2019-2020年高中數(shù)學《等比數(shù)列的前n項和》教案7 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學《等比數(shù)列的前n項和》教案7 新人教A版必修5 我將從教材分析、教學目標、教學方法、教學過程的構(gòu)思與設想以及教學反思等五個方面對本節(jié)課的設計進行說明。 一、教材分析 數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，現(xiàn)實生活和高等數(shù)學的很多內(nèi)容常用到它，同時又是對學生進行觀察、分析、歸納、計算、推理等基本訓練,提升學生數(shù)學能力的良好題材。 學生在前面已經(jīng)學習了數(shù)列的概念、等差數(shù)列及其求和公式、等比數(shù)列的通項公式，這為本節(jié)內(nèi)容的學習奠定了基礎(chǔ)，而本節(jié)課的學習又為數(shù)列在各方面的應用奠定基礎(chǔ) 基于以上認識，我認為本節(jié)課的重點為：等比數(shù)列前n項和公式及其應用。由于公式的推導方法學生不易想出，所以本節(jié)課的難點為：等比數(shù)列前n項和公式的推導過程。突破難點的關(guān)鍵在于創(chuàng)設合適的教學情境將學生的思維引導到最近的發(fā)現(xiàn)區(qū)。 二、教學目標 依據(jù)教材、教學大綱和學生實際，我確立了如下教學目標： 1、知識與技能目標：（1）使學生掌握并能靈活運用等比數(shù)列前n項和公式，掌握該公式的推導方法——乘公比錯位相減法。 （2）滲透分類討論等數(shù)學思想，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。 2、過程與方法目標：在公式及其推導方法的探究過程中培養(yǎng)學生的觀察、猜想、分析、綜合的思維能力，使學生掌握研究問題的科學方法。 3、情感與態(tài)度目標：創(chuàng)設輕松愉快的教學氛圍，讓學生在自主探究、合作交流過程中收獲知識，提升能力，獲得學習成功的愉悅和快樂，并關(guān)注其個性品質(zhì)；通過對公式的推導和對公比q的討論，進一步形成學生勇于探索、嚴謹治學的科學態(tài)度。 三、教學方法 教學過程是教與學以及師生合作、生生合作的多邊活動過程，教學方法對 教學目的的實現(xiàn)和學生素質(zhì)的提高具有非常重要的意義。 （1） 教法 建構(gòu)主義認為，知識不能由教師簡單地傳遞給學生而只能由學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構(gòu)，因此本節(jié)課我主要采用“引導發(fā)現(xiàn)法”來突出重點，突破難點。 過程如下： 第一步，講述數(shù)學故事并設置問題，激發(fā)學生的學習興趣。 第二步，解決故事中提出的問題。“無意中”求出麥粒數(shù)這個等比數(shù)列前64項的和。引導學生反思求和過程，根據(jù)求和過程大膽猜想等比數(shù)列求和的方法。 第三步，通過特殊數(shù)列驗證改進猜想。并嚴格證明猜想，得出等比數(shù)列求和公式及其推導方法。 第四步，通過例題和練習，鞏固所學內(nèi)容。 這樣設計將有利于調(diào)動學生思維的積極性，將學生的學習過程轉(zhuǎn)化為學生的自主探索過程，使學生真正成為課堂的主人，參與到整個教學活動的全過程中。采用“引導發(fā)現(xiàn)法”，通過教師精心設計教學情境和一系列活動，讓學生親身體驗知識發(fā)生、發(fā)展的過程，特別有利于培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新意識，發(fā)展他們的研究能力和實踐能力。 （2）學法 我們常說：“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學習方法的人”，因而在教學中要特別重視對學法的指導。教師只有教給學生治學之道，求是之法，才能讓學生把握學習的靈魂。 本節(jié)課學生將經(jīng)歷觀察、猜想、分析、證明、練習及鞏固過程。 通過本節(jié)學習使學生認識到學習的過程就是通過發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題進一步擴充自己的認知結(jié)構(gòu)的過程。逐步掌握認真觀察、動腦思考，大膽猜想，嚴格證明這一探索、研究問題的重要方法。 總之，本節(jié)教學方法設計是給學生提供眼耳腦口手五官并用的機會，優(yōu)化教學過程，把學習主動權(quán)交給學生，真正讓學生成為教學活動的主體。 同時還使用演示課件、投影等手段擴大課堂容量、激發(fā)學生興趣。 四、教學過程 依據(jù)辯證唯物主義認識論，教育心理學規(guī)律，根據(jù)教材分析和學生實際，本著提高學生探究能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力的目的，我把本節(jié)課的課堂結(jié)構(gòu)分為以下四環(huán)節(jié)。 1、創(chuàng)設情境，引入課題 本環(huán)節(jié)分為兩個層次： （1）復習等比數(shù)列定義和通項公式，并通過定義=q，得出an+1=anq， 啟發(fā)學生得出無窮等比數(shù)列的某一項乘以公比q所得結(jié)果仍然是這個數(shù)列中的項，并且是這一項的后一項，有窮數(shù)列的最后一項除外。 本層次主要是為掃除因舊知識不清而出現(xiàn)的障礙，為后面突破難點做好鋪墊。 （2）講述教學故事設置問題，創(chuàng)設情境。 師生一塊回憶本章引言中關(guān)于國際象棋的傳說：國際象棋起源于古代印度，國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上4顆麥粒，在第4個格子里放上8顆麥粒，依次類推，每一個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。國王覺得這并不是很難辦的事，就欣然同意了他的要求。可國王錯了，皇家總管用了整整三天的時間才算出麥粒數(shù)是18446744073709551615。這些麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸。7000億噸是一個多么龐大的數(shù)字，學生們可能想象不到，可以給學提供一個參照物：我們國家在xx年的糧食總產(chǎn)量不足5億噸，照我們國家現(xiàn)在的生產(chǎn)力水平7000億噸大約是1400多年的糧食總產(chǎn)量，何況古代印度的生產(chǎn)力水平呢？ 國王犯這樣的錯，主要是因為缺乏數(shù)學知識，那么，我們怎樣迅速計算出麥?？倲?shù)呢？ 因為在上一節(jié)等比數(shù)列的概念中，學生已經(jīng)知道麥粒數(shù)構(gòu)成了一個等比數(shù)列，此時提出等比數(shù)列怎樣求和水到渠成。 繼續(xù)講述故事：現(xiàn)在我們假設發(fā)明者要求使用另一種放法，在第1個格子里放2顆麥粒，在第2個格子里放4顆麥粒，在第3個格子里放8顆麥?！来晤愅疲恳粋€格子里放的麥粒數(shù)是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。 并設置問題：后一種放法與前一種放法相比，發(fā)明者能多得多少顆麥粒。 教師放手讓學生去研究、去探索、去討論。 學生比較容易得出： S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263 S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264 兩式相減得S-S64=264-1 也就是第二種放法比第一種放法能多得264-1顆麥粒。 教師引導學生考慮每一格中兩種放法對應的麥粒數(shù)的關(guān)系，進而得出兩種放法對應的麥?？倲?shù)的關(guān)系。 至此，學生發(fā)現(xiàn)S-S64=S64，也就是第二種放法比第一種放法多得的麥粒數(shù)恰好為第一種放法所得麥?？倲?shù)。 為引導學生觀察教師提出問題：“在S64 與S中有這么多項你是怎樣計算出結(jié)果的?！睂W生發(fā)現(xiàn)兩式中絕大多數(shù)項相同，在作差時被消去，從而為后面突破難點設置臺階。 本層次通過故事引入，可以極大地調(diào)動全體同學的積極性，使不同層次的學生都興致勃勃地參與課堂活動。改編故事設置第二種放法，主要是因為等比數(shù)列前n項和的求法，學生不易想出，而學生在解決故事中的問題時會在“不經(jīng)意”中求出一個等比數(shù)列的和，從而回頭反思求和的過程。當然這里學生的“不經(jīng)意”是教師故意設置的教學情境。 2、自主探索、合作交流 本環(huán)節(jié)是教學過程的難點，我通過四個層次來分散難點、突出重點。 （1）觀察分析、提出猜想 教師提出問題：“剛才我們在不經(jīng)意中求出了一個數(shù)列的前64項和，現(xiàn)在我們回頭分析一下是怎求求和的，請大家首先觀察兩個等式之間有什么關(guān)系，并考慮我們求出和的過程。” 屏幕顯示：S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263 ------- ---① S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264 ---------------② 學生經(jīng)過觀察、分析、討論，將兩式關(guān)系總結(jié)為兩點： （Ⅰ） ②式對應的數(shù)列是①式的對應數(shù)列的各項乘以2后得到的。 （Ⅱ）①式與②式絕大多數(shù)項相同，在相減時被消去。 教師設置問題：“據(jù)此分析，請同學們大膽猜想，求一個等比數(shù)列前n項和可以怎樣進行？” 讓學生暢所欲言，大膽發(fā)表自己的看法。如果學生回答確有困難，教師可對照上面的解法給予適當提示。根據(jù)以往授課經(jīng)驗，多數(shù)學生認為可以將Sn乘以2后再與Sn相減。 （2）驗證猜想，改進猜想 教師指導全體學生按照多數(shù)學生的猜想進行研究，其他同學的猜想在課后自己進行研究。 啟發(fā)學生先用特殊數(shù)列驗證猜想。 屏幕顯示等比數(shù)列：1，3，9，27，……，3n-1，… 學生驗證后發(fā)現(xiàn)不能求出Sn 學生思路受阻，教師選擇適當時機點撥，引導學生觀察：第二個數(shù)列對應的兩個等式和第一個數(shù)列對應的兩個等式之間有什么差別。 經(jīng)過學生觀察、討論可以得到第二個數(shù)列的兩式?jīng)]有出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項。 教師組織學生進一步討論：“為什么第一個數(shù)列乘以2后能出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項因而能求和，而第二個數(shù)列乘以2后不能出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項因而不能求和？第一個數(shù)列乘以2后能求和是不是一種偶然的巧合呢？” 學生思考、分析、討論，如果學生回答確有困難，教師可以提示：第一個數(shù)列乘以2后能求和而第二個數(shù)列乘以2后不能求和，是不是2相對于兩個數(shù)列角色不一樣？ 學生經(jīng)過觀察、分析、討論后認定2是第一個數(shù)列的公比，但并不是第二個數(shù)列的公比。 教師及時引導：“看來我們的猜想還需要進一步改進，那么應怎樣改進呢？” 學生很快得出：應將Sn乘以公比后再與Sn作差 教師啟發(fā)學生先用特殊數(shù)列驗證。 學生按改進后的猜想，去求剛才的第二個等比數(shù)列1，3，9，27，…，3n-1…的前n項和，發(fā)現(xiàn)能求出Sn . 教師提出問題：改進后的猜想能用來求這兩個數(shù)列的和，那么是不是所有的等比數(shù)列都可以這樣求和呢？ 學生得出肯定的結(jié)論后，教師引導學生反思：為什么乘以公比以后能求和。 如果學生回答確有困難，教師可提示學生出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項作差時能消去是關(guān)鍵，再結(jié)合剛上課復習等比數(shù)列定義時得出的等比數(shù)列中的項乘以公比q所得結(jié)果為該數(shù)列中這一項的后一項，則可以斷定Sn乘以公比q后的qSn表達式與Sn表達式中絕大多數(shù)項相同，作差時能消去。 再回頭看第一個數(shù)列乘以2，再作差能求和，表面現(xiàn)象是乘以2，其本質(zhì)是乘以等比數(shù)列的公比。也就是出現(xiàn)那么多相同項的根本原因在于將每一項均乘以公比q后得到了這一項的下一項（有窮數(shù)列最后一項除外）。 分析至此，等比數(shù)列求和的方法已浮出水面。 （3）證明猜想 教師繼續(xù)引導：“這只是我們的分析過程，下面需要做的工作大家認為是什么？” 在學生答出證明以后，教師用屏幕顯示： 設公比為q的等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…的前n項和Sn=a1+a2+…+an 讓學生按照改進后的猜想去推導Sn，讓一名學生到黑板板演，教師巡回觀察。 學生一般出現(xiàn)兩種解法： 解法一： Sn=a1+a2+a3+a4…+an-1+an （a） q Sn=a1q+a2q+a3q+a4q…+an-1q+anq （b） （a）-（b）得（1-q）Sn=a1-anq，繼而求出Sn 解法二： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1 （c） qSn=a1q+a1q2+a1q3…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn （d） （c）-（d）得（1-q）Sn=a1-a1qn，繼而求出Sn 不論采用哪種解法，學生能夠比較容易地推出預定結(jié)論，但是，學生易在由（1-q）Sn=a1-anq或（1-q）Sn=a1-a1qn求出Sn時忽視對公比q的討論。 此處我的設計是，如果板演的同學討論了，則讓其他同學研究為什么討論；如果板演的同學沒有討論，則讓全體同學觀察其推理過程是否嚴密，從而培養(yǎng)學生思維的批判性、嚴謹性。 當q=1時的情形由學生自己得出。 投影學生的另一種解法，并讓學生研究兩種結(jié)果的一致性。 （4）加深認識 為使加深學生對公式及其推導過程的認識并進一步滲透分類討論思想，我設置以下兩點： ①給推導過程命名。引導學生對照前n項和公式的推導過程給這種方法取一個能夠體現(xiàn)該方法特點的名字，如果學生總結(jié)確有難度，教師可啟發(fā)學生觀察公式推導的步驟和作差時項的對應關(guān)系，最終得出乘公比錯位相減法。 ②總結(jié)公式。讓學生總結(jié)等比數(shù)列前n項和公式的表達式，啟發(fā)學生用分段函數(shù)的形式來表示： Sn= 讓學生閱讀課本，對所學內(nèi)容及時回顧、反思，培養(yǎng)學生良好的學習習慣。 3、練習應用、鞏固提高 為鞏固所學知識，我設置了3道例題： 例1、根據(jù)下列條件求相應的等比數(shù)列{an}的前n項和Sn （1）a1=3，q=2，n=6； （2）a1=8，q=，an=； 例2、計算等比數(shù)列1，2，4，8，…，263的和。 例3、求等比數(shù)列 1，a，a2，…，an-1，…的前n項和.（a∈R，a≠0） 三個例題都直接應用公式求解例1由學生自己完成；例2由師生一塊完成教師書寫規(guī)范的解題步驟，為學生規(guī)范解題樹立良好的榜樣，同時用例2照應本節(jié)課開始的數(shù)學故事；例3用來強化學生的分類討論思想學生先做最后教師講評。 4、課堂小結(jié) 本環(huán)節(jié)分為兩個層次，第一層次由學生小結(jié)本節(jié)課所學主要內(nèi)容，回憶學習過程，歸納最重要的收獲。以鞏固新知，及時反思，提高能力。第二層次由教師小結(jié)教材體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法。 以上四環(huán)節(jié)的時間分配設計： 1、創(chuàng)設情境、引入課題大約6分鐘 2、合作討論、探索方法大約25分鐘 3、練習應用、鞏固提高大約10分鐘 4、課堂小結(jié)大約4分鐘 為更好地復習鞏固所學內(nèi)容布置如下作業(yè)。第3題為研究性作業(yè)，用于訓練學生思維的發(fā)散性，進一步提升學生的探索和研究能力。 1、求等比數(shù)列8，-4，2，-1, …的前5項的和 2、求等比數(shù)列1，2，4，……從第5項到第10項的和。 3、研究性作業(yè)(選做)：探究等比數(shù)列前n項和公式的其他證明方法。 板書設計 標題 1、定義、通項公式 2、第二種放法比第一種放法多得麥粒數(shù)的計算及猜想的驗證、改進等 證明過程 ----------------------- ----------------------- ----------------------- ----------------------- 3、例題1------------------------ --------------------------- 例題2------------------------- 例題3-------------------------- --------------------------- 4、小結(jié)------------------------ ------------------------- 5、作業(yè)----------------------- ------------------------------ --------------------- 五、教學反思 本節(jié)課根據(jù)學習內(nèi)容的需要和學生的認知基礎(chǔ)采用引導發(fā)現(xiàn)法，結(jié)合多媒體課件的使用，使難以入手的公式推導變得簡單可行。 在教學過程中積極為學生創(chuàng)造開放民主、和諧自由的課堂氛圍，可以極大地調(diào)動學生學習的積極性、主動性，并關(guān)注學生個性品質(zhì)，讓學生在一種輕松愉快的氣氛中自主探索、合作交流，體驗知識的形成過程，主動攝取知識形成能力，獲得積極的情感體驗，形成科學的態(tài)度和價值觀，從而促進每一個學生全面和諧健康地發(fā)展。 說課到此結(jié)束，請各位專家多提寶貴意見！ 謝謝！