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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題12 高考中的解答題的解題策略 教案 文
【重點(diǎn)知識回顧】
解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次,低檔題主要考查基礎(chǔ)知識和基本方法與技能,中檔題還要考查數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算能力、思維能力、整合與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力,高檔題還要考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力及分析問題和解決問題的能力.
解答題的解題步驟
1.分析條件,弄清問題
2.規(guī)范表達(dá),實(shí)施計劃
3.演算結(jié)果,回顧反思
解答題的解題策略
1.從條件入手——分析條件,化繁為簡,注重隱含條件的挖掘;
2.從結(jié)論入手——執(zhí)果索因,搭好聯(lián)系條件的橋梁;.
3.回到定義和圖形中來;
4.換一個角度去思考;
5優(yōu)先作圖觀察分析,注意挖掘隱含條件;
6.注重通性通法,強(qiáng)化得分點(diǎn)。
【典型例題】
1.從定義信息入手
定義信息型題是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一,其命題特點(diǎn)是:給出一個新的定義、新的關(guān)系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識,然后在這個新情境下,綜合所學(xué)知識并利用新知識作為解題工具使問題得到解決,求解此類問題通常分三個步驟:(1)對新知識進(jìn)行信息提取,確定化歸方向;(2)對新知識中所提取的信息進(jìn)行加工,探究解題方法;(3)對提取的知識加以轉(zhuǎn)換,進(jìn)行有效組合,進(jìn)而求解.
例1、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù),構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下:
①輸入數(shù)據(jù),計算出;②若,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作,若,則輸出x1,并將x1反饋回輸入端,再計算出,并依此規(guī)律繼續(xù)下去,現(xiàn)在有,,
(Ⅰ)求證:對任意,此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列;
(Ⅱ)若,記,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【解析】(Ⅰ)證明:當(dāng),即0
x>0,
∴,又,∴,∴,
即.故對任意有;由有,由有;以此類推,可以一直繼續(xù)下去,從而可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列.
(Ⅱ)由,可得,
∴,即,
令,則,又
,
∴數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等差數(shù)列,
∴,于是.
【題后反思】
本題以算法語言為命題情境,構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器,通過定義工作原理,得到一個無窮數(shù)列,這是命題組成的第一部分,解答時只需依照命題程序完成即可,第(Ⅱ)問其實(shí)是一個常規(guī)的數(shù)學(xué)問題,由上可知,創(chuàng)新題的解答還是需要考生有堅實(shí)的數(shù)學(xué)解題功底.
2. 由巧法向通法轉(zhuǎn)換
巧法的思維起點(diǎn)高,技巧性也強(qiáng),有匠心獨(dú)具、出人意料等特點(diǎn),而巧法本身的思路難尋,方法不易把握,而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路,而順達(dá)流暢,通俗易懂的特點(diǎn).
例2、已知,求的取值范圍.
【解析】由,得,
∴,
∴
,
從而得.
【題后反思】
本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強(qiáng)的題目,求解時常常出錯,尤其是題目的隱含條件的把握難度較大,將解法退到常用的數(shù)學(xué)方法之一——消元法上來,則解法通俗、思路清晰.
3. 常量轉(zhuǎn)化為變量
轉(zhuǎn)化思想方法用于研究、解釋數(shù)學(xué)問題時思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化成另一種情況,也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境,使問題得到解釋的一種方法,這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略,同時也是成功的思維模式,轉(zhuǎn)化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知,達(dá)到解決問題的有利境地,通向問題解決之策.有的問題需要常、變量相互轉(zhuǎn)化,使求解更容易.
例3、設(shè),求證:.
【解析】令,則有,若,則成立;
若,則,∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,即,
由韋達(dá)定理,,即,又,
∴,∴,∴.
【題后反思】
把變量變?yōu)槌A?,也就是從一般到特殊,是我們尋找?guī)律時常用的解題方法,而本題反其道而行之,將常量變?yōu)樽兞?,從特殊到一般使問題得到解決.
4. 主元轉(zhuǎn)化為輔元
有的問題按常規(guī)確定主元進(jìn)行處理往往受阻,陷于困境,這時可以將主元化為輔元,即可迎刃而解.
例4、對于滿足的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式恒成立的x的取值范圍.
【解析】把轉(zhuǎn)化為,則成為關(guān)于p的一次不等式,則,得,由一次不等式的性質(zhì)有:,
當(dāng)時,,∴;
當(dāng)時,,∴,綜上可得:.
【題后反思】
視x為主元,不等式是關(guān)于x的一元二次不等到式,討論其取值情況過于繁瑣,將p轉(zhuǎn)化為主元,不等式是關(guān)于p的一次的不等式,則問題不難解決.
5. 正向轉(zhuǎn)化為反向
有些數(shù)學(xué)問題,如果是直接正向入手求解難度較大,可以反向考慮,這種方法也叫“正難則反”
例5、若橢圓與連接A(1,2)、B(3,4)兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】設(shè)線段AB和橢圓有公共點(diǎn),由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得線段AB的方程為,,則方程組,消去y
得:,即,
∵,∴,∵,∴,
∴當(dāng)橢圓與線段AB無公共點(diǎn)時,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【題后反思】
在探討某一問題的解決辦法時,如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難,則應(yīng)從反面的方向去探索.
6. 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化
數(shù)形結(jié)合,實(shí)質(zhì)上是將抽象的語言與直觀圖形結(jié)合起來,以便化抽象為直觀,達(dá)到化難為易,化簡為繁的目的.
例6、已知是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),若,解不等式.
【解析】由在上為增函數(shù),且是定義域上的奇函數(shù),
∴在上也是增函數(shù).
∵,∴,∴或,
○
○
x
y
-1
1
O
由函數(shù)的單調(diào)性知:或,
∴原不等式的解集為:
【題后反思】
由已知,是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū)
間上是增函數(shù),由,則可得的
大致圖像如下圖,可知
7.自變量與函數(shù)值的轉(zhuǎn)化
函數(shù)單調(diào)性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關(guān)系與函數(shù)值間不等關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的思想,理解它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系,有利于靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題.
例7、設(shè)是定義在上的增函數(shù),且對于定義域內(nèi)任意x、y,都有
,求使不等式成立的x的取值范圍.
【解析】∵的定義域是,∴,即,
由于,得,
由,得,
∴由題設(shè)條件得: ,
∵是定義在上的增函數(shù),∴,解之得:,又,
∴適合題意的x的取值范圍為[3,4].
【題后反思】
這類抽象函數(shù)求解是初學(xué)者較難掌握的,解題的關(guān)鍵需實(shí)現(xiàn)三種轉(zhuǎn)化:
①將函數(shù)值間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系;②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性意義又能比較兩個值的大小,因此需將,根據(jù)等價轉(zhuǎn)化為;③需將②轉(zhuǎn)化為某自變量的函數(shù)值,從而建立關(guān)于x的不等關(guān)系,求出x的取值范圍.
8. 類比歸納
類比是將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法、問題結(jié)論等式引申或推廣,或遷移,由已知探索未知,由舊知識探索新知識的一種研究問題的方法;歸納是從個別特殊事例,若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結(jié)論,總結(jié)出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的方法,這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力,培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力.因?yàn)檫@類創(chuàng)新題的思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強(qiáng),所以它們在高考中頻繁亮相,已成為高考中的又一個熱點(diǎn).
x1
x2
x
y
O
D=[x1,x2]
y=f(x)
x1
x2
x
y
O
D=[x1,x2]
y=B
例8、如下圖所示,定義在D上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù)A,都有成立,則稱函數(shù)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界(提示:下圖①②中的常數(shù)A、B可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零.)
(Ⅰ)試判斷函數(shù)在
上是否有下界?并說明理由;
(Ⅱ)具有圖②所示特征的函數(shù)稱為
在D上有上界,請你類比函數(shù)有下界 ① ②
的定義,給出函數(shù)在D上有上界的定義,并判斷(Ⅰ)中的函數(shù)在上是否有上界,并說明理由.
【解析】
∵,由,得,∵,∴x=2,
∵當(dāng)02時,,∴函數(shù)在(2,)上是增函數(shù);
∴x=2是函數(shù)在區(qū)間(0,)上的最小值點(diǎn),,
于是,對任意,都有,即在區(qū)間(0,)是存在常數(shù)A=32,使得對任意,都有成立,所以,函數(shù)在上有下界.
(Ⅱ)類比函數(shù)有下界的定義,函數(shù)有上界可以給出這樣的定義:定義在D上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常B,都有成立,則稱函數(shù)在D上有上界,其中B稱為函數(shù)的上界.
設(shè)x<0,則-x>0,則(Ⅰ)知,對任意,都有,∴,
∵函數(shù)為奇函數(shù),∴,∴,即,
即存在常數(shù)B=-32,對任意,都有,所以,函數(shù)在上有上界.
【題后反思】
本題以高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)有界性為命題素材,先給出一個定義,研究問題的結(jié)論,然后提出類比的方向,這是一種直接類比的情境題.?dāng)?shù)學(xué)中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識點(diǎn),如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構(gòu)”現(xiàn)象,立體幾何中的很多結(jié)論和方法都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進(jìn)行遷移,我們復(fù)習(xí)時要注意研究知識間的縱橫聯(lián)系,把握知識間的內(nèi)在規(guī)律,通過知識間的對比和類比,可以更好地掌握知識,提高解題能力.
【模擬演練】
(1)已知函數(shù)
(Ⅰ)若,求x的值;
(Ⅱ)若對于恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù),曲線通過點(diǎn)(0,2a+3)且在點(diǎn)(-1,)處的切線垂直于x軸.
用a分別表示b和c;
(Ⅱ)當(dāng)bc取得最小值時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(3)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)(),()的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直線與C交于A、B兩點(diǎn),
(Ⅰ)寫出C的方程;
(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)若點(diǎn)A在第一象限,證明:當(dāng)k>0時,恒有.
(4)已知函數(shù), ,,
(Ⅰ)將函數(shù)化簡成的形式;
(Ⅱ)求函數(shù)的值域.
(5)已知曲線C1:所圍成的封閉圖形的面積為,曲線C1的內(nèi)切圓半徑為,記C2為以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓,
(Ⅰ)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦,是線段AB的垂直平分線,M是上異于橢圓中心的點(diǎn),①若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動時,求點(diǎn)M的軌跡方程;②若M是與橢圓C2的交點(diǎn),求面積的最小值.
(6)已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件:①;②若,則.若非空集合S為有限集,則你對集合S的元素個數(shù)有何猜測?并請證明你的猜測.
(7)已知橢圓的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)P,右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為,點(diǎn)C(m,0)是線段OF上的一個動點(diǎn),
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線,其與橢圓交于A、B兩點(diǎn),且使得?親說明理由.
(8)設(shè)函數(shù),函數(shù),,其中a為常數(shù)且,令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的表達(dá)式,并求其定義域;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;
(Ⅲ)是否存在自然數(shù)a,使得函數(shù)的值域恰為?若存在,試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合,若不存在,試說明理由.
(9)已知函數(shù),當(dāng)點(diǎn)在的圖像上移動時,點(diǎn)在孫函數(shù)的圖像上移動.
(Ⅰ)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,-1),點(diǎn)Q也在的圖像上,求t的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅲ)當(dāng)時,試探索一個函數(shù),使得在限定域內(nèi)為時有最小值而沒有最大值.
(10)矩形鋼板的邊長分別為,現(xiàn)要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐,并使其底面邊長為矩形邊長的一半,表面積為ab,試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個體積最大,哪一個體積最小,并說明你的結(jié)論.
答案:
1.(1);
(2)
2.(1)c=2a+3,b=2a;
(2)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為(-2,2);
3.(1),
(2),
(3)略;
4.(1),
(2)的值域?yàn)椋?
5.(1),
(2)①,②.
6. S的元素的個數(shù)為3的倍數(shù);
7. (Ⅰ);
(Ⅱ)當(dāng)時,,即存在這樣的直線;
當(dāng)時,k不存在,即不存在這樣的直線.
8, (Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ),且.
9. (Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ)當(dāng)時,有最小值0,但沒有最大值.
圖1
圖2
圖3
圖4
10.如下圖:
易證:,即最大,最?。?
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