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1、數(shù)列前n項和的求法 第 二 中 學 趙 小 飛 求 數(shù) 列 前 n項 和 是 數(shù) 列 的 重 要 內 容 ，也 是 一 個 難 點 。 求 等 差 （ 等 比 ） 數(shù) 列 的前 n項 和 ， 主 要 是 應 用 公 式 。 對 于 一 些 既不 是 等 差 也 不 是 等 比 的 數(shù) 列 ， 就 不 能 直接 套 用 公 式 ， 而 應 根 據(jù) 它 們 的 特 點 ， 對其 進 行 變 形 、 轉 化 ， 利 用 化 歸 的 思 想 ，來 尋 找 解 題 途 徑 。一、拆項轉化法例 1已 知 數(shù) 列 中 ， 且（ ， ,且 t為 常 數(shù) ） ， 求 na 3 nta nnNn0t nS 例 1
2、已 知 數(shù) 列 中 ， 且 （ ， ,且 t為 常 數(shù) ） ， 求 na 3 nta nnNn0t nS解 ： 當 t=1時 ，當 時 ， 2 )3(2 )3(2 nnnnnS n1t 2 )5(1 )1( nntttS nn 分 析 ： 觀 察 數(shù) 列 的 通 項 公 式 ， 數(shù) 列 可 以“ 分 解 ” 為 一 個 公 比 為 t的 等 比 數(shù) 列 和 一個 公 差 為 1的 等 差 數(shù) 列 ， 因 此 ， 只 要 分別 求 出 這 兩 個 數(shù) 列 的 前 n項 之 和 ， 再 把 它 們 相加 就 可 得 。 注 意 等 比 數(shù) 列 前 n項 和 公 式 對公 比 q的 要 求 ， 可
3、得 如 下 解 法 : na nt3 nnS 總 結 ： 拆 項 轉 化 常 用 于 通 項 是 多 項 式的 情 況 。 這 時 ， 可 把 通 項 拆 成 兩 個（ 或 多 個 ） 基 本 數(shù) 列 的 通 項 ， 再 求 和 。有 時 也 應 用 自 然 數(shù) 的 方 冪 和 公 式 求 ，常 用 的 有 ： na na nS)12)(1( 611 2 nnnknk 221 3 )1(41 nnknk 2 )1(1 nnknk 例 2、 求 數(shù) 列 1， 1+2， 1+2+3， 1+2+3+4 ， ， 1+2+3+ +n， 的 前 n項 和 Sn。解 :該 數(shù) 列 通 項 nnnan 212
4、1321 2 令 ， ， 則221 nb n ncn 21 nnn cba 數(shù) 列 的 前 n項 和 nb )21(21 222 nSN )12)(1(121 nnn數(shù) 列 的 前 n項 和 nc )1(41)21(21 nnnSn )2)(1(61 nnnSSS nnn 二 、裂項相消法 常 用 的 消 項 變 換 有 ：111)1( 1 nnnnan )12 112 1(21)12)(12( 1 nnnnan )2)(1( 1)1( 121)2)(1( 1 nnnnnnna n !)!1(! nnnnan )1()1()2)(1(31)1( nnnnnnnnan : : nnnnan 11
5、1: : : : 二 、裂項相消法 常 用 的 消 項 變 換 有 ： : )2)(1( nnnan )2)(1()1()3)(2)(1(41 nnnnnnnn例 3、 求 )2)(1(432321 nnnSn解 ： 由 上 面 知 ： )43215432()32104321(41nS )3)(2)(1(41 nnnn )2)(1()1()3)(2)(1( nnnnnnnn 例 4、 求 344 145121151 2 nnS n解 ： 其 “ 通 項 ” )32)(12( 1344 12 nnnnan )32 112 1(41 nn )12132 1()9151()7131()511(41
6、nnS n)32 112 1( nn )32)(12(3 )54()32 1121311(41 nn nnnn 三 、 倒序相加法 課 本 等 差 數(shù) 列 前 n項 和公 式 就 是 用 倒 序 相 加 法 推 導 的 。nS例 5、 已 知 數(shù) 列 是 首 項 為 1， 公 差 為 2的 等 差數(shù) 列 ， 求 na 1322110 nnnnnnn aCaCaCaCS分 析 ： 注 意 到 且 當 m+n=p+q時 ， 有 ： （ 等 差 數(shù) 列 的 性 質 ）kn nkn CC qpnm aaaa 解 ： ， 又1322110 nnnnnnn aCaCaCaCS101211 aCaCaCaC
7、S nnnnnnnnnnn 兩 式 相 加 得 ： n nnnnnnn aaCCCaaS 2)()(2 111011 nnnnn nnaaS 2)1(2)22(2)( 1111 四、錯位相消法 課 本 推 導 等 比 數(shù) 列 前 n項 和 公 式 的方 法 。 利 用 可 求 兩 類 數(shù) 列 的 和 ， 其 通 項 分別 是 ： nn qSS （ ） （ ） 分 母 是 等 比 數(shù) 列分 子 是 等 差 數(shù) 列字 母 是 等 比 數(shù) 列系 數(shù) 是 等 差 數(shù) 列例 6、 求 數(shù) 列 的 前 n項 和 ,2 12,43,21 nn 解 ： (1)nn nS 2 12167854321 (2) 1
8、2 122 32165834121 nnn nnS (1)(2)，得 12 122216282422121 nnn nSnnnn nnS 2 3232 122141212 2 五、 并項法例 7， 已 知 數(shù) 列 的 通 項 ，求 數(shù) 列 前 2n項 和 n a 21)1( na nn nS2解 ： 2222222 )2()12(4321 nnS n 令 14)2()12( 22212 nnnaab nnn 是 首 項 為 -3， 公 差 為 -4的 等 差 數(shù) 列 nb )12( 141173 212 nn nbbbS nn評 注 ： 用 并 項 法 把 相 鄰 的 一 正 一 負 兩 項
9、并 作一 項 ， 從 而 使 通 項 降 次 ， 得 以 轉 化 為 等 差 數(shù)列 求 解 。 六 、 逐 差 求 和 法 （ 又 叫 加 減 法 ， 迭 加 法 ） 當 所 給 數(shù) 列 每 依 次 相 鄰 兩 項 之 間 的 差 組 成等 差 或 等 比 數(shù) 列 時 ， 就 可 用 迭 加 法 進 行 消 元 例 8， 求 數(shù) 列 ： 1， 3， 7， 13， 21，31， 的 和 na解 ： 12 12 aa 2223 aa 3234 aa 4245 aa 121 naa nn 13212 1 naan na ns 兩 邊 相 加 得 ： 例 8， 求 數(shù) 列 ： 1， 3， 7， 13， 21，31， 的 和 na1212 aa 2223 aa 3234 aa 42 45 aa 121 naa nn 132121 naann a ns 兩 邊 相 加 得 ：故 11 22 nnnnan取 n=1， 2， 3， ， n， 相 加 得 ： )2(31)321()321( 22222 nnnnnSn 大 家 好 ！
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