EC1C，F(xiàn)1FD1D，連EF，則長方體C1D1F1E—CDFE為所作長方體。 ∵ BCD1F1 ∴ BD1CF1 ∴ ∠B1CF1就是異面直線BD1與B1C所成的角。 ∵ BD2=a2+b2 ∴ Rt△BDD1中，BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 ∴ CF12=BD12=a2+b2+c2 ∵ B1C2=b2+c2，B1F12=a2+4b2 ∴ △B1CF1中 cos∠B1CF1= （1） 當c>b時， cos∠B1CF1>0 ∴ ∠B1CF1為銳角，∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角 （2） 當c
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