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2019-2020 年高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 課時 達標 14 導數與函數的單調性 理 [解密考綱]本考點主要考查利用導數研究函數的單調性．高考中導數試題經常和不等 式、函數、三角函數、數列等知識相結合，作為中檔題或壓軸題出現．三種題型均有出現， 以解答題為主，難度較大． 一、選擇題 1．(xx福建福州模擬)函數 y＝ f(x)的圖象如圖所示，則 y＝ f′( x)的圖象可能是( D ) 解析：由函數 f(x)的圖象可知， f(x)在(－∞，0)上單調遞增， f(x)在(0，＋∞)上單 調遞減，所以在(－∞，0)上 f′( x)>0，在(0，＋∞)上 f′( x)<0.選項 D 滿足，故選 D． 2．(xx蘇中八校聯(lián)考)函數 f(x)＝ x－ln x 的單調遞減區(qū)間為( A ) A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：函數的定義域是(0，＋∞)， 且 f′( x)＝1－ ＝ ，令 f′( x)<0， 1x x－ 1x 解得 0
0”是“ f(x)在 R 上 32 單調遞增”的充分不必要條件． 4．函數 f(x)對定義域 R 上的任意 x 都有 f(2－ x)＝ f(x)，且當 x≠1 時，其導函數 f′( x)滿足 xf′( x)>f′( x)，若 10，故當 x∈(1，＋∞)時，函數單調遞增， x∈(－∞，1)時，函數單調遞減．∵1< a<2， ∴00，則 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， f′( x)0 等價于Error!或Error! 解得 x∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 6．若函數 f(x)＝2 x2－ln x 在其定義域內的一個子區(qū)間( k－1， k＋1)內不是單調函數， 則實數 k 的取值范圍是( C ) A．[1，＋∞) B．[1,2) C． D．[1， 32) [32， 2) 解析： f′( x)＝4 x－ ＝ ， 1x ? 2x－ 1? ? 2x＋ 1?x ∵ x>0，由 f′( x)＝0 得 x＝ . 12 ∴令 f′( x)>0，得 x> ；令 f′( x)<0，得 0－2，而 f′( x)＝－ x＋ ＝ .因 bx＋ 2 － x2－ 2x＋ bx＋ 2 為 x＋2>0，函數 f(x)＝－ x2＋ bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數，即－ x2－2 x＋ b≤0 12 在 x∈(－1，＋∞)上恒成立，得 b≤ x2＋2 x 在 x∈(－1，＋∞)上恒成立，令 g(x) ＝ x2＋2 x＝( x＋1) 2－1， x∈(－1，＋∞)，則 g(x)>g(－1)＝－1，所以 b≤－1，則 b 的最 大值為－1. 三、解答題 10．已知函數 f(x)＝ (k 為常數，e 是自然對數的底數)，曲線 y＝ f(x)在點 ln x＋ kex (1， f(1))處的切線與 x 軸平行． (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的單調區(qū)間． 解析：(1)由題意得 f′( x)＝ ，又 f′(1)＝ ＝0，故 k＝1. 1x－ ln x－ k ex 1－ ke (2)由(1)知， f′( x)＝ . 1x－ ln x－ 1 ex 設 h(x)＝ －ln x－1( x>0)，則 h′( x)＝－ － <0， 1x 1x2 1x 即 h(x)在(0，＋∞)上是減函數． 由 h(1)＝0 知，當 00； 當 x>1 時， h(x)<0，從而 f′( x)0，∴ f′( x)， f(x)的變化如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) f′( x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 遞增 遞減 遞增 ∴ f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)和(3，＋∞)， 遞減區(qū)間為(1,3)， 要使函數 f(x)在區(qū)間 上是單調函數，(1， m＋ 12) 則Error! 解得 0，求函數 f(x)的單調區(qū)間； (3)設函數 g(x)＝ f(x)＋2 x，且 g(x)在區(qū)間(－2，－1)內存在單調遞減區(qū)間，求實數 a 的取值范圍． 解析：(1)函數的定義域為(－∞，＋∞)， f′( x)＝ x2－ ax＋ b，由題意得Error!即Error! (2)由(1)得， f′( x)＝ x2－ ax＝ x(x－ a)(a>0)， 當 x∈(－∞，0)時， f′( x)>0；當 x∈(0， a)時， f′( x)0.所以函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，0)，( a，＋∞)，單調遞減區(qū)間為 (0， a)． (3)g′( x)＝ x2－ ax＋2，依題意，存在 x∈(－2，－1)， 使不等式 g′( x)＝ x2－ ax＋2<0 成立， 即 x∈(－2，－1)時， a< max＝－2 ，(x＋ 2x) 2 當且僅當 x＝ ，即 x＝－ 時等號成立， 2x 2 所以滿足要求的 a 的取值范圍是(－∞，－2 )．2
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