2019-2020年中考數(shù)學思維方法講義:第13講 直線和圓的位置關系.doc
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狀元廊學校數(shù)學思維方法講義之十三 年級:九年級 2019-2020年中考數(shù)學思維方法講義:第13講 直線和圓的位置關系 圓的知識在平面幾何中乃至整個初中教學中都占有重要的地位,而直線和圓的位置關系的應用又比較廣泛,它是初中幾何知識的綜合運用,又是在學習了點和圓的位置關系的基礎上進行的,在幾何證明與計算中,將起到重要的作用,是中考必考查點。 【知識縱橫】 Ⅰ直線和圓的位置關系: 設圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d. ⑴直線與圓相交d__ ____ r; ⑵直線與圓相切d__ ____ r; ⑶直線與圓相離d__ ____r。 Ⅱ圓的切線: 1.一個定義:與圓只有一個公共點的直線叫做圓的__ ___;這個公共點叫做__ ___; 2.兩種判定:⑴若圓心到直線的距離等于半徑,則該直線是圓的切線;⑵經過直徑的一端,并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線; 3.判定直線和圓的位置,一般考慮如下“三步曲”: 一“看”:看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個公共點; 二“算”:算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關系,然后根據(jù)上述關系作出判斷; 三“證明”: 證明直線是否經過直徑的一端,并且與該直徑的位置關系是否垂直。 4.四條性質:切線有許多重要性質 ⑴圓心到切線的距離等于圓的_ ____; ⑵過切點的半徑垂直于_ ____; ⑶經過圓心,與切線垂直的直線必經過___ __; ⑷經過切點,與切線垂直的直線必經過____ _。 5.弦切角 定義 :頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角; 定理 :弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角. 推論 :a)兩個弦切角所夾的弧相等,這兩個弦切角也相等; b)弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半。 【典例精析】 考點1: 直線和圓的位置關系 【例1】1、如圖,已知⊙是以數(shù)軸的原點為圓心,半徑為1的圓,,點在數(shù)軸上運動,若過點且與平行的直線與⊙有公共點, 設,則的取值范圍是__________. 2、射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.動點P從點Q出發(fā),沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動,經過t秒,以點P為圓心, cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點在邊上),請寫出t可取的一切值 (單位:秒). 變式一: 1、如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠A=30,AB=.若動點D在線段AC上(不與點A、C重合),過點D作DE⊥AC交AB邊于點E. (1)當點D運動到線段AC中點時,DE= ; (2)點A關于點D的對稱點為點F,以FC為半徑作⊙C,當DE= 時,⊙C與直線AB相切. 2、如圖,在直角梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠C=90,且 AB>AD+ BC,AB是⊙O直徑,則直線CD與⊙O的位置關系為_____ _. 考點2: 圓的切線的性質基本運用 【例2】已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B,PD交⊙O于點C、D,PE是⊙O的切線,E為切點,連結AE,交CD于點F. (1)若⊙O的半徑為8,求CD的長; (2)證明:PE=PF; (3)若PF=13,sinA=,求EF的長. 變式二: 如圖,⊙O是△ABC的外接圓,F(xiàn)H是⊙O 的切線,切點為F,F(xiàn)H∥BC,連結AF交BC于E,∠ABC的平分線BD交AF于D,連結BF. (1)證明:AF平分∠BAC; (2)證明:BF=FD; (3)若EF=4,DE=3,求AD的長. 考點3:切線的判定定理運用 【例4】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點D,連接AD,過點D作DE⊥AC,垂足為點E,交AB的延長線于點F. (1)求證:EF是⊙O的切線; (2)如果⊙O的半徑為5,sin∠ADE=,求BF的長. 【例5】如圖,在⊙O中,直徑AB⊥CD,垂足為E,點M在OC上,AM的延長線交⊙O于點G,交過C的直線于F,∠1=∠2,連結CB與DG交于點N. (1)求證:CF是⊙O的切線; (2)求證:△ACM∽△DCN; (3)若點M是CO的中點,⊙O的半徑為4,cos∠BOC=,求BN的長. 變式三: 如圖,中,,以為直徑作交邊于點,是邊的中點,連接. (1)求證:直線是的切線; C E B A O F D (2)連接交于點,若,求的值. 【思維拓展】 【例6】如圖,PA為⊙O的切線,A為切點,直線PO交⊙O與點E,F(xiàn),過點A作PO的垂線AB垂足為D,交⊙O與點B,延長BO與⊙O交與點C,連接AC,BF. (1)求證:PB與⊙O相切; (2)試探究線段EF,OD,OP之間的數(shù)量關系,并加以證明; (3)若AC=12,tan∠F=,求cos∠ACB的值. 【例7】已知AB是⊙O的直徑,AB=4,點C在線段AB的延長線上運動,點D在⊙O上運動(不與點B重合),連接CD,且CD=OA. (1)當OC=時(如圖),求證:CD是⊙O的切線; (2)當OC>時,CD所在直線于⊙O相交,設另一交點為E,連接AE. ①當D為CE中點時,求△ACE的周長; ②連接OD,是否存在四邊形AODE為梯形?若存在,請說明梯形個數(shù)并求此時AE?ED的值;若不存在,請說明理由. 變式四: 如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,以點D為圓心、DC為半徑作,點E在AB上,且與A、B兩點均不重合,點M在AD上,且ME=MD,過點E作EF⊥ME,交BC于點F,連接DE、MF. (1)求證:EF是所在⊙D的切線; (2)當MA=時,求MF的長; (3)試探究:△MFE能否是等腰直角三角形?若是,請直接寫出MF的長度;若不是,請說明理由. 【課后測控】 1、如圖1,,半徑為1cm的切于點,若將在上向右滾動,則當滾動到與也相切時,圓心移動的水平距離是__________cm. 2、如圖2,DB為半圓的直徑,A為BD延長線上一點,AC切半圓于點E,BC⊥AC于點C,交半圓于點F.已知BD=2,設AD=x,CF=y,則y關于x的函數(shù)解析式是 ?。? 圖1 圖2 圖3 3、如圖,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半徑為1,點P是AB邊上的動點,過點P作⊙O的一條切線PQ(點Q為切點),則切線PQ的最小值為 . 4、如圖,AB為半圓的直徑,C是半圓弧上一點,正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上,另一邊DE過ΔABC的內切圓圓心O,且點E在半圓弧上。①若正方形的頂點F也在半圓弧上,則半圓的半徑與正方形邊長的比是____________;②若正方形DEFG的面積為100,且ΔABC的內切圓半徑=4,則半圓的直徑AB = __________. 5、如圖,已知直線交⊙O于A、B兩點,AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,且AC平分∠PAE,過C作,垂足為D. (1) 求證:CD為⊙O的切線; (2) 若DC+DA=6,⊙O的直徑為10,求AB的長度. 6、如圖,直線經過⊙O上的點,并且,,⊙O交直線于,連接. (1)求證:直線是⊙O的切線; (2)試猜想三者之間的等量關系,并加以證明; (3)若,⊙O的半徑為3,求的長. 7、如圖,已知AB是⊙O直徑,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于點F,交BC于點G,過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P. (1)求證:PC=PG; (2)點C在劣弧上運動時,其他條件不變,若點G是BC的中點,試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關系,并寫出證明過程; (3)在滿足(2)的條件下,已知⊙O的半徑為5,若點O到BC的距離為時,求弦ED的長. 部分答案與提示: 【例2】考點:切線的性質;線段垂直平分線的性質;勾股定理;解直角三角形. 分析:(1)首先連接OD,由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B,⊙O的半徑為8,可求得OB的長,又由勾股定理,可求得BD的長,然后由垂徑定理,求得CD的長; (2)由PE是⊙O的切線,易證得∠PEF=90﹣∠AEO,∠PFE=∠AFB=90﹣∠A,繼而可證得∠PEF=∠PFE,根據(jù)等角對等邊的性質,可得PE=PF; (3)首先過點P作PG⊥EF于點G,易得∠FPG=∠A,即可得FG=PF?sinA=13=5,又由等腰三角形的性質,求得答案. 解答:解:(1)連接OD, ∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B,⊙O的半徑為8, ∴OB=OA=4,BC=BD=CD, ∴在Rt△OBD中,BD==4, ∴CD=2BD=8; (2)∵PE是⊙O的切線, ∴∠PEO=90, ∴∠PEF=90﹣∠AEO,∠PFE=∠AFB=90﹣∠A, ∵OE=OA, ∴∠A=∠AEO, ∴∠PEF=∠PFE, ∴PE=PF; (2)過點P作PG⊥EF于點G, ∴∠PGF=∠ABF=90, ∵∠PFG=∠AFB, ∴∠FPG=∠A, ∴FG=PF?sinA=13=5, ∵PE=PF, ∴EF=2FG=10. H 變式二: 2.證明(1)連結OF ∵FH是⊙O的切線 ∴OF⊥FH ……………1分 ∵FH∥BC , ∴OF垂直平分BC ………2分 ∴ ∴AF平分∠BAC …………3分 (2)證明:由(1)及題設條件可知 ∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2 ……………4分 H ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD ………………6分 (3)解: 在△BFE和△AFB中 ∵∠5=∠2=∠1,∠F=∠F ∴△BFE∽△AFB ………………7分 ∴, ……………8分 ∴ ∴ ……………………9分 ∴ ∴AD== …………………10分 【例4】考點:切線的判定;等腰三角形的性質;圓周角定理;解直角三角形. 分析:(1)連結OD,AB為⊙0的直徑得∠ADB=90,由AB=AC,根據(jù)等腰三角形性質得AD平分BC,即DB=DC,則OD為△ABC的中位線,所以OD∥AC,而DE⊥AC,則OD⊥DE,然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結論; (2)由∠DAC=∠DAB,根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可計算出AD=8,在Rt△ADE中可計算出AE=,然后由OD∥AE, 得△FDO∽△FEA,再利用相似比可計算出BF. 解答:(1)證明:連結OD,如圖, ∵AB為⊙0的直徑, ∴∠ADB=90, ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴AD平分BC,即DB=DC, ∵OA=OB, ∴OD為△ABC的中位線, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC, ∴OD⊥DE, ∴EF是⊙0的切線; (2)解:∵∠DAC=∠DAB, ∴∠ADE=∠ABD, 在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD==,而AB=10, ∴AD=8, 在Rt△ADE中,sin∠ADE==, ∴AE=, ∵OD∥AE, ∴△FDO∽△FEA, ∴=,即=, ∴BF=. 【例5】考點:圓的綜合題;切線的判定與性質;相似三角形的判定與性質. 分析:(1)根據(jù)切線的判定定理得出∠1+∠BCO=90,即可得出答案; (2)利用已知得出∠3=∠2,∠4=∠D,再利用相似三角形的判定方法得出即可; (3)根據(jù)已知得出OE的長,進而利用勾股定理得出EC,AC,BC的長,即可得出CD,利用(2)中相似三角形的性質得出NB的長即可. 解答:(1)證明:∵△BCO中,BO=CO, ∴∠B=∠BCO, 在Rt△BCE中,∠2+∠B=90, 又∵∠1=∠2, ∴∠1+∠BCO=90, 即∠FCO=90, ∴CF是⊙O的切線; (2)證明:∵AB是⊙O直徑, ∴∠ACB=∠FCO=90, ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO, 即∠3=∠1, ∴∠3=∠2, ∵∠4=∠D, ∴△ACM∽△DCN; (3)解:∵⊙O的半徑為4,即AO=CO=BO=4, 在Rt△COE中,cos∠BOC=, ∴OE=CO?cos∠BOC=4=1, 由此可得:BE=3,AE=5,由勾股定理可得:CE===, AC===2, BC===2, ∵AB是⊙O直徑,AB⊥CD, ∴由垂徑定理得:CD=2CE=2, ∵△ACM∽△DCN, ∴=, ∵點M是CO的中點,CM=AO=4=2, ∴CN===, ∴BN=BC﹣CN=2﹣=. 【例6】考點:圓的綜合題;探究型;切線的判定與性質;相似三角形的判定與性質;全等三角形的判定與性質;銳角三角函數(shù)的定義. 分析:(1)連接OA,由OP垂直于AB,利用垂徑定理得到D為AB的中點,即OP垂直平分AB,可得出AP=BP,再由OA=OB,OP=OP,利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等,由PA為圓的切線,得到OA垂直于AP,利用全等三角形的對應角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP,即PB為圓O的切線; (2)由一對直角相等,一對公共角,得出三角形AOD與三角形OAP相似,由相似得比例,列出關系式,由OA為EF的一半,等量代換即可得證. (3)連接BE,構建直角△BEF.在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設BE=x,BF=2x,進而可得EF=x;然后由面積法求得BD=x,所以根據(jù)垂徑定理求得AB的長度,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理易求BC的長;最后由余弦三角函數(shù)的定義求解. 解答:(1)證明:連接OA, ∵PA與圓O相切, ∴PA⊥OA,即∠OAP=90, ∵OP⊥AB, ∴D為AB中點,即OP垂直平分AB, ∴PA=PB, ∵在△OAP和△OBP中, , ∴△OAP≌△OBP(SSS), ∴∠OAP=∠OBP=90, ∴BP⊥OB, 則直線PB為圓O的切線; (2)答:EF2=4DO?PO. 證明:∵∠OAP=∠ADO=90,∠AOD=∠POA, ∴△OAD∽△OPA, ∴=,即OA2=OD?OP, ∵EF為圓的直徑,即EF=2OA, ∴EF2=OD?OP,即EF2=4OD?OP; (3)解:連接BE,則∠FBE=90. ∵tan∠F=, ∴=, ∴可設BE=x,BF=2x, 則由勾股定理,得 EF==x, ∵BE?BF=EF?BD, ∴BD=x. 又∵AB⊥EF, ∴AB=2BD=x, ∴Rt△ABC中,BC=x, AC2+AB2=BC2, ∴122+(x)2=(x)2, 解得:x=4, ∴BC=4=20, ∴cos∠ACB===. 【例7】考點:圓的綜合題;存在型;分類討論;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形;等邊三角形的判定與性質;梯形;切線的判定;解直角三角形;相似三角形的判定與性質. 分析:(1)關鍵是利用勾股定理的逆定理,判定△OCD為直角三角形,如答圖①所示; (2)①如答圖②所示,關鍵是判定△EOC是含30度角的直角三角形,從而解直角三角形求出△ACE的周長; ②符合題意的梯形有2個,答圖③展示了其中一種情形.在求AE?ED值的時候,巧妙地利用了相似三角形,簡單得出了結論,避免了復雜的運算. 解答:(1)證明:連接OD,如答圖①所示. 由題意可知,CD=OD=OA=AB=2,OC=, ∴OD2+CD2=OC2 由勾股定理的逆定理可知,△OCD為直角三角形,則OD⊥CD, 又∵點D在⊙O上, ∴CD是⊙O的切線. (2)解:①如答圖②所示,連接OE,OD,則有CD=DE=OD=OE, ∴△ODE為等邊三角形,∠1=∠2=∠3=60; ∵OD=CD,∴∠4=∠5, ∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30, ∴∠EOC=∠2+∠4=90, 因此△EOC是含30度角的直角三角形,△AOE是等腰直角三角形. 在Rt△EOC中,CE=2OA=4,OC=4cos30=, 在等腰直角三角形AOE中,AE=OA=, ∴△ACE的周長為:AE+CE+AC=AE+CE+(OA+OC) =+4+(2+)=6++. ②存在,這樣的梯形有2個. 答圖③是D點位于AB上方的情形,同理在AB下方還有一個梯形,它們關于直線AB成軸對稱. ∵OA=OE,∴∠1=∠2, ∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5, ∵四邊形AODE為梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2, ∴∠3=∠5=∠1, 在△ODE與△COE中, ∴△ODE∽△COE, 則有,∴CE?DE=OE2=22=4. ∵∠1=∠5,∴AE=CE, ∴AE?DE=CE?DE=4. 綜上所述,存在四邊形AODE為梯形,這樣的梯形有2個,此時AE?DE=4. 變式四:考點:圓的綜合題;幾何綜合題;切線的判定;全等三角形的判定與性質;相似三角形的判定與性質;勾股定理. 分析:(1)過點D作DG⊥EF于G,根據(jù)等邊對等角可得∠MDE=∠MED,然后根據(jù)等角的余角相等求出∠AED=∠GED,再利用“角角邊”證明△ADE和△GDE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=GD,再根據(jù)切線的定義即可得證; (2)求出ME=MD=,然后利用勾股定理列式求出AE,再求出BE,根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3,然后求出△AME和△BEF相似,根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出EF,再利用勾股定理列式計算即可得解; (3)假設△MFE能是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得ME=EF,先利用“角角邊”證明△AME和△BEF全等,根據(jù)全等三角形對邊角相等可得AM=BE,設AM=BE=x,然后表示出MD,AE,再根據(jù)ME=MD,從而得到ME=AE,根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可知△MEF不可能是等腰直角三角形. 解答:(1)證明:過點D作DG⊥EF于G, ∵ME=MD, ∴∠MDE=∠MED, ∵EF⊥ME, ∴∠DME+∠GED=90, ∵∠DAB=90, ∴∠MDE+∠AED=90, ∴∠AED=∠GED, ∵在△ADE和△GDE中, , ∴△ADE≌△GDE(AAS), ∴AD=GD, ∵的半徑為DC,即AD的長度, ∴EF是所在⊙D的切線; (2)MA=時,ME=MD=2﹣=, 在Rt△AME中,AE===1, ∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1, ∵EF⊥ME, ∴∠1+∠2=180﹣90=90, ∵∠B=90, ∴∠2+∠3=90, ∴∠1=∠3, 又∵∠DAB=∠B=90, ∴△AME∽△BEF, ∴=, 即=, 解得EF=, 在Rt△MEF中,MF===; (3)假設△MFE能是等腰直角三角形, 則ME=EF, ∵在△AME和△BEF中, , ∴△AME≌△BEF(AAS), ∴MA=BE, 設AM=BE=x, 則MD=AD﹣MA=2﹣x,AE=AB﹣BE=2﹣x, ∵ME=MD, ∴ME=2﹣x, ∴ME=AE, ∵ME、AE分別是Rt△AME的斜邊與直角邊, ∴ME≠AE, ∴假設不成立, 故△MFE不能是等腰直角三角形. 5、(1)證明:連接OC, ……………………………………1分 因為點C在⊙O上,OA=OC,所以 因為,所以,有.因為AC平分∠PAE,所以……………3分 所以 ……4分 又因為點C在⊙O上,OC為⊙O的半徑,所以CD為⊙O的切線. ………………5分 (2)解:過O作,垂足為F,所以, 所以四邊形OCDF為矩形,所以 ……………………………7分 因為DC+DA=6,設,則 因為⊙O的直徑為10,所以,所以. 在中,由勾股定理知 即化簡得, 解得或x=9. ………………9分 由,知,故. ………10分 從而AD=2, …………………11分 因為,由垂徑定理知F為AB的中點,所以…………12分 7、考點:切線的性質;勾股定理;相似三角形的判定與性質. 分析:(1)連結OC,根據(jù)切線的性質得OC⊥PC,則∠OCG+∠PCG=90,由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90,而∠B=∠OCG,所以∠PCG=∠BGF,根據(jù)對頂角相等得∠BGF=∠PGC, 于是∠PGC=∠PCG,所以PC=PG; (2)連結OG,由點G是BC的中點,根據(jù)垂徑定理的推論得OG⊥BC,BG=CG,易證得Rt△BOG∽Rt△BGF,則BG:BF=BO:BG,即BG2=BO?BF,把BG用CG代換得到CG2=BO?BF; (3)解:連結OE,OG=OG=,在Rt△OBG中,利用勾股定理計算出BG=2,再利用BG2=BO?BF可計算出BF,從而得到OF=1,在Rt△OEF中,根據(jù)勾股定理計算出EF=2,由于AB⊥ED,根據(jù)垂徑定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4. 解答:(1)證明:連結OC,如圖, ∵PC為⊙O的切線, ∴OC⊥PC, ∴∠OCG+∠PCG=90, ∵ED⊥AB, ∴∠B+∠BGF=90, ∵OB=OC, ∴∠B=∠OCG, ∴∠PCG=∠BGF, 而∠BGF=∠PGC, ∴∠PGC=∠PCG, ∴PC=PG; (2)解:CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關系為CG2=BO?BF.理由如下:連結OG,如圖, ∵點G是BC的中點, ∴OG⊥BC,BG=CG, ∴∠OGB=90, ∵∠OBG=∠GBF, ∴Rt△BOG∽Rt△BGF, ∴BG:BF=BO:BG, ∴BG2=BO?BF, ∴CG2=BO?BF; (3)解:連結OE,如圖, 由(2)得BG⊥BC, ∴OG=, 在Rt△OBG中,OB=5, ∴BG==2, 由(2)得BG2=BO?BF, ∴BF==4, ∴OF=1, 在Rt△OEF中,EF==2, ∵AB⊥ED, ∴EF=DF, ∴DE=2EF=4.- 配套講稿:
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