2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 8.4空間的垂直關(guān)系學案 理 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 8.4空間的垂直關(guān)系學案 理 蘇教版 導學目標: 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認識和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題. 自主梳理 1.直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法. ②利用判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條________直線垂直,那么這條直線垂直于這個平面. ③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條直線也________這個平面. (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)________直線. ②垂直于同一個平面的兩條直線________. ③垂直于同一直線的兩個平面________. 2.直線與平面所成的角 平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的________所成的銳角,叫做這條直線與這個平面所成的角. 一條直線垂直于平面,說它們所成的角為________;直線l∥α或l?α,說它們所成的角是______角. 3.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法. ②利用判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的____________,那么這兩個平面互相垂直. (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們________的直線垂直于另一個平面. 4.二面角的平面角 以二面角的棱上的任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作________棱的射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. 自我檢測 1.(xx浙江改編)設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是________(填序號). ①若l⊥m,m?α,則l⊥α; ②若l⊥α,l∥m,則m⊥α; ③若l∥α,m?α,則l∥m; ④若l∥α,m∥α,則l∥m. 2.對于不重合的兩個平面α與β,給定下列條件: ①存在平面γ,使得α,β都垂直于γ; ②存在平面γ,使得α,β都平行于γ; ③存在直線l?α,直線m?β,使得l∥m; ④存在異面直線l、m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β. 其中,可以判定α與β平行的條件有________個. 3.(xx四川卷改編)如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的序號是________. ①PB⊥AD; ②平面PAB⊥平面PBC; ③直線BC∥平面PAE; ④直線PD與平面ABC所成的角為45. 4.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足________時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 5.(xx大綱全國,16)已知點E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________. 探究點一 線面垂直的判定與性質(zhì) 例1 Rt△ABC所在平面外一點S,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點. (1)求證:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC.求證:BD⊥平面SAC. 變式遷移1 四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45,SA=SB. 證明:SA⊥BC. 探究點二 面面垂直的判定與性質(zhì) 例2 如圖所示,已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面為正方形,O1、O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證:平面O1DC⊥平面ABCD. 變式遷移2 (xx江蘇)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點. 求證:(1)直線EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 探究點三 直線與平面、平面與平面所成的角 例3 (xx湖北)如圖,四棱錐S—ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=a,點E是SD上的點,且DE=λa(0<λ≤2). (1)求證:對任意的λ∈(0,2],都有AC⊥BE; (2)設(shè)二面角C—AE—D的大小為θ,直線BE與平面ABCD所成的角為φ,若tan θtan φ=1,求λ的值. 變式遷移3 (xx北京)如圖,在三棱錐P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60,∠BCA=90,點D、E分別在棱PB、PC上,且DE∥BC. (1)求證:BC⊥ 平面PAC. (2)當D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成角的正弦值. (3)是否存在點E使得二面角A—DE—P為直二面角?并說明理由. 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例 (14分)已知四棱錐P—ABCD,底面ABCD是∠A=60的菱形,又PD⊥底面ABCD, 點M、N分別是棱AD、PC的中點. (1)證明:DN∥平面PMB; (2)證明:平面PMB⊥平面PAD. 【答題模板】 證明 (1)取PB中點Q,連結(jié)MQ、NQ,因為M、N分別是棱AD、PC的中點,所以QN∥BC∥MD,且QN=MD,故四邊形QNDM是平行四邊形, 于是DN∥MQ.[4分] 又∵MQ?平面PMB,DN?平面PMB ∴DN∥平面PMB.[7分] (2)∵PD⊥平面ABCD,MB?平面ABCD,∴PD⊥MB.[9分] 又因為底面ABCD是∠A=60的菱形,且M為AD中點,所以MB⊥AD. 又AD∩PD=D,所以MB⊥平面PAD.[12分] 又∵MB?平面PMB,∴平面PMB⊥平面PAD.[14分] 【突破思維障礙】 1.立體幾何中平行與垂直的證明充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖. 2.在解決線面、面面平行或垂直的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線”到“線面”,再到“面面”;而在應用性質(zhì)定理時,其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”. 1.證明線面垂直的方法:(1)定義:a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α;(2)判定定理1:?l⊥α;(3)判定定理2:a∥b,a⊥α?b⊥α;(4)面面平行的性質(zhì):α∥β,a⊥α?a⊥β;(5)面面垂直的性質(zhì):α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. 2.證明線線垂直的方法:(1)定義:兩條直線的夾角為90;(2)平面幾何中證明線線垂直的方法;(3)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b?α?a⊥b;(4)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b∥α?a⊥b. 3.證明面面垂直的方法:(1)利用定義:兩個平面相交,所成的二面角是直二面角;(2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.(xx揚州月考)已知直線a,b和平面α,β,且a⊥α,b⊥β,那么α⊥β是a⊥b的________條件. 2.已知兩個不同的平面α、β和兩條不重合的直線m、n,有下列四個命題: ①若m∥n,m⊥α,則n⊥α;②若m⊥α,m⊥β,則α∥β;③若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β;④若m∥α,α∩β=n,則m∥n. 其中正確命題是________(填序號). 3.設(shè)直線m與平面α相交但不垂直,給出以下說法: ①在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直; ②過直線m有且只有一個平面與平面α垂直; ③與直線m垂直的直線不可能與平面α平行; ④與直線m平行的平面不可能與平面α垂直. 其中錯誤的是________. 4.(xx江蘇)設(shè)α和β為不重合的兩個平面,給出下列命題:①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α平行于β; ②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行,則l和α平行; ③設(shè)α和β相交于直線l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α和β垂直; ④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直. 上面命題中,真命題的序號是__________(寫出所有真命題的序號). 5.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為____________________________________________________________. 6.(xx福建)三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是邊長為2的正三角形,則三棱錐P-ABC的體積為________. 7.如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長是1,過A點作平面A1BD的垂線,垂足為點H,有下列三個命題: ①點H是△A1BD的中心; ②AH垂直于平面CB1D1; ③AC1與B1C所成的角是90. 其中正確命題的序號是____________. 8.正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,高為2,E是邊BC的中點,動點P在表面上運動,并且總保持PE⊥AC,則動點P的軌跡的周長為________. 二、解答題(共42分) 9.(12分)(xx安徽)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形. (1)證明直線BC∥EF; (2)求棱錐F-OBED的體積. 10.(14分)(xx天津)如圖,在四棱錐P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E為PC的中點,AD=CD=1,DB=2. (1)證明PA∥平面BDE; (2)證明AC⊥平面PBD; (3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值. 11.(16分) 如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4. (1)設(shè)M是PC上的一點,證明平面MBD⊥平面PAD. (2)求四棱錐P—ABCD的體積. 學案41 空間的垂直關(guān)系 答案 自主梳理 1.(1)②相交 ③垂直 (2)①任意?、谄叫小、燮叫? 2.射影 直角 0 3.(1)②一條垂線 (2)交線 4.垂直于 自我檢測 1.② 2.2 3.④ 4.DM⊥PC(或BM⊥PC等) 5. 解析 方法一 如圖,建立空間直角坐標系. 設(shè)面ABC的法向量為n1=(0,0,1),面AEF的法向量為n2=(x,y,z).設(shè)正方體的棱長為1, ∵A(1,0,0),E(1,1,),F(xiàn)(0,1,), ∴=(0,1,),=(-1,0,), 則取x=1,則y=-1,z=3. 故n2=(1,-1,3), ∴cos〈n1,n2〉==, ∴面AEF與面ABC所成的二面角的平面角α滿足cos α=,sin α=,∴tan α=. 方法二 如圖,設(shè)正方體的棱長為3,則由題意知CF=2,BE=1,分別延長FE、CB交于點M,連結(jié)AM,作BN⊥AM于點N,連結(jié)EN. ∵EB⊥平面ABM,AM?平面ABM, ∴EB⊥AM. 又BN⊥AM,EB∩BN=B, ∴AM⊥平面BEN,∴AM⊥EN. ∴∠BNE即為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角. ∵BE∥CF,∴=,即=, ∴MB=3,∴AM==3. 由AMBN=BMAB得 BN===. 又EB⊥平面ABM,∴EB⊥BN, ∴tan∠BNE===. 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 線面垂直的判定方法是:證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線.即從“線線垂直”到“線面垂直”. 證明 (1)取AB中點E,連結(jié)SE,DE,在Rt△ABC中,D、E分別為AC、AB的中點, 故DE∥BC,且DE⊥AB, ∵SA=SB, ∴△SAB為等腰三角形, ∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB,DE⊥AB,SE∩DE=E, ∴AB⊥面SDE.而SD?面SDE,∴AB⊥SD. 在△SAC中,SA=SC,D為AC的中點,∴SD⊥AC. 又∵AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC. (2)若AB=BC,則BD⊥AC, 由(1)可知,SD⊥面ABC,而BD?面ABC, ∴SD⊥BD.又∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC. 變式遷移1 證明 作SO⊥BC,垂足為O,連結(jié)AO, 由側(cè)面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD. 因為SA=SB,所以AO=BO. 又∠ABC=45,故△AOB為等腰直角三角形,且AO⊥BO, 又SO⊥BC,SO∩AO=O, ∴BC⊥面SAO.又SA?面SAO,∴SA⊥BC. 例2 解題導引 證明面面垂直,可先證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個平面的一條垂線,再證明這條垂線在另一個平面內(nèi)或與另一個平面內(nèi)的一條直線平行. 證明 如圖所示,連結(jié)AC,BD,A1C1,則O為AC,BD的交點,O1為A1C1,B1D1的交點. 由棱柱的性質(zhì)知: A1O1∥OC,且A1O1=OC, ∴四邊形A1OCO1為平行四邊形, ∴A1O∥O1C, 又A1O⊥平面ABCD,∴O1C⊥平面ABCD, 又O1C?平面O1DC,∴平面O1DC⊥平面ABCD. 變式遷移2 證明 (1)如圖,在△PAD中,因為E,F(xiàn)分別為AP,AD的中點,所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD,PD?平面PCD, 所以直線EF∥平面PCD. (2)連結(jié)BD.因為AB=AD,∠BAD=60,所以△ABD為正三角形. 因為F是AD的中點,所以BF⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD. 又因為BF?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD. 例3 解題導引 高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點之一.有時在客觀題中考查,更多的是在解答題中考查. 根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義,作(找)出該角,再解三角形求出該角,步驟是作(找)→認(指)→求. (1)證明 如圖所示,連結(jié)BD,由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD. ∵SD⊥平面ABCD, ∴BD是BE在平面ABCD上的射影,∴AC⊥BE. (2)解 如圖所示,由SD⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴SD⊥CD. 又底面ABCD是正方形, ∴CD⊥AD.又SD∩AD=D, ∴CD⊥平面SAD. 過點D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F,連結(jié)CF,則CF⊥AE,故∠CFD是二面角C—AE—D的平面角,即∠CFD=θ. 在Rt△BDE中,∵BD=2a,DE=λa, ∴tan φ==. 在Rt△ADE中,∵AD=a=CD,DE=λa, ∴AE=a, 從而DF==. 在Rt△CDF中,tan θ==, 由tan θtan φ=1,得=1?=2?λ2=2.由λ∈(0,2],解得λ=. 變式遷移3 (1)證明 ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC. 又∠BCA=90,∴AC⊥BC.又AC∩PA=A, ∴BC⊥平面PAC. (2)解 ∵D為PB的中點,DE∥BC,∴DE=BC. 又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC,垂足為點E. ∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB. 又PA=AB, ∴△ABP為等腰直角三角形. ∴AD=AB. 在Rt△ABC中,∠ABC=60,∴BC=AB. ∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===. ∴AD與平面PAC所成角的正弦值為. (3)解 ∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC. 又∵AE?平面PAC,PE?平面PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE. ∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90. ∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC. 這時,∠AEP=90, 故存在點E使得二面角A—DE—P是直二面角. 課后練習區(qū) 1.充要 2.①②③ 3.①③④ 4.①② 5. 6. 解析 ∵PA⊥底面ABC, ∴PA為三棱錐P-ABC的高,且PA=3. ∵底面ABC為正三角形且邊長為2,∴底面面積為22sin 60=,∴VP-ABC=3=. 7.①②③ 8.+ 9. (1)證明 方法一 (綜合法)如圖所示,設(shè)G是線段DA延長線與線段EB延長線的交點.由于△OAB與△ODE都是正三角形,且OD=2, 所以O(shè)B綊DE,(3分) OG=OD=2.(5分) 同理,設(shè)G′是線段DA延長線與線段FC延長線的交點,有OC綊DF,OG′=OD=2. 又由于G和G′都在線段DA的延長線上, 所以G與G′重合.(10分) 在△GED和△GFD中,由OB綊DE和OC綊DF,可知B、C分別是GE和GF的中點,所以BC是△GEF的中位線,故BC∥EF.(12分) 方法二 (向量法)過點F作FQ⊥AD,交AD于點Q,連結(jié)QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,從而FQ⊥QE,F(xiàn)Q⊥DQ.以Q為坐標原點,為x軸正方向,為y軸正方向,為z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.(4分) 由條件知E(,0,0),F(xiàn)(0,0,),B(,-,0),C(0,-,),則=(-,0,),=(-,0,). 所以=2,即BC∥EF.(7分) (2)由OB=1,OE=2,∠EOB=60,知S△OBE=,而△OED是邊長為2的正三角形,故S△OED=. 所以S四邊形OBED=S△OBE+S△OED=.(10分) 過點F作FQ⊥AD,交AD于點Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高,且FQ=,所以VF-OBED=FQS四邊形OBED=.(12分) 10.(1)證明 設(shè)AC∩BD=H,連結(jié)EH.在△ADC中,因為AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H為AC的中點,又由題設(shè),知E為PC的中點,故EH∥PA.又EH?平面BDE,且PA?平面BDE, 所以PA∥平面BDE.(4分) (2)證明 因為PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.又PD∩DB=D, 故AC⊥平面PBD.(8分) (3)解 由AC⊥平面PBD可知,BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影,所以∠CBH為直線BC與平面PBD所成的角. 由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2,可得DH=CH=,BH=.在Rt△BHC中,tan∠CBH==. 所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為. (14分) 11.(1)證明 在△ABD中,由于AD=4, BD=8,AB=4, 所以AD2+BD2=AB2. 故AD⊥BD.(2分) 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD, 所以BD⊥平面PAD. 又BD?平面MBD, 故平面MBD⊥平面PAD.(6分) (2)解 過點P作PO⊥AD交AD于點O, 由于平面PAD⊥平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD.(8分) 因此PO為四棱錐P—ABCD的高. 又△PAD是邊長為4的等邊三角形, 因此PO=4=2.(10分) 在底面四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC, 所以四邊形ABCD是梯形, 在Rt△ADB中,斜邊AB上的高為=, 此即為梯形ABCD的高, 所以四邊形ABCD的面積為S==24. 故VP—ABCD=242=16.(16分)- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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