2019-2020年高三數學一輪復習 專項訓練 基本不等式（含解析）.doc
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2019-2020年高三數學一輪復習 專項訓練 基本不等式（含解析） 1、(xx山東卷)設正實數x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為 ( )． A．0 B．1 C. D．3 解析 (1)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2， ∴＝＝. 又x，y，z為正實數，∴＋≥4， 當且僅當x＝2y時取等號，此時z＝2y2. ∴＋－＝＋－＝－2＋ ＝－2＋1，當＝1，即y＝1時，上式有最大值1. 答案：B 2、已知＋＝1，(x＞0，y＞0)，則x＋y的最小值為 ( )． A．1 B．2 C．4 D．8 解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)＝ 4＋2≥4＋4＝8. 當且僅當＝，即x＝y(tǒng)＝4時取等號． 答案：D 3、(1)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是 ( )． A. B. C．5 D．6 (2)若正數x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是 ( )． A. B. C．2 D. 解析 (1)由x＋3y＝5xy可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5(當且僅當＝，即x＝1，y＝時，等號成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. (2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2(2x)(3y)＋3xy(當且僅當2x＝3y時等號成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值為2. 答案 (1)C (2)C 4、設x，y均為正實數，且＋＝1，則xy的最小值為 ( )． A．4 B．4 C．9 D．16 解析 由＋＝1可化為xy＝8＋x＋y，∵x，y均為正實數，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值為16. 答案 D 5．(xx泰安一模)若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是( )． A．a＋b≥2 B.＋＞ C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab 解析 因為ab＞0，即＞0，＞0，所以＋≥2＝2. 答案 C 6、設a＞0，b＞0.若a＋b＝1，則＋的最小值是( )． A．2 B. C．4 D．8 解析 由題意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當＝，即a＝b＝時，取等號，所以最小值為4. 答案 C 7．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )． A．3 B．4 C．5 D．6 解析 由題意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a， ∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4. 答案 B 8．已知函數y＝x－4＋(x＞－1)，當x＝a時，y取得最小值b，則a＋b＝( )． A．－3 B．2 C．3 D．8 解析 y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，當且僅當x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2時取等號，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3. 答案 C 9．若正實數a，b滿足ab＝2，則(1＋2a)(1＋b)的最小值為________． 解析 (1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.當且僅當2a＝b，即a＝1，b＝2時取等號． 答案 9 10．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為______． 解析 ∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.當且僅當＝，即當x＝，y＝2時取等號． 答案 3 11．函數y＝a1－x(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，則＋的最小值為________． 解析 ∵y＝a1－x恒過點A(1,1)，又∵A在直線上， ∴m＋n＝1.而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當m＝n＝時，取“＝”，∴＋的最小值為4. 答案 4 12． 已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求u＝lg x＋lg y的最大值； 解：∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20， ∴2≤20，xy≤10，當且僅當2x＝5y時，等號成立．因此有解得 此時xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. 13．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數m的取值范圍是( )． A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 解析 ∵x>0，y>0且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋ ≥4＋2 ＝8，當且僅當＝， 即x＝4，y＝2時取等號， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4
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