2019-2020年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第81講 圓錐曲線常見題型解法.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第81講 圓錐曲線常見題型解法 【知識要點】 圓錐曲線常見的題型有求圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)、最值、范圍、直線與圓錐曲線的關(guān)系、圓錐曲線與圓錐曲線的關(guān)系、軌跡方程、定點定值問題等. 【方法講評】 題型一 求圓錐曲線的方程 解題方法 一般利用待定系數(shù)法解答. 【例1】已知橢圓（）的左、右焦點為，點在橢圓上，且與軸垂直． （1）求橢圓的方程； （2）過作直線與橢圓交于另外一點，求面積的最大值． 綜上所求：當斜率不存在或斜率存在時：面積取最大值為． 【點評】（1）求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法，先定位，后定量.（2）本題用到了橢圓雙曲線的通徑公式，這個公式很重要，大家要記熟. 【反饋檢測1】已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形的周長為． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求△面積的最大值． 題型二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 解題方法 利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)解答. 【例2】已知橢圓的左頂點和上頂點分別為，左、右焦點分別是，在線段上有且只有一個點滿足，則橢圓的離心率的平方為（ ） A． B． C． D． 【點評】求值一般利用方程的思想解答，所以本題的關(guān)鍵就是找到關(guān)于的方程. 【反饋檢測2】已知雙曲線（）的左、右焦點分別為以為直徑的圓被直線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（ ） A．3 B．2 C． D． 題型三 圓錐曲線的最值問題 解題方法 一般利用數(shù)形結(jié)合和函數(shù)的方法解答. 【例3】已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為． （1）求橢圓的標準方程； （2）若直線的斜率為，直線與橢圓C交于兩點．點為橢圓上一點，求的面積的最大值． 【解析】（1）由條件得：，解得，所以橢圓的方程為 ∴， 當且僅當，即時取得最大值． ∴面積的最大值為2． 【點評】圓錐曲線的最值問題一般利用函數(shù)和數(shù)形結(jié)合解答. 【反饋檢測3】在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的兩點. （Ⅰ）如果直線過拋物線的焦點，求的值； （Ⅱ）在此拋物線上求一點，使得到的距離最小，并求最小值. 題型四 圓錐曲線的范圍問題 解題方法 一般利用函數(shù)、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等解答. 【例4】已知橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，有一個頂點為，． （1）求橢圓的方程； （2）過點作直線與橢圓交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍. （1）當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，； （2）當直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為, 由方程組 消去， 并整理得， 設(shè),, 又有，則 ∴ ∴ ， ∴， ， ， . 且 ． 綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：． 【點評】利用基本不等式求函數(shù)的最值時，要注意創(chuàng)設(shè)情景，保證一正二定三相等. 【反饋檢測4】設(shè)橢圓中心在原點，焦點在軸上，短軸長為4，點（2，）在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)動直線交橢圓于兩點，且，求的面積的取值范圍. （3）過（）的直線:與過（）的直線:的交點（）在橢圓上，直線與橢圓的兩準線分別交于兩點，求的值. 題型五 直線與圓錐曲線的關(guān)系問題 解題方法 一般利用判別式、韋達定理、弦長公式、點差法等解答. 【例5】已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點.若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由. 這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線. 【點評】（1）這是一道探索性習題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線 ，然后驗證它是否滿足題設(shè)的 條件.本題屬于中點弦問題，應(yīng)考慮點差法或韋達定理.（2）本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心.由此題可看到中點弦問題中判斷點的位置非常重要.（1）若中點在圓錐曲線內(nèi)，則被點平分的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則被點平分的弦可能不存在. 【反饋檢測5】過點(-1,0)作直線與曲線 ：交于兩點，在軸上是否存在一點(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由. 題型六 圓錐曲線與圓錐曲線的關(guān)系問題 解題方法 一般利用判別式和數(shù)形結(jié)合解答. 【例6】已知曲線及有公共點,求實數(shù)的取值范圍． 【點評】直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯(lián)立后，用來處理．但用來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“”與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合. 【反饋檢測6】設(shè)橢圓，拋物線. (1)若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率； (2)設(shè)，,又為與不在軸上的兩個交點，若的垂心為，且的重心在上，求橢圓和拋物線的方程. 題型七 圓錐曲線的定點和定值問題 解題方法 過定點的問題，一般先求曲線的方程，再證明曲線過定點；定值的問題，就是求值問題，直接求解就可以了. 【例7】在直角坐標系中，點到點的距離之和是4，點的軌跡是與軸的負半軸交于點，不過點的直線與軌跡交于不同的兩點和. （I）求軌跡的方程； （II）當時，求與的關(guān)系，并證明直線過定點. （2）將，代入曲線C的方程，整理得 因為直線與曲線C交于不同的兩點和， 所以① 設(shè)，則 ② 且③ 顯然，曲線與軸的負半軸交于點（-2，0），所以 由 將②、③代入上式，整理得 所以 即經(jīng)檢驗，都符合條件① 【點評】證明曲線過定點，一般先求曲線的方程，再證明它過定點. 【反饋檢測7】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標． 題型八 軌跡問題 解題方法 一般利用直接法、待定系數(shù)法、代入法、消參法解答. 【例8】 已知拋物線和點，為拋物線上一點，點在線段上且，當點在該拋物線上移動時，求點的軌跡方程． 【點評】點之所以在動，就是因為點在動，所以點是被動點，點是主動點，這種情景，應(yīng)該利用代入法求軌跡方程. 【反饋檢測8】 已知的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程． 題型九 存在性問題 解題方法 一般先假設(shè)存在，再探求，最后檢驗. 【例9】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，過點的直 線與橢圓在第一象限相切于點 . （1）求橢圓的方程；（2）求直線的方程以及點的坐標； （3））是否存過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出 直線的方程；若不存在，請說明理由. 因為直線與橢圓相切，所以 整理，得 解得 所以直線方程為 將代入①式，可以解得點橫坐標為1，故切點坐標為 （Ⅲ）若存在直線滿足條件，的方程為，代入橢圓的方程得 因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標分別為 所以 所以. 又， 因為即， 所以. 即 【點評】存在性問題，一把先假設(shè)存在，再探究，最后檢驗. 【反饋檢測9】在平面直角坐標系中，已知拋物線：，在此拋物線上一點到焦點的距離是3. （1）求此拋物線的方程；（2）拋物線的準線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于、兩點．是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點滿足，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由． 高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第81講： 圓錐曲線常見題型解法參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2）. （2）不妨設(shè)的方程（）,則的方程為． 由得， 設(shè)， ∵，∴， 同理可得．∴，， ， 設(shè)，則，當且僅當時等號成立， ∴△面積的最大值為． 【反饋檢測2答案】 【反饋檢測2詳細解析】由已知可得圓心到直線的距離 ，故選. 【反饋檢測3答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）4. 【反饋檢測4答案】（1）；（2）；（3）－8. 【反饋檢測4詳細解析】（1）因為橢圓: （過（2，） ， 故可求得＝2，＝2 橢圓的方程為 （2）設(shè)，當直線斜率存在時設(shè)方程為， 解方程組得，即， 則△＝， 即（*） ， 要使，需使，即， 所以， 即 ① 將它代入（*）式可得 到的距離為 將及韋達定理代入可得 （3）點P（）在直線:和：上， ， 故點（）（）在直線上 故直線的方程，上 設(shè)分別是直線與橢圓準線，的交點 由和得（－4，） 由和得（4，） 故＝－16＋ 又（）在橢圓：,有故. ＝－16＋＝－8 【反饋檢測5答案】 令,得，則 為正三角形， 到直線AB的距離d為. 解得滿足②式,此時. 【反饋檢測6答案】（1）；（2）橢圓方程為，拋物線方程為. 【反饋檢測6詳細解析】（1）由已知橢圓焦點在拋物線上，可得：，由 . (2) 【反饋檢測7答案】（1）；（2）直線過定點，定點坐標為． 【反饋檢測7詳細解析】（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標準方程為， 由已知得：，，，，． 橢圓的標準方程為． 因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，，即， ，， ． 解得：，，且均滿足， 當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾； 當時，的方程為，直線過定點． 所以，直線過定點，定點坐標為． 【反饋檢測8答案】 【反饋檢測8詳細解析】設(shè)，，由重心公式，得 又在拋物線上，． ③ 將①，②代入③，得， 即所求曲線方程是． 【反饋檢測9答案】（1）；（2）存在這樣的，且的取值范圍為. 【反饋檢測9詳細解析】（1）拋物線準線方程是， ， , 故拋物線的方程是.